Fabry e Sprmnt21 hanno dato la risposta giusta, mentre Andy ha riportato solo il caso in cui non vi sia il problema del bordo esterno. Vediamo allora di spiegare il tutto molto lentamente, rischiando di essere fin troppo pedanti.

Una scacchiera senza limiti

Cominciamo rifacendoci ad Andy. Non inseriamo nessuna limitazione ai lanci della moneta e consideriamo inesistenti i bordi, ossia rendiamoli indeterminati. Facendo in tal modo, la soluzione è immediata e può essere trovata analizzando, in Fig. 1, soltanto una singola casella della scacchiera (il quadrato con i margini più spessi) .

A sinistra, il quadratino rosso rappresenta il luogo dei centri della moneta tali da inserirla all'interno di una singola casella. Ovviamente tale luogo ha un'area pari a 1 · 1 = 1. A destra, la parte azzurra rappresenta il luogo dei centri della moneta tali da renderla bicolore, relativi alla singola casella (che ha area 2 · 2 = 4). L'area azzurra è pari a 4 - 1 = 3.

Non consideriamo le monete che entrano nella casella ma che hanno centro al di fuori di essa, dato che esse sono considerate relative a un'altra casella.

Il rapporto tra l'area azzurra e quella dell'intera casella vale perciò 3/4 = 0.75 e questa valore rappresenta ovviamente la probabilità che la moneta sia "bicolore".

Lo stesso calcolo può essere fatto pari pari per ogni casella. Basta, allora, moltiplicare l'area della casella per N · N = N² (numero totale di caselle) per avere l'area totale della scacchiera. N è ovviamente il numero di caselle per ogni lato della scacchiera. Anche la parte azzurra va moltiplicata per N², per cui il rapporto rimane invariato qualsiasi sia il numero N.

Questa descrizione lascia un po' di ambiguità per i lanci che portino una parte della moneta al di fuori della scacchiera.

Non tutti i lanci sono ammessi

Per rendere il tutto più realistico, preferiamo escludere questo tipo di lanci e limitarci solo a quelli che permettano alla moneta di essere completamente all'interno della scacchiera. La faccenda si complica, dato che ciò che capita a caselle interne alla scacchiera è diverso da ciò che capita per le caselle lungo i suoi bordi.

Per evidenziare al meglio il procedimento da seguire rifacciamoci a un caso semplice, ad esempio N = 3 (Fig. 2).

Ricordiamo ancora che l'area del quadratino rosso vale 1, mentre quella della parte azzurra vale 3. I valori 1 e 3 rimangono gli stessi per qualsiasi N, dipendendo solo dalle dimensioni della casella e della moneta. In seguito, come già fatto da Fabrizio, potremo anche farli variare, ma per adesso manteniamoli fissi e consideriamo N come l'unica variabile in gioco.

La casella centrale è, ovviamente, identica al caso precedente. Abbiamo, però, colorato in verde le parti della zona azzurra, che corrispondono ai centri della moneta tali da avere situazioni in cui la moneta tocca più di due caselle (ossia 4). Abbiamo lasciato in bianco le strisce laterali, tali da contenere il centro della moneta, ma anche tali da avere parte di essa al di fuori della scacchiera: i lanci che portano a queste configurazioni sono stati esclusi dal conteggio.

La cosa più semplice da fare è calcolare le aree relative ai vari colori, in modo da poter rispondere anche a domande diverse da quella "ufficiale" del quiz.

Cominciamo con i quadratini rossi. Quanti sono? E' immediato rispondere: N · N = N². L'area totale vale quindi 1 (area del singolo quadratino) moltiplicato per N².

Area totale configurazioni monocolori = N²

Passiamo ai quadratini verdi. Anche in questo caso è facile rispondere, dato che il loro numero è pari a (N - 1)²

Area totale configurazioni verdi = (N - 1)²

Siamo giunti alle parti azzurre. Anche esse sono divisibili in quadratini di area unitaria. Quanti in totale? Le strisce orizzontali ci dicono che si alternano i casi in cui compaiono N - 1 o N quadratini. In particolare,  compaiono N volte le righe che contengono N- 1 quadratini.  Abbiamo invece solo N - 1 righe in cui compaiono N quadratini azzurri. Sommandoli assieme abbiamo N(N - 1) + (N - 1)N, ossia:

Area totale configurazioni azzurre = 2N(N - 1)

Ricordiamo anche qual è l'area dell'intera scacchiera: area della singola casella per il numero di caselle. L'area della singola casella vale 4. Il numero di caselle è N². Per cui:

Area totale scacchiera = 4N²

I vari risultati ottenuti ci permettono di eseguire tutti i rapporti che vogliamo...

