Il comportamento di una fune ideale ha permesso nel 1784 a George Atwood di ideare un dispositivo che permettesse di misurare l'accelerazione di gravità in modo più esatto di quanto fosse stato possibile con il piano inclinato galileiano. Il meccanismo, estremamente semplice concettualmente, ci ricorda la scimmietta e le sue banane "irraggiungibili".

Fondamentale è il fatto che una fune  ideale trasmette perfettamente la tensione da un  capo all'altro. La fune, perciò, può anche essere piegata cambiando così la direzione della tensione. Ciò si ottiene "facilmente" con una carrucola ideale, come vedremo tra poco.

Un peso sospeso

Cambiamo leggermente il problema delle due masse poste su un piano e consideriamo il caso in cui una di esse sia sospesa attraverso una carrucola ideale. Per far muovere il sistema non è necessaria alcuna forza esterna, ma è sufficiente la forza peso della massa sospesa.

Cosa succede se invertiamo le due masse ?

Nel caso di Fig. 1(a), sulla massa M agisce la forza peso Mg e la tensione T del filo. Sulla massa m agisce solo la tensione T.

In formule:

T = m a

Mg - T = M a

E' immediato calcolare l'accelerazione a del sistema, inserendo la prima relazione nella seconda:

Mg - ma = Ma

a = g M/(M + m)

E, di conseguenza, la tensione T risulta essere:

T = ma = gMm/(M+ m)

 

Nel caso (b), si ottiene , invece:

T = M a

mg - T = m a

a = gm/(M + m)

L'accelerazione del sistema è decisamente più piccola di prima. Ciò è intuitivo, dato che la forza impressa al sistema  è diminuita (mg invece di Mg).

La tensione risulta:

T = Ma = gmM/(M + m)

Essa rimane invariata, ma anche questo risultato è abbastanza intuitivo.

Macchina di Atwood

Passiamo, infine, alla macchina di Atwood. Essa è schematizzata nella Fig. 2.

Se le due masse M e m fossero uguali il sistema sarebbe in perfetto equilibrio. Aumentiamo allora leggermente la massa M.

su m agiscono la forza mg e la tensione T:

ma =  T - mg

Sulla massa M, abbiamo, invece:

Mg - T = Ma

eliminando T, si ottiene:

mg + ma  = Mg - Ma

(M - m)g = a(M + m)

a = g(M - m)/(M + m)

L'accelerazione a può essere calcolata misurando lo spostamento s di m in un certo periodo di tempo, dato che sappiamo valere la ben nota formula:

a = 1/2 s t²

Noto a la (1) permette di ricavare g.

g = a (M + m)/(M - m)

E' immediato il calcolo di T

T = ma + mg = mg(M - m)/(M + m) + mg = (mgM - m²g + m²g + mMg)/(M + m)

T = 2 g Mm/(M + m)

In realtà, sia il peso della fune che l'attrito esercitato sulla carrucola non possono essere trascurate del tutto, ma il concetto rimane inalterato, inserendo le relative correzioni. E' comunque necessario che le masse siano abbastanza grandi in modo da prevalere nettamente sull'attrito e che la forza motrice (dovuta alla differenza tra le due masse) sia abbastanza piccola per ottenere un movimento misurabile con una buona accuratezza.

Alla prossima ...