Il problema è più semplice di quanto si possa pensare a prima vista. In pratica ci dice di risolvere questa equazione:

(x² - 7x + 11)^{(x² - 11x + 30 )} = 1

Un metodo abbastanza rapido sarebbe quello di eseguire il grafico della funzione di sinistra e vedere dove taglia l'asse y = 1, come mostrato nella Fig. 1.

I punti sembrerebbero tre, e le ascisse corrispondenti sarebbero 2, 5 e 6.

Tuttavia, non sempre basta l'occhio. A volte è necessario "scovare" soluzioni nascoste.

Agiamo, perciò, in modo algebrico. Come possiamo fa sì che la parte di sinistra sia uguale a 1? Vi sono, ovviamente, due modi: porre uguale a 1 la base oppure porre  uguale a zero l'esponente. In altre parole:

1^k = 1

k⁰ = 1

Nel secondo caso è necessario, però, che k sia diverso da zero, altrimenti avremmo una forma indeterminata.

Queste semplici relazioni ci permettono di trovare facilmente le soluzioni. Basta, infatti, porre uguale a 1 la base (x² - 7x + 11) e porre uguale a 0 l'esponente (x² - 11x + 30 )

Niente di più facile, trattandosi di semplici equazioni di secondo grado in x. La prima ci fornisce i valori

x = 2

x = 5

La seconda equazione ci regala:

x = 5

x = 6

Prima di accettarle, però, dobbiamo essere sicuri che la base sia diversa da zero. Bene, basta inserire questi valori nella base e verificare che essa sia diversa da zero. Così è, infatti, per cui le soluzioni sono valide.

Tutto risolto? Sembrerebbe di sì, anche perché quanto ottenuto coincide perfettamente con il grafico. E, invece, no... stiamo perdendo due soluzioni davvero "singolari". Vi è, infatti, un altro modo per ottenere il nostro risultato di 1.

(-1)^2k = 1

In altre parole, dobbiamo porre uguale a -1 la base e verificare che l'esponente sia un numero intero pari.

La base posta uguale a -1 ci regala due nuove soluzioni:

x = 3

x = 4

Verifichiamo che l'esponente sia un numero pari intero inserendo nell'esponente i valori di x appena trovati. Otteniamo i valori di 6 e di 2, che sono interi positivi. Si può concludere che anche le ultime due soluzioni sono valide. Nella Fig. 1 dobbiamo perciò aggiungere due soluzioni, segnate in rosso. La funzione non appare nel grafico perché in quella regione assume solo valori complessi, tranne che in quei due punti.