Iniziamo rispondendo alla domanda ufficiale. Prima di tutto dobbiamo calcolare l'area della scacchiera utilizzabile, ossia quella totale meno la parte bianca. Con i dati che abbiamo ricavato basta sommare tra loro l'area verde, quella azzurra e quella rossa:

Area utilizzabile  = (N - 1)² + 2N(N - 1) + N² =

= N² + 1 - 2N + 2N² - 2N  + N² =

= 4N² - 4N + 1 =

= (2N - 1)²

Ovviamente si poteva arrivare a questo risultato in altro modo, anche più immediato.

Per calcolare l'area totale dei casi bicolori, basta sommare area azzurra e area verde:

Area totale configurazioni bicolori = (N – 1)² + 2N(N-1) =

= N² – 2N + 1 + 2N² – 2N =

= 3N² – 4N + 1

Soluzione del quiz 

Possiamo, perciò rispondere alla domanda "ufficiale", facendo il rapporto tra le due ultime aree:

Probabilità Pb di avere configurazioni bicolori

Pb(N) = (3N² – 4N + 1)/(2N - 1)² 

In pieno accordo con il risultato illustrato da Fabrizio.

Questa è una funzione di N che ha come asintoto orizzontale Pb = 0.75.

Per ottenere il valore all'infinito, basta considerare il limite di Pb per N che tende a infinito. Considerando solo i termini di secondo grado, tale limite corrisponde a quello di 3N²/4N², ossia proprio 3/4 = 0.75. La funzione è definita solo per N interi e comporta risultati diversi per N = 8 e N= 9

Pb(8) = 0.716...

Pb(9) = 0.720...

Può essere interessante calcolare Pb nei casi in cui N = 1 e N = 2.

Per N = 1, non esiste, ovviamente, la possibilità di avere una moneta bicolore per i lanci validi

Pb(1) = (3N² – 4N + 1)/(2N - 1)² = (3 - 4 + 1)/1 = 0/1 = 0

Per N = 2, abbiamo

Pb(2) = (3N² – 4N + 1)/(2N - 1)² = (12 - 8 +1)/9 = 5/9 = 0.556...

Infinito è uguale a zero?

Calcoliamo qualche anche altra grandezza... Ad esempio, quanto vale la parte bianca, ossia la parte della scacchiera che non ammette monete che abbiano centro in tale zona.

Area totale non utilizzabile = 4N² - (2N – 1)² =

= 4N² – 4N² + 4N – 1 =

= 4N - 1 

E se volessimo confrontarla con l'area dell'intera scacchiera?

(4N - 1)/4N²

Per N che tende a infinito?  Beh... il rapporto tende a 0. Tuttavia, ciò vorrebbe voler dire che l'area della parte bianca deve essere un numero finito. Se però facciamo tendere N a infinito anche 4N - 1 tenderebbe a infinito. Insomma è finito o infinito?

Risultato analogo  se dividessimo la parte bianca per la parte utilizzabile della scacchiera. Avremmo, infatti:

(4N - 1)/(N² + 1 - 4N)

Questo rapporto tende nuovamente a 0 per N che tende a infinito.

D'altra parte dividendo la parte utilizzabile per l'area dell'intera scacchiera avremmo, ovviamente:

(2N - 1)² /4N²

che per N che tende a infinito tende a 1, ossia il numeratore è uguale al denominatore. In altre parole, potremmo concludere che la parte bianca tende non solo a un numero finito, ma addirittura a 0, anche se sappiamo che essa dovrebbe tendere a infinito!

Stiamo ovviamente giocando con infiniti di ordine superiore e sul concetto di limite, ma, come capitato per questo problema, si fa in fretta a ottenere valori assurdi confondendo valori numerici con limiti di espressioni.

Cambiamo il rapporto tra diametro della moneta e lato delle singole caselle

Il tutto può essere facilmente esprimibile cambiando i valori del diametro della moneta e del lato delle singole caselle. Questo è ciò che ha fatto Fabrizio nella sua trattazione generalizzata, descritta nei suoi due commenti.