27/01/25

Un filo "pesante" **

Abbiamo fatto - e faremo- esempi di tiro alla fune con massa della fune trascurabile.  Una semplificazione fondamentale che unita alla inestensibilità permette di risolvere problemi anche molto complicati.

Poniamoci, allora, nel caso in cui la massa m della fune non sia trascurabile e vediamo di risolvere un semplice problema che ci permetta di analizzare la tensione T del filo (Fig. 1).

Figura 1

Per muovere l'intero sistema verso destra, la seconda legge di Newton ci dice che devo imporre una forza F

F = a (M + m)

tale che l'accelerazione non sia nulla

a = F/(M + m) > 0

Se questo avviene, posso dire che la massa M si mette in moto. Con quale accelerazione? Beh, ovviamente la stessa accelerazione, dato che il il sistema può intendersi come corpo rigido. Ne segue che M si muove per effetto del trascinamento T (tensione della fune) che è data da, sempre per il secondo principio della dinamica:

T = M a = F M/(M + m).

Risulta chiaro che la tensione esercitata dalla fune su M risulta minore di F.  E'  un'ovvietà facile da intuirsi, dato che la forza F  deve muovere anche la fune di massa m, mentre T fa muovere solo M.

Risulta altrettanto intuitivo che se andassi a misurare la tensione lungo la fune in P troverei un valore diverso, dato che spostandoci verso sinistra rispetto al punto di applicazione di F, la massa da trascinare, sempre con la stessa accelerazione, oltre a M è anche la massa Δm, relativa alla massa della fune che sta a sinistra di P. Possiamo facilmente quantificare quanto ci detta l'intuizione  e trovare il valore di T lungo tutta la sua lunghezza.

Iniziamo, considerando una fune di densità lineare costante ρ che vale, perciò, ρ = m/L  (lo spessore è considerato nullo).

Facciamo partire, in Fig. 2, l'asse x dal punto di contatto della fune con M.

Figura 2

Consideriamo un punto P molto vicino a F e il trattino di corda di massa dm. La lunghezza del trattino può essere scritta come L - x. Che forze agiscono su questo trattino? Sicuramente F e una tensione T(x) diretta in verso opposto. La seconda legge di Newton ci dice che:

dm a = F - T(x)

Al posto di dm facciamo intervenire la densità ρ

ρ(L - x) a = F - T(x)

T(x) = F - ρ(L - x)a

ma a lo conosciamo e vale

a = F/(M + m)

sostituendo...

T(x) = F - F ρ(L - x)/(M + m)

T(x) = F(1 - ρ(L - x)/(M + m))

T(x) = F(1 - (m/L)(L - x)/(M + m))

T(x) = F(1 -  m(L - x)/(L(M + m)))

T(x) = F((L(M + m) - m(L - x))/(L(M + m)))

T(x) = F((LM + Lm - mL + mx)/(L(M + m)))

T(x) = F((LM + mx)/(L(M + m)))

T(x) = F(L(M + mx/L))/(L(M + m))

T(x) = F((M + mx/L)/(M + m))

T(x) = F/(M + m)(M + mx/L)

Controlliamo subito se la formula soddisfa i due casi limite, ossia x = 0 e x = L

per x = 0

T(0) =F M/(M + m)

per x = L

T(L) = F (M+ m)/(M + m) = F

Perfetto!

P.S.: Non potendo usare Latex, spero che le parentesi siano giuste... Alberto tocca a te!

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