27/01/25

Un caso perfettamente simmetrico ? (con soluzione) *

Abbiamo due pesi di massa m e M che poggiano su un pavimento senza attrito e sono collegati da una fune "ideale" (senza massa e inestensibile). Applichiamo la stessa forza F una volta su M>m verso destra (caso A) e una volta su m verso sinistra (caso B). Trovare le accelerazioni sui due corpi e le tensioni della fune in entrambi i casi.

Un problema veramente banale (i più esperti pazientino un poco a rispondere) che, però, dimostra se è stata compresa bene l'azione di una fune...

SOLUZIONE

Iniziamo inserendo la forza a destra...

Nelle ipotesi "ideali", possiamo concludere che l'intero sistema si muova all'unisono, per cui la seconda legge di Keplero ci dice che:

F = (M + m) a

L'accelerazione è quindi data da:

a = F/(M+ m)            .... (1)

Sul corpo M agisce  la tensione T del filo che lo trascina verso sinistra e la forza F diretta in verso opposto. Risulta, quindi:

F - T = Ma

T = F  - Ma

Ma a la conosciamo dalla (1). Sostituendo...

T = F  - Ma = F - M F/(M + m) = (FM + mF - FM)/(M + m)

T = F m/(m + M)

Nel secondo caso, l'accelerazione del sistema deve rimanere la stessa, dato che la sua massa totale non è cambiata e F è sempre la stessa).

Il movimento, adesso, è verso sinistra e per la massa m possiamo scrivere:

F - T = ma

T = F - ma

Inserendo il valore dell'accelerazione, si ha:

T = F - F(M + m)m

T = F M/(M + m)

la tensione è decisamente più grande in questo caso...

Parità di accelerazione, ma diversa tensione. Il che era del tutto preventivabile logicamente.

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