Completata la trattazione relativa alle due circonferenze c1 e c2 esterne una all'altra, passiamo al caso in cui c1 e c2 siano una all'interno dell'altra.

2. Circonferenze interne

Vediamo la configurazione in Fig. 15, dove abbiamo anche rappresentato le circonferenze tangenti "immediate".

La prima impressione è che esse sembrano 4, come nel caso precedente, ma, in realtà, esse sono solo di due tipi, quelle arancioni e quelle verdi. Infatti, quelle arancioni si riferiscono al solo caso in cui la circonferenza azzurra  c1 è a loro esterna . Il luogo dei centri delle circonferenze arancioni deve, perciò, descrivere una sola curva. La stessa cosa capita per le circonferenze verdi, dato che la circonferenza azzurra c1 è sempre a loro interna. Aspettiamoci, perciò di salutare (per un po' almeno) le coniche aperte del tipo iperbole...

2a. Circonferenza c1 esterna

Sappiamo, ormai, come procedere, utilizzando la visione dei due coni nel piano xz, come mostra la Fig. 16 (a destra).

Nella stessa figura (a sinistra) inseriamo la visione nel piano xy. Iniziamo a tagliare i nostri due coni con piani paralleli a xy, andando verso l'alto. I segmenti tratteggiati ( relativi alle circonferenze ausiliarie) si incontrano per la prima volta nel punto O, che riportiamo anche nella parte destra. Continuando a salire si susseguono le intersezioni tra i segmenti azzurri e rossi (circonferenze ausiliarie). Segniamo in entrambe le figure i punti d'intersezione corrispondenti P e P', Q e Q'. L'ultimo punto di contatto delle circonferenze ausiliarie è O'. Notiamo che se andassimo con i tagli verso il basso  non otterremmo mai nessuna intersezione dato che il cono azzurro è sempre interno a quello rosso.

La curva viola che passa per i centri delle circonferenze tangenti (quelle arancioni di Fig. 15) è un'ellisse, come si vede bene nella sua proiezione sul piano xy (a sinistra).

2b. Circonferenza c1 interna

Siamo nel caso delle circonferenze verdi di Fig. 15. Per eseguire la solita manovra disegniamo la Fig. 17, dove abbiamo operato il ribaltamento del cono rosso.

Questa volta tagliamo i coni andando verso il basso. Le prime circonferenze ausiliarie puntinate non hanno intersezioni. Dobbiamo arrivare a quelle tratteggiate che ci regalano il punto O. Proseguendo troviamo P e P', seguiti da Q e Q'. Infine in O' vi è l'ultimo contatto delle circonferenze ausiliarie (segmenti tratteggiati). In conclusione, otteniamo una nuova ellisse viola, luogo dei centri delle circonferenze verdi di Fig. 15. Nuovamente, andando verso l'alto con i tagli non avremmo mai intersezioni.

Abbiamo concluso anche il caso delle circonferenze c1 e c2 interne una all'altra e i due casi appena trattati li vediamo nello schema tridimensionale di Fig. 18, dove si nota benissimo che le intersezioni dei due coni sono delle ellissi che vengono, ovviamente, proiettate ancora come ellissi nel piano xy.

La Fig. 19 mostra le due circonferenze c1 e c2 iniziali e le due ellissi viola che corrispondo a tutti i centri delle circonferenze tangenti a c1 e c2. Ne sono mostrate un paio (arancioni), una del tipo 2a e una del tipo 2b.

Questa figura è, come la Fig. 14, il riassunto del caso 2 (c1 e c2 interne) e sarà estremamente utile per la soluzione finale.