Non è molto che abbiamo, con un po' di delusione, mostrato come la serie di Fibonacci non risponda esattamente alle spirali che si vedono in Natura. Ciò non toglie, però, che la serie di Fibonacci sia qualcosa di veramente magico, sicuramente corrispondente ai criteri di crescita. Non per niente Fibonacci l'aveva ricavata studiando proprio la crescita del numero di conigli sotto certe condizioni. Ma è questa la verità dei fatti? Beh... non proprio.

Per quanto riguarda la cultura europea, Fibonacci ha avuto il merito di trasformare, magari senza volerlo, un rapporto geometrico di armonia (la sezione aurea), già conosciuto nell'antico Egitto e forse anche prima, in una serie algebrica. Dopo di che su Fibonacci e l'applicazione naturale della sua serie si è scritto e discusso infinite volte in tutti i campi della Scienza, dell'Arte e non solo. Ci dimentichiamo, però, troppo spesso che mentre la cultura europea si è fermata agli antichi greci per secoli e secoli, negando anche la maggior parte dei loro risultati, lo stesso non ha fatto la cultura asiatica, ossia quella araba, indiana e cinese. Lo stesso Fibonacci, nei suoi viaggi in Oriente, ha portato a casa le cifre arabe, nettamente più maneggevoli e utili di quelle romane. Potrebbe anche darsi che  la sua serie sia stata una pura acquisizione di ciò che era già stato fatto in India.

Per valutare questa possibilità, basterebbe prendere atto della grande attenzione che in India si dava alla pronuncia delle parole e alla loro formazione. In particolare, si dava grande importanza alla lunghezza delle sillabe, che venivano divise in lunghe e corte. In poche parole, stiamo parlando di prosodia, che così viene definita nel dizionario Treccani:

Parte della linguistica che studia il ritmo, l’accentazione e l’intonazione del linguaggio parlato. Le caratteristiche prosodiche si sovrappongono alle unità del linguaggio parlato, quali le sillabe, le parole e le frasi, per es. modificando la lunghezza di una vocale o di una sillaba, il tono di pronuncia di una parola o la posizione di una pausa o di un accento in una frase.

I poeti indiani, già parecchi secoli prima della nascita di Cristo, usavano una forma di poesia basata su sillabe corte e lunghe. Le sillabe corte avevano un'unità di lunghezza, mentre quelle lunghe ne avevano due. Contando ed esplorando ogni combinazione di queste sillabe, i matematici indiani, come Virahanka nel 700 d.C., riuscirono a descrivere il risultato di queste forme poetiche sotto forma di una sequenza numerica. Proprio quella che Fibonacci, cinque secoli dopo rese pubblica in Europa. Il sospetto che Fibonacci abbia solo riportato un risultato acquisito in Oriente è decisamente molto forte. Forse, nelle scuole europee, bisognerebbe iniziare a dare maggiore spazio alle scoperte e alle intuizioni dei maestri asiatici. L'intelligenza non dovrebbe avere confini politici o geografici...

Abbiamo già riportato l'esempio dei conigli di Fibonacci, tuttavia è interessante mostrare un approccio ancora più semplice, in grado di mostrare la validità della sequenza di Virahanka (o di Fibonacci, se preferite) e che meglio si avvicina allo studio dei due tipi di sillabe (lunghe e corte) della prosodia indiana.

Al posto di due sillabe, consideriamo due tipi di "salto", collegandosi all'avventura di un grillo innamorato, ma estremamente timoroso dell'acqua.

Nella figura che segue vediamo il nostro grillo, sulla sponda di in fiume, che non vede l'ora di raggiungere la splendida grilla che si trova su una certa foglia in mezzo al corso d'acqua. Come fare per raggiungerla, senza bagnarsi?

Non è poi molto difficile: basta saltare di foglia in foglia e raggiungere l'amata. Il grillo potrebbe saltare di foglia in foglia con singoli salti, ma per accelerare l'incontro, decide di utilizzare anche il salto più lungo di cui è capace, ossia raggiungere direttamente  la seconda foglia davanti a lui.

Ciò che vogliamo sapere è quanti percorsi sono quelli realizzabili dal grillo, tenendo conto che eseguire un salto corto e uno lungo è percorso diverso dall'eseguire prima il salto lungo e poi quello corto.

