Svolgiamo insieme un problema, estremamente didattico,  proposto sempre dall'Università di Manchester, relativo al moto di una cometa. Tutti tranquilli: nessun pericolo di impatto malgrado la cometa incroci l'orbita della Terra. Come spesso capita vi sono vari modi per risolvere il problema. Quello che illustreremo non fa praticamente uso delle leggi del moto, Infatti, tra i dati del problema non si fa menzione del tipo di orbita che segue la cometa. La soluzione si affida solo e soltanto alla conservazione dell'energia e del momento angolare. In tal modo, anche se potrebbero esistere metodi più rapidi, i passaggi che useremo, per raggiungere il risultato finale, permetteranno di determinare altri importanti parametri.  Come al solito, invito i più esperti a risolvere il problema senza leggere la soluzione (utilizzando il metodo che preferiscono).

Problema:

Assumiamo che la Terra di Massa M_T orbiti attorno al Sole, di massa M_S, lungo una circonferenza di raggio R con velocità v. Una cometa, complanare con la Terra, raggiunge il suo perielio, posto a una distanza dal Sole di R/2, con una velocità pari a u = 2v. Trascurando gli effetti gravitazionali della Terra sulla cometa (se ne sta a distanza di … sicurezza). Determinare l’angolo a tra la traiettoria cometaria e quella  terrestre, nel punto P di intersezione orbitale. I dati del problema sono quelli indicati in grassetto.

 

Soluzione

Per prima cosa dedichiamoci alla Terra, in modo da determinare la velocità v che comporta immediatamente la conoscenza della velocità della cometa al perielio u (che sappiamo essere il doppio di quella terrestre). Lo facciamo scrivendo la forza centripeta che subisce la Terra. Essa non è altri che la forza di gravità, per cui possiamo scrivere

GM_SM_T/R² = M_Tv²/R

ne segue:

v² = GM_S/R = u²/4                .... (1)

Scriviamo l'energia totale della cometa quando è al perielio:

E = Energia cinetica + Energia potenziale

L'energia cinetica Ec è, ovviamente:

Ec = 1/2M_Cu²

L'energia potenziale Ep, considerandola come si fa normalmente uguale a zero all'infinito, diventa:

E_P = - GM_SM_C/(R/2)

E = 1/2M_Cu² - 2GM_SM_C/R          .... (2)

Ma, ricordando la (1), la (2) diventa:

E = 1/2M_C · 4 GM_S/R - 2GM_SM_C/R =   2GM_SM_C/R -  2GM_SM_C/R = 0

L'energia totale della cometa è uguale a zero. Il che vuole anche dire che la cometa è in orbita parabolica.

Dobbiamo cercare di calcolare la velocità u_P della cometa nel punto P. Iniziamo a calcolare il suo momento angolare al perielio. In quelle condizioni la velocità è tangente all'orbita, ossia è perpendicolare al raggio vettore. Possiamo facilmente scrivere che il momento angolare L vale:

L = M_CuR/2 = M_C2vR/2 = M_Cv R

Il momento angolare si deve conservare, perciò deve assumere lo stesso valore in P, dove la velocità della cometa che entra in gioco è solo la sua componente ortogonale a R che chiamiamo u_Pt. Possiamo perciò scrivere

M_CvR = M_Cu_PtR

Ne segue che la componente della velocità tangente all'orbita terrestre vale esattamente la velocità della Terra:

v =u_Pt                               .... (3)

Non ci resta, adesso, nient'altro da fare che calcolare la velocità totale u_P della cometa in P, . Niente di più facile, dato che sappiamo che l'energia totale si deve conservare e che essa è uguale a zero al perielio. Essa deve quindi essere uguale a zero. Scriviamola:

E = 1/2M_Cu_P² - GM_CM_S/R = 0                 .... (4)

ma  la (1) ci dice che:

GM_S = v²R

sostituendo nella (4) abbiamo:

1/2M_Cu_P² - GM_CM_S/R = 1/2M_Cu_P² - M_Cv²R/R = 0

1/2 u_P² - v² = 0

u_P = √2 v

Sostituendo la (3):

u_P = √2 u_Pt

Il rapporto  tra le due velocità indica chiaramente che l'angolo che formano è :

a = 45°

Volendo essere "conservativi" fino in fondo, si poteva  usare la conservazione del momento angolare in P per ottenere lo stesso risultato.