Quando si opera con l'unità immaginaria i dovrebbe essere ovvio che le soluzioni complesse siano obbligatorie. O, almeno, bisognerebbe specificare bene se si vogliono solo i risultati reali oppure no. Abbiamo visto da poco che l'operazione iⁱ ammette SOLO soluzioni reali, ma che esse sono comunque infinite. Verificato questo "inaspettato" risultato, non possiamo, senza essere espliciti, dare come soluzioni di altre operazioni in cui compare i la sola soluzione reale. Potrebbe portare a pensare che esse siano le sole, come successo per iⁱ.

Fatta questa premessa molto "personale", vediamo di risolvere qualche altro caso particolare. Ci accorgeremo che è un vero e proprio gioco, in cui è essenziale stare molto attenti alle sue regole.

Vi sono vari modi per affrontare i problemi che ci porremo, ma -secondo me - il  migliore è sempre quello della relazione trigonometrica (l'equazione di Eulero), la quale illustra molto bene come la rotazione del vettore rappresentante  un certo numero  porti a svariate soluzioni non sempre coincidenti, come, infatti, capita nel caso di iⁱ.

In parole povere, cerchiamo di avere sempre ben presente il fatto che il numero i può essere considerato un "motore" che permette di eseguire una rotazione di π/2 nel piano complesso. Partendo dal valore 1, reale, la sua moltiplicazione per i porta il vettore unitario dall'asse x all'asse y, dove vale proprio i (i · 1 = i). Una nuova rotazione di π/2 lo trasporta nella parte negativa dei numeri reali (1 · i · i = -1), così come un'ulteriore rotazione porta a un valore negativo della nostra i. Dopo una rotazione di 2π torniamo alle condizioni iniziali.

Questa rotazione dimostra la relazione fondamentale dei numeri complessi, la loro vera definizione. Ripetiamola...

1 ruotato due volte è uguale a 1 · i · i (applichiamo due volte il "motore" che permette la rotazione) ossia 1· i². Ma due rotazioni portano anche al valore negativo di 1, ossia -1, per cui i² = -1.

Forse il caso di maggiore fraintendimento riguarda proprio √-1. Si legge spesso che  essa definisce proprio l'unità immaginaria, ossia √-1 = i.

La scrittura i = √-1 è una scrittura corretta, mentre non è vera -o solo parzialmente vera- la scrittura √-1 = i. In altre parole, è giusto dire che il cane è un mammifero, ma non è corretto dire che un mammifero è sicuramente un cane. Può essere un gatto e molto altro ancora. Nel nostro caso, infatti:

√-1 = +/- i

Molta attenzione, quindi, nel sostituire √- 1 con i.

Come tutte le radici di un numero complesso essa DEVE avere sempre due soluzioni.

Verifichiamolo partendo proprio dalla celeberrima identità di Eulero:

- 1 = e^iπ = cos π + i sin π

√- 1 = (-1)^1/2 = e^iπ/2 = cos π + i sin π = i

Tuttavia, possiamo ottenere un'altra soluzione, aggiungendo 2π:

- 1 = e^{i(π + 2π)}

√- 1 = e^{i(π + 2π)/2} = e^i3π/2 = cos 3π/2 + i sin 3π/2 = - i

Non esistono altre soluzioni dato che si ripetono, continuando ad aggiungere 2π.

Vediamo, allora, un paio di altri "giochi" legati al numero complesso i e, verificando sulla rete, come la soluzione data sia molte volte  solo parziale, tale da far pensare che la soluzione sia del tutto reale anche quando non lo è affatto.

