3. Circonferenze intersecanti

Completiamo i casi riguardanti le due circonferenze c1 e c2 considerandole intersecanti . Questo è forse la configurazione meno immediata, ma ormai sappiamo il trucco geometrico da compiere. La Fig. 20 mostra le due circonferenze c1 e c2, ma non è del tutto ovvio stabilire quali siano da considerare le circonferenze "immediate" a loro tangenti.

In realtà, esse sono solo tre (arancione, verde e nera), dato che i centri delle due circonferenze tangenti arancioni appartengono a un'unica curva. Passando all'azione e vedremo il perché...

3. Circonferenze intersecanti

Disegniamo i nostri due coni in Fig. 21

A sinistra la visione nel piano xy e a destra nel piano xz. Cominciamo ad affettare i nostri coni. Ci conviene iniziare dal piano t che corrisponde alla configurazione limite in cui le due circonferenze ausiliarie (tratteggiate) si toccano in un solo punto O, e poi  proseguire verso l'alto. Notiamo che in corrispondenza del piano xy le circonferenze ausiliarie si annullano e degenerano in un punto, come c'era da aspettarsi, dato che questa situazione corrisponde proprio alle intersezioni delle due circonferenze di partenza c1 e c2. Dopo di che la circonferenza ausiliaria azzurra continua ad aumentare il proprio raggio mentre quella rossa lo diminuisce. Come al solito,  chiamiamo P e P', Q e Q', i punti di intersezione che rappresentano proprio i centri delle circonferenze tangenti cercate. Il "lavoro" termina in O' dove i due coni iniziano a essere l'uno (rosso) sempre all'interno dell'altro (azzurro). Ne consegue che il luogo dei centri è nuovamente un'ellisse, rappresentata in viola.

Passiamo alla Fig. 22, dove abbiamo, in pratica, ribaltato il cono rosso.

Nella parte destra riportiamo la visione xz con entrambi i percorsi che ci interessano, da O verso l'alto e da O' verso il basso. Non c'è nemmeno bisogno di entrare nei dettagli, dato che ormai la procedura è ben conosciuta. Dai tagli verso l'alto, a partire da O, otteniamo un primo ramo di iperbole, mentre a partire da O', verso il basso, il secondo ramo. Nella parte sinistra (visione su xy), le circonferenze ausiliarie del primo ramo mantengono i loro colori, mentre quelle verso il basso sono state indicate entrambe con il nero.

Non stiamo nemmeno a cercare una rappresentazione a tre dimensioni, dato che le configurazioni sono ormai abbastanza chiare. Riassumiamo, in Fig. 23, il risultato completo per due circonferenze intersecanti dove abbiamo inserito anche tre punti (P, Q, R) scelti a caso sull'iperbole e sull'ellisse con le loro corrispondenti circonferenze arancioni.

A questo punto cosa abbiamo a disposizione? Per ogni tipo di coppia di circonferenze iniziali c1 e c2, le corrispondenti curve (iperboli o ellissi) che descrivono il luogo dei centri delle circonferenze a loro tangenti. Notiamo ancora una volta che il tutto è stato ottenuto per via puramente geometrica, come avrebbe sicuramente saputo fare Apollonio.

Facciamo l'ultimo "salto" per risolvere il Problema di Apollonio, ossia quello relativo a tre circonferenze e non solo a due. Niente di veramente complicato, come vediamo nella Fig. 24.

In essa abbiamo riportato tre circonferenze esterne, c1, c2 e c3. Per ogni coppia di tali circonferenze sappiamo disegnare i luoghi dei centri delle circonferenze a loro tangenti. Tra c1 e c2 abbiamo le curve rosse, tra c2 e c3 le curve verdi e tra c3 e c1 quelle azzurre. Basta andare a cercare i punti in cui tutte e tre le curve si intersecano per essere sicuri di avere un centro di una circonferenza tangente a tutte tre quelle di partenza. Il numero massimo possibile è 8. Nella figura questi 8 punti sono stati indicati in neretto. In arancione, come esempio, tre di queste circonferenze.

Mostriamo anche un'altra situazione in Fig. 25

Le circonferenze c2 e c3 sono esterne tra loro, ma stanno all'interno della c1. Tra c1 e c2 abbiamo due ellissi rosse. Tra c1 e c3 due ellissi azzurre, mentre tra c2 e c3 (esterne) le iperboli verdi. Troviamo nuovamente 8 punti in comune a tutte e tre le curve, luogo dei centri, e possiamo disegnare in arancione due circonferenze tangenti a tutte e tre quelle di partenza.

Ovviamente, il numero 8 è il numero massimo di punti che si possono trovare, ma possono anche essere di meno. Ad esempio, se le tre circonferenze c1, c2 e c3 fossero ognuna interna all'altra non avremmo nessun punto in comune (provare per credere...).

4. Circonferenze degeneri

Dobbiamo dire che quanto ottenuto è solo una parte del Problema di Apollonio, che riguarda, invece, anche le circonferenze degeneri, siano esse punti o rette. La faccenda si complica sicuramente, ma ammette sempre una soluzione puramente grafica. Riportiamo il risultato finale:

Questi casi degeneri assumono un interesse molto generale e determinano soluzioni fondamentali per la geometria. Ad esempio, nel caso dei tre punti otteniamo come risultato che esiste una e una sola circonferenza passante per tre punti. Infatti, essere tangenti a un punto vuol dire contenere quel punto.

Il caso di due circonferenze e di una retta ha molte configurazioni che portano a un numero diverso di circonferenze tangenti: se la retta interseca  c1 e c2 le soluzioni sono 8, ma si riducono a 4 se la retta è esterna o addirittura nessuna se la retta lascia c1 e c2 da parti opposte. Provate da soli e vi assicuro che è estremamente divertente...

Ovviamente, in tutti i casi in cui si presentino almeno due "vere" circonferenze c1 e c2, le sezioni iperboliche od ellittiche che abbiamo trovato sono di grande aiuto, dato che devono contenere il centro delle circonferenze tangenti cercate. Potete divertirvi da soli a disegnare gli casi degeneri e comprendere le loro profonde implicazioni.

Una riflessione

Vorrei, infine, chiarire un aspetto sollevato da un commento di Albertone. Lui chiedeva che interesse pratico potesse avere questo Problema. In realtà ce l'ha e come, ma anche se non l'avesse, potremmo sempre pensare alla geometria come a una forma di arte ... cosmica. Chi mai si è chiesto qual è l'utilità pratica di una sinfonia o di un dipinto o di una scultura? Essi servono "solo" a un piacere interiore dello spirito e la stessa cosa può capitare con una rappresentazione di pura geometria.

Basta pensare a Mondrian

o a Cezanne

o al cubismo di Gris

o -perché no?- alla fantastica Guernica di Picasso.