Un titolo poco comprensibile, lo ammetto. In generale, sembra dire che quando i calcoli diventano eccessivamente complessi è facile che essi nascondano qualcosa di estremamente più semplice. Un argomento che forse appare più filosofico che matematico... ma facciamo in fretta a riportarlo a un caso "reale". E quando dico reale dico proprio REALE.

Vogliamo calcolare il valore di iⁱ

Beh... saremmo pronti a scommettere che preso un numero complesso ed elevandolo a un numero complesso il risultato deve sicuramente essere complesso. E, invece, no! Il risultato è un numero reale. Anzi è un'infinita serie di numeri reali!

Dimostriamolo nel modo più semplice possibile, stando attenti che in rete si usano spesso metodi contorti, eccessivamente complicati, quando tutto è invece decisamente più semplice.

Punto essenziale è ricordare la celeberrima formula di Eulero, quella che descrive il legame tra esponenziale e funzioni trigonometriche. In breve:

e^iθ = cos θ + i sin θ                 .... (1)

Rifacciamoci alla rappresentazione grafica dei numeri complessi: sull'asse x mettiamo la parte reale e sull'asse y la parte immaginaria. E' banale calcolare il secondo membro dell'equazione (1).

θ = 0     eⁱ⁰ = cos(0) + i sin(0) = 1 + i 0 = 1.

θ = π/2     e^iπ/2 = cos (90) + i sin (90) = 0 + i 1 = i     

A questo punto potremmo concludere immediatamente...

iⁱ = (e ^iπ/2)ⁱ = e ^-π/2     (i i = i² = -1)

Su internet si trova spesso questa soluzione sbrigativa... Ma essa non è l'unica!

Infatti, continuando a variare l'angolo, si ha:

θ= π    e^iπ = -1

θ= 3/2π      e^i3π/2 = - i

θ = 2π =  e^i2π  = 1

θ = 2π + π/2 =  e^{i(2π + π/2)} = i

In generale

θ= π/2 + 2kπ  = e^{i(π/2 + 2kπ)} = i

Ne segue che esistono infiniti valori che corrispondono ai diversi valori di i

per cui:

iⁱ = e ^{i(2kπ + π/2)i} = e ^{-π/2 - 2kπ}

Vi sono infinite soluzioni REALI...

Le operazioni con i numeri complessi non sono argomento difficile, ma bisogna fare molta attenzione a non perdere soluzioni per strada. Per saperne di più consiglio di leggere qui e qui per cercare di entrare in questo strano mondo...