Prendiamo spunto da un simpatico problema per risolverlo giocando un po' con i fattoriali. Esistono sicuramente altri metodi, probabilmente anche più rapidi, per ottenere il risultato ma li lascio ai più volenterosi. Io mi voglio dedicare a una soluzione che faccia uso dei fattoriali per riuscire a utilizzarli al meglio senza esserne spaventati.

Ecco il quiz:

Vi sono 100 persone davanti a un'enorme torta. Iniziano a mangiarla uno alla volta, seguendo, però, una regola abbastanza strana: il primo mangia solo l'un percento dell'intera torta. Il secondo mangia il 2% di quanto rimane. Il terzo il 3%, e così via, fino al centesimo, che mangerà, ovviamente, il 100% della torta rimasta.

Le domande sono molto semplici:

(1) Chi mangerà la maggiore quantità di torta?

ATTENZIONE: Non si possono usare computer o calcolatrici in genere e nemmeno la forza bruta.

(2) Quanta torta mangerà ?

Per questa seconda risposta è ammesso l'uso di una calcolatrice...

SOLUZIONE FATTORIALE

Cerchiamo di trovare la formula ricorrente calcolando ciò che mangia ogni persona e ciò che lascia alla persona successiva

quanto mangia                                                                 quanto lascia

N = 1             100% 1%                                                                       99%

N = 2             99% 2%                                                                98% 99%

N = 3             98% 99% 3%                                                 97% 98% 99%

N = 4             97% 98% 99% 4%                                     96% 97% 98% 99%

….

Attenzione a come calcolare quello che lascia il secondo …  Il calcolo esatto è (100-2)% 99%. Quello che lascia il terzo è (100 – 3)% 96% 97% 98% 99%, e via dicendo.

Siamo interessati al primo membro, dato che vogliamo sapere la quantità di torta mangiata da ciascuno. Scriviamo la formula ricorrente:

Q(N) = 99% 98% 97% .... (99% - ( N - 2))%  N/100

Infatti, per N = 4 , 99 - (N - 2) = 97

Scriviamo questo termine per esteso inserendo proprio /100 al posto di %...

Q(N) = 99/100 · 98/100 · 97/100 · ....  · ((99 - (N-2))/100) · (N/100)

Q(N) = 99 · 98 · 97 ... (99 - (N-2)) · (N/100^N)

il denominatore 100 va moltiplicato N volte per se stesso.

Dedichiamoci alla prima parte del numeratore.

99 · 98 · 97 · (99 - (N-2))

Esso può essere scritto come fattoriale di 99, (99 · 98 · 97 · 96 ... 1), che va però diviso per (99 - (N - 1))! o, se preferiamo, (100 - N)!

Nel caso di N = 4, infatti,

99 · 98 · 97 · 96 · 95 · .... · 2 · 1 = 99!

Ma noi vogliamo solo la parte 99 · 98 · 97. Per cui bisogna dividere 99! per (100 - N)! = 96!

Ne segue:

Q(N) = 99! N/((100 - N)!100^N)

Fermiamoci qui e calcoliamo Q(N+ 1)... Molto semplice basta inserire N + 1 al posto di N

Q(N + 1) = 99! (N+1)/((100 - N - 1)! 100^N+1)

Facciamo il rapporto tra Q(N + 1) e Q(N)

 Q(N + 1)/Q(N) = [99!(N+1) ((100 - N - 1)!100^N+1)] [((100 - N)! 100^N)/(99!N)]

Semplificando ...

 Q(N + 1)/Q(N) = [(N + 1)/( (100 - N - 1)!100^N+1)] [((100 - N)! 100^N)/N]

Attenzione! Abbiamo (100 - N)! al numeratore e (100 - N - 1)! al denominatore... E' ovvio che rimane solo (100 - N) al numeratore. Inoltre, abbiamo 100^N al numeratore e 100^N+1 al denominatore, per cui resta un 100 al denominatore. In conclusione:

Q(N + 1)/Q(N) =  (N + 1) (100 - N)/(100 N)

Cosa possiamo dire a questo punto? Semplice... La fetta di torta continua a crescere fino a che Q(N+1) >Q(N), ossia fino a che

Q(N + 1)/Q(N) > 1

Ossia fino a che

(N + 1) (100 - N)/(100 N) > 1

(N + 1) (100 - N) > 100 N

100N + 100 - N² - N > 100 N

N2 + N < 100

N deve essere un numero intero. Il quadrato di N più N deve essere minore di 100. E' semplice verificare che per N =1, 2, 3,...,9 questo succede sempre (81 + 9 = 90 < 100). Ne segue che N = 9 ottiene ancora un pezzo di torta che è minore di quello del successivo. Ciò non capita più, però, per N = 10 (100 + 10 > 100).  N = 11 ottiene, perciò, un pezzo di torta più piccolo di N = 10. Dopo di che la fetta continua a diminuire.

Il più fortunato è, perciò, il numero 10.

Quanta torta mangia? Beh, facilissimo a trovarsi...

Scriviamo la formula ricorrente:

Q(N) = 99! N/((100 - N)!100^N)

e applichiamola a N = 10

Q(10) = 99!10/(90! 100¹⁰) = 99!/(90! 10⁹)

Q(10) ≈ 6.28%

Quel 6.28 fa venire qualche "brutto" pensiero... essendo circa 2π, ma sono convinto ch sia solo un caso... (oppure no?).