Narra la leggenda …

Si racconta che Archimede avesse un figlio, Edi, estremamente intelligente, che adorava il padre. Sapendo quanto lo torturasse la quadratura del cerchio, Edi decise di fargli un regalo per il suoi compleanno. Cosa poteva esserci di più prezioso di un cerchio capace di diventare, quasi per magia, un quadrato e viceversa? Il tutto utilizzando, ovviamente, solo una riga non graduata e un compasso molle.

Pensa e ripensa, alla fine ci riuscì e chiese al padre di sedersi in una certa posizione davanti a un tavolo su cui aveva messo uno specchio. Inserì la sua miracolosa figura davanti allo specchio e Archimede sobbalzò stupefatto. Era vero! Davanti a lui vi era decisamente la forma del cerchio, mentre lo specchio mostrava senza alcun dubbio la forma di un quadrato. La gioia di Archimede durò molto poco, dato che alzandosi in preda all’euforia si accorse che era stato ingannato da una mera illusione. Stava per scagliarsi contro al figlio, ma poi capì che lo aveva fatto solo per dargli gioia e decise di perdonarlo, ammirando, anzi, la sua creatività. La figura che segue mostra ciò che aveva visto Archimede…

Ovviamente, vi ho elargito una fakenews (tanto per adeguarmi al momento attuale), ma, per farmi perdonare, voglio mostrarvi come potrebbe essere realmente possibile tutto ciò.

Senza dilungarsi troppo, ricordiamo che è possibile tracciare perpendicolari, semiassi, triangoli isosceli e bisecare angoli con l’uso di riga e compasso molle. Costruiamo perciò la curva di Fig. 1

Tracciamo una retta orizzontale  r e una ad essa perpendicolare, s. Scegliamo un punto qualsiasi su s e chiamiamolo O. Da O tracciamo una retta che sia inclinata di 30° rispetto a s (è possibile costruire un angolo di 60° introducendo un triangolo equilatero, sempre costruibile e poi bisecandolo). Questa retta incontra r nel punto A. Facendo centro in O  e raggio AO disegniamo l’arco di circonferenza AB (colorato in rosso).

Tracciamo da O una retta t, che formi un angolo di 22.5° con s (22.5 è la metà di 45, angolo facilmente costruibile). La retta t incontra la retta r in C. Tracciamo l’asse del segmento BC. Esso incontra la retta s in D. Ne segue che il triangolo BCD è isoscele (BD = DC). Facendo centro in D tracciamo l’arco di circonferenza blu di raggio BD, da B a C. Facciamo centro in C e tracciamo la circonferenza di raggio  CH individuando K su r. La perpendicolare v da K alla retta r incontra il prolungamento di DC in E. Da E tracciamo l’arco di circonferenza blu di raggio EC da C fino a F (sulla retta v). Prolungando OC fino a incontrare la retta v, individuiamo il punto G. Da G con raggio pari a GF tracciamo l’arco di circonferenza rosso da F fino a M. Basta ora ribaltare di 180° la curva rossa e blu, così costruita, attorno alla perpendicolare u di r passante per A . Copiamo e trasliamo l’intera curva verso il basso di una quantità qualsiasi (meglio se abbastanza lunga). Uniamo, quindi  A con A’, M con M’ e N con N’ (Fig. 2).

Ritagliamo il tutto e agiamo come mostrato in Fig. 3

In (a) inseriamo gli assi coordinati x, y e z  per meglio visualizzare le varie configurazioni. L'asse y è perpendicolare al foglio e punta verso l'osservatore. Pieghiamo decisamente la figura lungo AA' e incolliamo MM' su NN' e poi pieghiamo anche lungo questa linea, come mostra la (b). Allontaniamo leggermente le due facce della figura (azzurra e gialla) portando CC' e RR' verso l'esterno, lungo l'asse x, in modo che vista dall'alto si veda una curva chiusa come quella rappresentata in (c). Notiamo che la parte interna della faccia azzurra è colorata in grigio, mentre quella della faccia gialla in arancio (ci servirà più tardi).

Poggiamo lo strano cilindro su un tavolo davanti a uno specchio perpendicolare al tavolo. Guardiamo il tutto lungo il piano (y,z), che contiene le due piegature AA’ e MM’, da un angolo di 45°.

Davanti a voi la proiezione di un cerchio che viene riflessa dallo specchio secondo un quadrato. Ancora migliore è la visione attraverso un solo occhio per limitare gli effetti di profondità.

Potete anche fare a meno dello specchio, ovviamente, e girare attorno al “cilindro” di 180°, mantenendo l’inclinazione di 45° (o ruotare la figura...).

Il merito di avere ideato questo cilindro molto ambiguo non è mia, ma del professor Kokichi Sugihara dell’Università  Meiji, a Nakano in Giappone. Io ho solo studiato un modo "alla greca” per disegnare  la curva che può essere ottenuta in modo perfetto attraverso la geometria analitica. Lo stesso Sugihara dice chiaramente: "The mathematics behind the illusions is based on the principle that a single image does not have depth information and hence there are many possible 3D shapes that give the same2D appearance (La matematica che sta dietro a queste illusioni si basa sul principio che una sola immagine non permette un' informazione profonda, per cui vi sono numerose forme a tre dimensioni che danno luogo alla stessa configurazione apparente in due dimensioni)".

La Fig. 4 riporta una visione nelle tre dimensioni del cilindro a base quadrata e/o circolare, in modo da avere una migliore visione delle sue varie parti.

Le due direzioni segnate con le frecce nere indicano le posizioni che permettono la vista del quadrato e del cerchio. Le frecce, ovviamente, stanno nel piano (y,z) a 45° rispetto ai due assi.

La Fig. 5 è la visione che dà luogo al quadrato, sotto due angoli di vista, quello con y diretto esattamente verso l'osservatore e quello a 45° con y che si vede andare in verso opposto a z.

La Fig. 6 è la visione che si ha se l'osservatore ruotasse di 180° (o se venisse ruotata la figura o se se si inserisse lo specchio). A sinistra quella con y che entra nel foglio e a destra quella a 45° con y che ha lo stesso verso di z.

Per chi volesse andare più a fondo della problematica, consiglio questo articolo. Di seguito riporto un paio di illusioni veramente "magiche": una farfalle sopra un fiore e una stella che si trasforma in Luna piena.

Non sono da meno i gruppi di cilindri che si intrecciano e molto altro ancora.

Appendice facile

Se vogliamo restare nel semplice e trasformare un quadrato in un triangolo ecco la figura da ritagliare e incollare come ormai  saprà sicuramente fare chi è arrivato fin qui...

Buone illusioni a tutti!