Radice quadrata di i

(1) Metodo "classico"

√i  è un numero complesso, per cui può essere scritto come a + bi

√i = a + bi

Quadriamo ambo i membri

i = a² + 2bi + b²i² = a² + 2abi – b²

i = (a² – b²) + (2ab)i

affinché sia valida l’uguaglianza, deve essere

i = 0 + 1 i = (a² – b²) + (2ab)i

a² – b² = 0

2ab = 1

b = 1/(2a)

per cui

a² – b² = a² – 1/(4 a²)= 0

4a⁴ – 1 = 0

a⁴ = 1/4

a = +/- 1/√2

sostituendo, otteniamo:

per

a = 1/√2

b = 1/(2 (1/√2))  = 1/√2

per

a = - 1/√2

b = 1/(-2 (1/√2)) = - 1/√2

In conclusione abbiamo due soluzioni per √i

√i = a + bi = 1/√2 + i/√2 = √2/2 + i √2/2

e

√i = -1/√2 – i/√2 = -√2/2 - i √2/2

Metodo corretto, ma piuttosto lungo che può essere "sveltito"...

(2) Un trucchetto sotto radice

√i = √(2i/2) = √((1 + 2i -1)/2) = √((1 + 2i + i²)/2) = √((1 + i)²/2)

Estraendo la radice quadrata abbiamo due soluzioni:

√i = +/- (1 + i)/√2 = +/- (1/√2+ i/√2) = +/-(√2/2 + i √2/2)

(3) Equazione di Eulero

Passiamo agli esponenziali e alla forma trigonometrica

i = e^iπ/2

eseguire una radice quadrata equivale a elevare a 1/2

√i = (e^(iπ/2))^1/2 = e^(iπ/4)

Trasformata in forma trigonometrica:

√i = cos(π/4) + i sin(π/4) = (√2/2)(1 + i)

Una sola soluzione? No.

Possiamo benissimo scrivere i, aggiungendo 2π all'esponente...

i = e^iπ/2 = e^{i(π/2 + 2π)} = e^i5π/2 

√i = e^(i5π/2)1/2 = e^(i5π/4)

√i = cos(5π/4) + i sin(5π/4) = - (√2/2)(1 + i)

Non esistono altre soluzioni, dato che aggiungendo 2π si ritorna al caso iniziale e via dicendo...

Radice quadrata di - i

In modo analogo si può calcolare √-i

-i = e^i3π/2 = cos(3π/2) + i sin(3π/2)

(-i)^1/2 = (e ^{i 3π/2})^1/2  = e ^{i 3π/4} = cos(3π/4) + i sin(3π/4) = -√2/2 + i √2/2

vale però anche

-i = e^{i(3π/2 + 2π)} = e^i7π/2

(-i)^1/2 = e^i7π/4  = cos (7π/4) + i sin(7π/4) = +√2/2 - i √2/2

Per cui:

√-i = +/- √2/2 (1  - i)

Abbiamo ottenuto

√i = +/- √2/2(1 + i)

√-i = +/- √2/2(1 - i)

Diventa, allora, veramente immediato risolvere le due relazioni

√i + √-i

e

√i - √-i

che spesso sono calcolate escludendo soluzioni, senza il dire chiaramente ciò che è stato fatto.

Basta non perdere pezzi lungo la strada e scrivere:

√i + √-i= +/- √2/2(1 + i) + (+/- √2/2(1 - i))

che comporta 4 soluzioni

√i + √-i= +√2/2(1 + i) + √2/2(1 - i)) = 2 √2/2 = √2

√i + √-i= +√2/2(1 + i) - √2/2(1 - i)) = 2 i√2/2 = i√2

√i + √-i= - √2/2(1 + i) + √2/2(1 - i)) = - i√2

√i + √-i= - √2/2(1 + i) - √2/2(1 - i)) = - √2

Queste 4 soluzioni rispondono alla motivazione della domanda che avevo fatto qui: +/- non può essere messo in evidenza e sacrificare due soluzioni. Se volessimo solo le due reali, bisognerebbe dirlo esplicitamente.

Le stesse soluzioni si ottengono eseguendo

√i - √-i

In realtà, senza fare molti calcoli, basta rappresentare graficamente, nel piano complesso, le soluzioni di √i e √-i che abbiamo appena trovato. Usiamo la Fig. 1

Le radici di √i sono le due rosse; quelle di √-i sono le due blu. Per trovare le 4 soluzioni di √i + √-i, basta fare la somma vettoriale...