Dopo aver descritto le formule di Viete, usiamole per risolvere l'importantissimo problema di Basilea.

Il Problema di Basilea: un secolo di tentativi andati a vuoto, risolti, alla fine, dal solito Eulero. La dimostrazione di Eulero non è matematicamente rigorosa (alcuni passaggi sono stati completamente dimostrati solo in seguito), ma a noi può bastare.

Per introdurre l'importantissimo problema, richiamiamo brevemente le serie infinite. Come dice la stessa parola esse sono uguali alla somma di infiniti termini che possono dar luogo a tre tipi di risultati: un numero finito, infinito o un numero oscillante. Facciamone subito tre esempi classici:

1 + 2 + 3 + .... + n

Se ci fermiamo a un certo termine finito n, essa ha un valore che ben conosciamo n(n+1)/2. Ma se n tende a infinito è quasi ovvio che la serie tenda anch'essa a infinito. Possiamo dire che la serie DIVERGE.

Consideriamo, adesso, una serie del tipo:

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

Tutto dipende da quanto volte abbiamo sottratto 1. In certi casi può valere 1 e in altri 0. Andando verso infiniti termini il risultato oscillerà tra questi due valori. Possiamo dire che non esiste un risultato, dato che esso OSCILLA.

Passiamo a esempi sicuramente più interessanti e meno ovvi. Prediamo ad esempio la serie

1 +1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2n)

A prima vista potrebbe sembrare divergente, dato che continuo ad aggiungere sempre qualcosa a un numero positivo. La faccenda, però, non è poi così ovvia come potrebbe sembrare: la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri interi positivi converge, infatti, a un numero finito, in particolare a 2. Non è nemmeno difficile dimostrarlo

Qualcosa che sembrerebbe simile è la serie:

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .... + 1/n

Anche qui aggiungiamo sempre qualcosa a 1. Il risultato, però, è completamente diverso. Essa, infatti, tende a infinito ossia è divergente. Anche questo si dimostra abbastanza facilmente (QUI).

Non dimentichiamoci, poi, la serie di Taylor e quella di Mc Laurin. Insomma, lo sviluppo in serie è stato ed è un argomento fondamentale per la matematica e ci sarebbero infiniti esempi a riguardo. In questo articolo ne vogliamo considerare una che ha creato non pochi problemi ai matematici, benché sembri abbastanza semplice. Essa è stata proposta 1644  da Pietro Mengoli e viene descritta come segue:

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/n²

A parole, è la somma dei reciproci dei quadrati di qualsiasi intero n, Ovviamente per n che tende a infinito.

Sembra quasi impossibile, ma la soluzione sul valore che essa assume ha dovuto aspettare quasi un secolo e, come dovevamo immaginarcelo, è stato proprio Eulero a trovarla e a proporla nel 1735. La serie è diventata celebre e ha dato il via al cosiddetto Problema di Basilea.

In realtà, lo stesso Mengoli aveva dimostrato che la serie è convergente, ma non era riuscito a trovare il suo valore esatto.

Iniziamo, allora, dimostrando che essa è convergente.

Consideriamo la serie il cui termine ricorrente sia

1/(n(n + 1)) per n che va da 1 a infinito, ossia

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ...

"Ma cosa c'entra ?", direte voi. C'entra e come! Scriviamo il termine ricorrente nel modo seguente

1/(n(n+1)) = (1 + n - n)/(n(n +1)) = (1/n) - (1/(n + 1))

Scriviamo la serie di partenza per esteso inserendo il "nuovo" termine ricorrente

( 1/1 - 1/2 ) + (1/2 - 1/3 ) + (1/3 - 1/4) + .... +  (1/n - 1/(n + 1))

E' immediato notare che tutti i termini, a partire da 1/2 per finire a 1/n, si cancellano reciprocamente e alla fine risulta soltanto:

1 - 1/(n + 1)

Questa non è più una serie, ma il suo risultato e, quindi, posso sostituire n con ∞, per cui 1/∞ diventa zero. La serie, perciò, è convergente e il suo valore è 1.

