Categorie: Curiosità Matematica
Tags: cavalli bianchi e neri quiz scacchi scambio di posizione
Scritto da: Vincenzo Zappalà
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(Q) Lo scambio dei cavalli ****
Visto che chi si dedica ai quiz sono sempre i soliti (e bravissimi) "noti", ne proponiamo uno decisamente difficile, che li faccia sudare un po'. Inoltre, oltre che a dare la soluzione, va trovato anche il modo di renderla "relativamente" semplice da descrivere e da verificare.
Immaginiamo di avere a disposizione solo una parte di una scacchiera, in cui sono posizionati due cavalli bianchi e due neri come indicato nella figura che segue.
Per rendere il quiz anche alla portata di chi non conosce le mosse dei pezzi degli scacchi, ricordiamo che il percorso che possono compiere i cavalli è a forma di "L": due caselle laterali, seguite da un'altra a 90° dalle prime due, come mostra la figura che segue (o da una sola laterale e due a 90° dalla prima, che è la stessa cosa).
Ovviamente, per potere effettuare la mossa bisogna che sia libera la casella di arrivo. Il cavallo può "saltare" su quest'ultima senza badare alla presenza di altri pezzi lungo il percorso scelto.
La domanda è molto semplice:
Quante mosse sono necessarie per portare i cavalli bianchi al posto di quelli neri e viceversa.
Più che il numero di mosse è fondamentale saperle elencare senza creare confusione in chi legge. In altre parole, cercare di trovare un modo che renda il più semplice possibile la sequenza delle mosse necessarie allo scopo.
Almeno una soluzione esiste senz'altro, ma può darsi che ne troviate un'altra con un numero minore di mosse.
Forza e coraggio miei prodi!
3 commenti
Ho provato materialmente a muovere i 4 cavalli su una porzione di scacchiera, ma non essendo un bravo giocatore di scacchi, sono riuscito a posizionare i cavalli in posizione invertita dopo un'infinità di tentativi e mosse.
Allora ho cambiato tipo di approccio:
considero la porzione di scacchiera priva di pezzi e assegno il numero 1 alla casella più in alto occupata dal cavallo bianco e via e via, partendo dalla 1 con movimenti ad L cerco di coprire tutte le 10 caselle:
Nella figura di sinistra, il percorso si ferma alla casella 9 e non vi è modo di occupare anche la decima contrassegnata in rosso;
se si parte da una delle caselle inizialmente occupate dagli altri cavalli, o non è possibile oppure si rientra in un loop ripetitivo che non consente di coprire tutte le caselle;
quindi resta come utile solo il percorso della figura di destra, con la caratteristica che una volta arrivati alla 5, bisogna tornare indietro alla 4 per passare alla 6 per poter successivamente ricoprire tutte le 10 caselle.
La 4 rappresenta uno snodo perché da questa si può passare indifferentemente alla 5 o alla 6 rispettando il percorso a L.
Allora si può idealizzare una sorta di doppio regolo orizzontale e verticale, dove sull’asse orizzontale vi sono le posizioni 1,2,3,4,5 e su quello verticale 4,6,7,8,9,10
I movimenti dei cavalli in orizzontale e in verticale sul doppio regolo corrispondono agli equivalenti movimenti ad L sulla scacchiera.
Indicando con B o N una cavallo bianco o nero, seguito da un cifra che rappresenta la posizione nella quale si trova il pezzo e dalla quale inizia a muoversi, ho schematizzato in due figure successive:
Potrebbe essere interessante notare il fatto che su 10 caselle solo 8 vengono utilizzate e/o occupate effettivamente dai cavalli per i loro spostamenti.
La 9 e la 10 hanno un ruolo neutro ai fini delle posizioni assunte alternativamente dai cavalli, ma sono necessarie per la corretta disposizione spaziale coordinata delle restanti 8.
Nelle figure precedenti ho contrassegnato le caselle con numeri in apparente ordine sparso per consentire una migliore visualizzazione dei movimenti dei cavalli.
In maniera più rigorosa, data una matrice di tipo 4×4, indico con le lettere maiuscole l’asse orizzontale di riferimento, procedendo in ordine alfabetico da destra verso sinistra rispetto al vertice O;
mentre indico l’asse verticale di riferimento con numeri crescenti procedendo dal basso verso l’alto rispetto al vertice O
La casella B4 rappresenta la posizione iniziale del tragitto completo che si conclude nella casella B2;
il tragitto spezzato B4-C2-A1-B3-C1 sulla scacchiera (figura lato sinistro) si può trasformare in un percorso rettilineo di posizioni disposto orizzontalmente e percorribile in entrambi i versi (figura lato destro);
il tragitto spezzato B3-D2-B1-C3-D1-B2 sulla scacchiera si può trasformare in un percorso rettilineo di posizioni disposto verticalmente e percorribile in entrambi i versi, che si innesta sotto la posizione B3 del percorso orizzontale (figura lato destro).
I movimenti possibili dei cavalli su ogni casella della scacchiera, si riflettono perfettamente nello schema asse orizzontale – asse verticale e in maniera biunivoca vale anche il viceversa;
spostando i cavalli lungo questi 2 assi, risulta più agevole effettuare il numero di mosse necessarie per invertire i colori dei cavalli rispetto alla posizione iniziale.