Categorie: Matematica Riflessioni
Tags: moneta probabilità quiz scacchiera
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:11
Una moneta sulla scacchiera **
Ho voluto complicare un pochino un problema che ho letto su una rivista e che -forse- potrebbe anche collegarsi al concetto di infinito... Sono sicuro che i più bravi troveranno qualche generalizzazione stimolante.
Abbiamo una classica scacchiera bianca e nera, composta da 8 per 8 riquadri. Abbiamo anche una moneta che viene lanciata sulla scacchiera. Vengono contati come "buoni" solo i lanci che permettano alla moneta di cadere "di piatto" (testa o croce non ha importanza) e interamente all'interno della scacchiera, ossia non deve uscire dai suoi bordi.
Chiediamo:
Qual è la probabilità, per un grande numero di lanci, di avere la moneta che copra più di un colore?
Ogni riquadro della scacchiera ha un lato di 2, mentre la moneta ha un diametro di 1.
E se la scacchiera fosse 9 per 9?
Non è difficile modificare e complicare ancora un po' la richiesta...
Lascio a voi la possibilità di andare oltre.
11 commenti
Come ragionamento immediato proporrei questo:
https://i.ibb.co/tppt1tDB/scacchiera-moneta.png
ricordo che siamo interessati solo ai lanci riusciti. Non devono comparire nel numero totale di lanci quelli che non rispettano le regole di essere completamente all'interno della scacchiera. In altre parole dobbiamo calcolare quanto vale la parte "utilizzabile" della scacchiera.
A me risulterebbe che le probabilità nei due casi siano:
161/225 e 208/289
Questi valori li ho trovati nel modo descritto a questo link.
Invito Fabry a mantenere fissi il diametro della moneta (d = 1) e il lato della casella (q = 2), in modo da avere come unica variabile il numero N di caselle della scacchiera. Penso sia più semplice capire la formula ricorrente e, caso mai, inserire dopo la variabilità di d/q.
per una scacchiera di con NXN caselle:
[(5/9*4 + 8/12*(N-2)*4 + 12/16*(N-2)*(N-2)] / [9*4 + 12*(N-2)*4 * 16*(N-2)*(N-2)]
EC.
[(5*4 + 8*(N-2)*4 + 12*(N-2)*(N-2)] / [9*4 + 12*(N-2)*4 * 16*(N-2)*(N-2)]
(3N-1)(N-1)/(2N-1)^2
sperando di non aver semplificato troppo
N=2 => 5/9
N>>>1 -->3/4
Ottimo ragazzi... Tuttavia, ciò che vorrei spiegare per bene è come arrivare alla formula risolutiva. E poi fare qualche considerazione su N tendente a infinito...
Vado a descrivere il tutto in modo sicuramente fin troppo lungo, ma facilmente intuibile da tutti.
Io la vedrei così.
Divido ogni casella in 16 quadratini.
In ogni casella, la parte buona è l insieme dei quadratini perimetrali. In pratica su 16 quadratini 12 buoni e 4 no.
Togliendo i quadratini dei bordi esterni, ci sono in tutto (4N)^2 - 4N*4 + 4 quadratini.
Quelli buoni sono il conto di sopra meno 4N^2.