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Tags: banane quiz scimmia soluzione tensione di una fune terzo principio dinamica
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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La soluzione della scimmietta e delle banane dipende molto dalla capacità di ragionare della scimmia *
Come previsto, la vera difficoltà sta nell'esprimere correttamente il risultato. Da un lato è giusto dire che scimmia e le banane si avvicinano, in quanto si accorcia il filo, ma dall'altra la loro distanza relativa in senso verticale rimane immutata. Se h è molto maggiore di d, la scimmia probabilmente salirà, ma vedendo il casco di banane sempre alla stessa distanza da lei, si stancherà di fare lavoro, vedendo che niente sta cambiando. In fondo, il risultato dipende molto dalla tenacia e dalla logica della scimmia...
Vediamo di affrontare il problema in modo fisicamente rigoroso, ricordando che la vera motivazione di questo piccolo, ma intrigante, quiz è quello di ricordare molto bene il 3° principio della dinamica e introdurre la tensione di un filo "ideale".
Pensiamo innanzitutto che quando stiamo in piedi in condizioni di riposo, lo dobbiamo alla reazione del terreno alla nostra forza peso. In pratica, ciò che ci fa stare in piedi è la 3° legge della dinamica che introduce una forza uguale e contraria. Noi stiamo fermi dato che siamo soggetti a due forze uguali e contrarie.
La stessa cosa avviene se la fune fosse appesa al soffitto inamovibile. Per potere salire la nostra scimmia deve agire con una certa forza sulla fune in modo che lei risponda con una forza uguale e contraria. Nelle condizioni iniziali la scimmia è appesa al filo e niente si muove avendo raggiunto l'equilibrio tra forza peso e reazione della fune (è come se fosse per terra). Per salire la scimmia prende la fune a una certa altezza sopra di lei e poi agisce sulla fune tirando verso il basso. E' proprio la reazione della fune (uguale e contraria) che le permette di salire, dato che è diretta verso l'alto. Questa forza corrisponde a una certa accelerazione aS. Ne segue che il baricentro della scimmia percorre una certa distanza nel tempo di azione della forza. Quando si ferma, la lunghezza del filo, tra lei e il soffitto, si è ridotta proprio dello spazio percorso. Siamo di nuovo in equilibrio. Poi la scimmia ripete l'azione fino a raggiungere il soffitto.
Quando inseriamo un peso dall'altra parte del ramo, la faccenda cambia relativamente poco... La scimmia vuole salire e si aggancia in alto alla fune e la tira verso il basso come prima. Questa volta però, la forza di reazione che la spinge verso l'alto si trasmette perfettamente uguale all'altro capo della fune dove si trovano le banane. Anch'esse, quindi, vengono spinte verso l'alto con un'accelerazione che è identica a quella della scimmia. Se salgono con la stessa accelerazione la distanza d tra di loro deve restare COSTANTE, ossia la scimmia non si avvicina alle banane, ma le vede sempre alla stessa altezza rispetto a lei. La scimmia, perciò, non pensa che prima o poi arriverà all'altezza del ramo, dato che il filo si accorcia, ma vedendo inutili i suoi sforzi, smetterà, probabilmente, di salire e userà una nuova strategia. Ad esempio, tornare a terra e far cadere il casco delle banane, ormai libero di seguire la sua forza peso.
Ovviamente, la scimmia, rispetto a un osservatore esterno, non è più salita come quando la fune era appesa al soffitto, dato che la lunghezza della corda tra lei e le banane si è ridotta della stessa quantità di quando lei saliva da sola (il tratto di fune si riduce della stessa quantità, dato che le banane non accorciano la loro posizione rispetto al filo). L'accelerazione deve distribuirsi in ugual modo tra scimmia e banane. Entrambi, rispetto al riferimento esterno, salgono di una lunghezza d/2, ossia entrambe hanno un'accelerazione pari ad aS/2.
Ricapitolando: l'unica forza che permette alla scimmia di salire è la reazione della fune, ossia la sua tensione. Sia che la scimmia sia ancorata al soffitto, sia che sia controbilanciata dalle banane, la fune si accorcia di una stessa quantità, ma l'accelerazione della scimmia si dimezza. La distanza tra di loro NON cambia, dato che entrambe salgono della stessa quantità avvicinandosi al ramo.
Possiamo anche disegnare direttamente i diagrammi delle forze, stando bene attenti a chi esercita una forza e su chi. Indichiamo in azzurro le forze agenti sulla scimmia e in rosso le forze agenti sulla fune.
Consideriamo la scimmia da sola appesa a un filo. Per stare in equilibrio (a), la scimmia subisce la sua forza peso Mg (in azzurro). La stessa forza è ovviamente quella che trasmette alla fune (in rosso). La fune reagisce sulla scimmia con una forza uguale e contraria, ossia con - Mg (in blu). Le forze agenti sulla scimmia (in blu) sono due, entrambe uguali a Mg e di verso opposto. La scimmia è in equilibrio: Mg - Mg = 0.
In (b) la scimmia vuole salire. Deve perciò tramettere una forza F alla fune (in rosso), la quale risponde con una forza uguale e contraria (in blu). La scimmia è soggetta a due forze, ma non è in equilibrio dato che F > Mg. Ne segue che è soggetta a una forza risultante che è data da Ma = F - Mg.
Se mettiamo le banane dall'altra parte, anche queste sono inizialmente in equilibrio. Appena la scimmia impone la forza F, questa si trasmette alle banane, tale e quale. Le banane perciò subiscono anch'esse una forza F' verso l'alto che non dipende da loro, ma solo e soltanto dalla forza imposta alla fune dalla scimmia. Anche per loro vale la relazione: F' - M'g = Ma'. Ma F = F' ed M = M' per cui deve anche essere a = a'. Ne segue che scimmia e banane salgono entrambe, con la stessa accelerazione, mantenendo costante la distanza relativa tra loro,
In poche parole, la forza che permette il movimento della scimmia (e delle banane) è praticamente la tensione F del filo su di loro, Che d'ora in poi chiameremo T. Ovviamente, tutto ciò è possibile solo se la fune ha ha massa zero e se il ramo (puleggia) permette un puro scivolamento.
Il fatto che la tensione si trasmetta tale e quale, in modulo, attraverso una fune ideale permette di affrontare con semplicità anche problemi apparentemente decisamente più complicati
Prima di passare ad esercizi in cui la tensione giocherà un ruolo più importante, dedichiamo, però, la prossima "puntata" a dimostrare, in modo rigoroso, cosa succederebbe se la fune non avesse massa zero.
continua ...