Immaginiamo che la grilla si trovi sulla foglia numero 100. Bene, forse vi stupirete nel constatare che i percorsi possibili sono pari a un numero intero di ventuno cifre!

Qual è la strategia? Immaginiamo di essere arrivati vicino alla meta, ossia all'ennesima foglia dove sta la "grilla". Il grillo ha due possibilità: quando è sulla foglia n - 2 può arrivare facendo un salto lungo. Il che vuol dire che ha tante possibilità come  quando era sulla foglia n-2. Oppure arriva fino a n-1, dove gli basterebbe un salto piccolo. Il che vuol dire che ha anche tante possibilità come quando era su n-1. Le due possibilità si sommano e quindi il grillo può arrivare alla foglia ennesima attraverso le possibilità relative a n-1 e a n-2 sommate insieme.

Ne segue la seguente relazione fondamentale:

x_{n -2} + x_n-1 = x_n

Essa, però, ci dice chiaramente che il numero di traiettorie necessarie per raggiungere la ennesima foglia è uguale alla somma del numero di traiettorie necessarie per arrivare sicuramente in n-2 e quello relativo al raggiungimento della foglia n- 1. Proprio la serie di Fibonacci.

Potrebbe bastare quanto detto per accorgersi che il numero di percorsi segue la sequenza di Fibonacci. Così come per sapere quanti percorsi esistono per raggiungere la foglia n basterebbe utilizzare la formula di Binet che abbiamo già descritto tempo fa. Tuttavia,  vorrei esporvi un metodo alternativo che potrebbe apparire un po' empirico, ma che, invece, è perfettamente valido, ve lo assicuro. Esponiamolo in modo molto semplificato...

Come già detto siano x_n-1, x_n-2 e x_n i percorsi possibili per raggiungere le varie foglie. Per essi vale la relazione

x_n-1 + x_n-2 = x_n

Questi sono numeri, ovviamente, e variano in funzione di n. Quale tipo di funzione può esprimere al meglio le loro caratteristiche. Bene, basta "plottare" i primi valori della sequenza, calcolati direttamente, per rendersi conto che siamo di fronte a una crescita esponenziale. In altre parole, la funzione che ci regala il numero di percorsi deve essere una funzione esponenziale del tipo aⁿ, con n numero intero crescente. Sì, ma quanto vale a? Bene, riscriviamo la formuletta precedente scrivendo a elevato a un esponente screscente. Ossia:

a^n-1 + a^n-2 = aⁿ

Non è difficile dividere entrambi i membri per a^n-2 e ottenere (proprietà delle potenze):

1 + a = a²

Il valore di a viene fornito da questa equazione di secondo grado. Essa ammette due valori reali che devono essere entrambi validi:

a² - a - 1 = 0

a₊ = (1 + √5)/2

a_ = (1 - √5)/2

In realtà, la doppia soluzione reale ci dice che l'esponenziale di cui abbiamo bisogno è una combinazione lineare che tenga conto di entrambe le soluzioni. Chiamiamo b+ un certo coefficiente che moltiplichi a+,  b_ un coefficiente che moltiplichi a_.

In pratica, il numero di percorsi relativo a n deve essere espresso dalla funzione:

x_n = b₊(a₊)ⁿ + b_(a_)ⁿ

Non ci resta che trovare b₊ e b_, dato che già conosciamo a₊ e a_

Niente di più facile dato che sappiamo che per n = 1, il numero di percorsi possibili è uno e uno solo. E nel caso fosse n = 0? La risposta è altrettanto immediata, dato che qualsiasi  numero elevato a 0 deve valere 1.

Possiamo scrivere il sistema di due equazioni in due incognite:

b₊(a₊)¹ + b_(a_)¹ = x₁ = 1

b₊(a₊)⁰ + b_(a_)⁰ = x₀ = 1

Risolvendo il sistema otteniamo che

b₊ = (5 + √5)/10

b_ = (5 - √5)/10

E, in conclusione, anche la formula per calcolare il percorso relativo a n foglie.

x_n = ((5 + √5)/10)((1 + √5)/2)ⁿ  + ((5 - √5)/10)((1 - √5)/2)ⁿ

Sembrerebbe impossibile che moltiplicando numeri, in mezzo ai quali vi sono anche numeri irrazionali, si possa ottenere alla fine un numero intero... Ma queste conclusioni spesso inaspettate sono proprio il bello della matematica!