Categorie: Matematica
Tags: geometria 3D quiz raggi tangenza tre sfere triangolo
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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Tre sfere nello spazio **
Un problema in tre dimensioni che è, comunque, più semplice di quello che potrebbe sembrare leggendolo. L'importante è riuscire a visualizzare nel modo corretto le tre sfere e il triangolo.
Tre sfere sono tangenti a un piano in tre punti A, B, C che formano un triangolo di lati a>b>c, noti. Ogni sfera è anche tangente alle altre due. Determinare i raggi delle tre sfere.
Ovviamente, non riporto figure illustrative, dato che gran parte del problema sta proprio nella rappresentazione grafica...
4 commenti
In bianchetto riporto il mio ragionamento:
Se le sfere sono tangenti tra loro, i centri presi a due a due e i rispettivi punti di tangenza, sono allineati.
Essendo a>b>c e indicando con x, y, z i raggi delle tre sfere con x>y>z,
a sarà la proiezione sul piano di x+y
b sarà la proiezione sul piano di x+z
c sarà la proiezione sul piano di z+y
per cui avremo:
a = √[(x+y)^2 − (x−y)^2] = 2√(xy)
b = √[(x+z)^2 − (x−z)^2] = 2√(xz)
c = √[(y+z)^2 − (y−z)^2] = 2√(yz)
Le equazioni precedenti possono essere rappresentate attraverso le seguenti figure con vista frontale bidimensionale:
https://i.ibb.co/F52yD0q/maggiore-mediano.png
https://i.ibb.co/qND8T7N/maggiore-minore.png
https://i.ibb.co/1sJ5jNZ/mediano-minore.png
Isolando i prodotti dei raggi e quadrando a sinistra e destra:
xy = (a^2) / 4
xz = (b^2) / 4
yz = (c^2) / 4
Per risolvere basta effettuare dei prodotti alternati di due coppie di raggi fratto il prodotto della terza coppia:
(xy · xz) / (yz) = x^2 =
= ((ab)^2 / 16) / (c^2 / 4) =
= ((ab)^2) / (4c^2)
x = √[((ab)^2) / (4c^2)] = ab / (2c)
Similmente:
(xy · yz) / (xz) = y^2 → y = ac / (2b)
(xz · yz) / (xy) = z^2 → z = bc / (2a)
La mia soluzione è a questo link.
siete sempre bravissimi!!