L'ultima soluzione proposta dal nostro amico sprmnt21 è abbastanza laboriosa e forse non  sufficientemente chiara a tutti. Preferisco, perciò, pubblicare una soluzione che mi sembra molto più facile da seguire e che utilizza due ben note proprietà dei triangoli (da cui il singolo asterisco del quiz):

(1) Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo (affermazione che viene anche chiamata, nei paesi anglosassoni, teorema di Talete).

(2) Le altezze tracciate dai tre vertici si incontrano in un punto, chiamato ortocentro.

Passiamo alla costruzione, considerando in Fig. 1 la retta r e un punto P esterno ad essa.

La prima cosa da fare è disegnare una circonferenza. Per far ciò ci basta usare una volta sola il compasso, facendo centro in un punto C qualsiasi della retta r. L'importante è che questa circonferenza non passi per P. Chiamiamo A e B i punti di intersezione tra circonferenza e retta r. Ovviamente, il segmento AB è un diametro, dato che passa per il centro C.

In Fig. 2 tracciamo ora le rette PA e PB, che incontrano la circonferenza anche nei punti M e N, rispettivamente.

Ovviamente, come già detto, AB è un diametro, per cui i due triangoli AMB e ANB devono essere rettangoli, ossia

angolo AMB = angolo ANB = 90°

Ne consegue che i prolungamenti di MB e NB sono perpendicolari, rispettivamente, ad AP e a NA.  Prolunghiamo, allora, AN fino a incontrare il prolungamento di MB nel punto H.

Non ci resta, adesso, che congiungere H con P per ottenere il triangolo AHP.

Attenzione, però... HM è l'altezza relativa al lato AP tracciata, mentre PN è l'altezza relativa al lato AH. Per costruzione, queste due altezze si incontrano in B. B, perciò, è il punto d'intersezione di due altezze e sappiamo che tale punto è l'ortocentro del triangolo AHP. Ne consegue che il segmento tracciato da A che passa per B non può che essere la terza altezza del triangolo, ossia quella relativa al lato PH.

Ma, allora, abbiamo dimostrato che AB, ossia la retta r di partenza è perpendicolare a lato PH. PH è perciò la perpendicolare tracciata da P alla retta r, come richiesto dal problema.