Confrontiamo, adesso, la serie di Basilea con questa nuova serie

1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ....

1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ....

oppure:

1 + 1/(2 · 2) + 1/(3 ·  3) + 1/(4 · 4) + ...

1/(1 · 2) + 1/(2 · 3) + 1/(2 · 4) + ...

E' facile notare che ogni termine azzurro è MAGGIORE del corrispondente termine rosso, ma la somma tutti i termini azzurri è proprio la seconda serie di Mengoli e sappiamo che essa tende a 1. Il che vuol dire che la somma dei termini rossi (in cui ogni termine è più piccolo di quello azzurro) deve tendere sicuramente a un valore MINORE di 1.

La prima serie, perciò, è uguale a 1 più una somma minore di 1. In conclusione essa deve valere un numero finito minore di 2.

La serie di Basilea è, quindi, convergente! Sì, ma quanto vale esattamente? E qui è cascato l'asino fino a che non si è messo in moto Eulero, in modo a dir poco geniale.

 

Egli inizia scrivendo la funzione sin(x) espressa in termini di serie di Taylor-Mc Laurin.

sin(x) = Σ^∞_{n = 0} (- 1)ⁿ x^{(2n + 1)}/(2n + 1)!

o, se preferite:

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ....

Questo è il primo "ingrediente", ma il secondo sembra ancora più strano... Dobbiamo, infatti, richiamare la formula di Viete (non per niente l'abbiamo descritta in un articolo precedente...).

a0 = (-1)ⁿ x1 x2 x3 .... xn

a1/a0 = - (1/x1 + 1/x2 + 1/x3 +   )

Eulero riprende in mano lo sviluppo in serie di sin(x) e considera x diverso da zero. Può quindi effettuare la divisione di ambo i membri per x, ossia:

sin(x)/x = 1 - x²/3! + x⁴/5! - x⁶/7! + ....

A questo punto siamo di fronte a un polinomio di cui conosciamo le radici che, avendo escluso x = 0, sono soltanto +/- π, +/- 2π, ecc.  In altre parole:

sin(x)/x = 0  quando sin(x) = 0 e, quindi, per  i valori  +/- π, +/- 2π, +/- 3π

E' meglio cambiare variabile e considerare

x = √t

La funzione diventa:

sin(√t)/√t = 0 = 1 - t/3! + t²/5! - t³/7! + ...

L'equazione ammette come soluzioni i quadrati di quelle precedenti, a seguito della sostituzione (x² = t), ossia esse valgono

π², 4π², 9π², ...

Attenzione, adesso, al ragionamento...

Eulero dice: "Ammettiamo che la formula di Viete valga anche per i polinomi infiniti. Ne segue che il rapporto tra il termine di grado uno e quello noto, cambiato di segno, deve essere uguale alla somma dei reciproci di tutte le radici del polinomio". In poche parole:

a1 = - 1/3! = - 1/6

a0 = 1

- a1/a0 = 1/6 = (1/π² + 1/4π² + 1/9π² + ....+ 1/n²π² )

1/6 = 1/π²( 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n²)

Da cui

π²/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n²

Ma, il secondo membro è proprio la serie di Basilea!

Eulero era proprio un ... "mostro"!

Sì... ma a cosa serve? Non è semplice rispondere, ma basta dire che essa è proprio la funzione  di Riemann  relativa al valore 2. Anzi, applicando Viete agli altri coefficienti, si trova il valore della funzione zeta per tutti gli interi pari. Ricordiamo che Riemann è il padre della geometria sferica oltre che un vero mago nello studio dei numeri primi. Non penso si riesca a rendere semplice l'ipotesi di Riemann e la sua funzione... per adesso accontentiamoci della formula di Basilea e di ... Eulero!