Quest'articolo nasce su richiesta di Enzo, affinché si possa descrivere in maniera chiara e comprensibile la soluzione del quiz .

Vi è una porzione di scacchiera, costituita da 10 caselle, sulla quale sono collocati 4 cavalli, 2 bianchi e 2 neri, disposti secondo l’ordine schematizzato nella figura seguente:

Posizioni iniziali dei cavalli

Il movimento di un cavallo sulla scacchiera può avvenire in due modi:

• procedendo di 1 casella alla sua destra o alla sua sinistra, in alto e in basso, e successivamente di 2 caselle in alto o in basso,
• oppure procedendo di 2 caselle alla sua sinistra o alla sua destra, e successivamente di 1 casella in alto o in basso,

in un classico movimento ad L.

Se sul tragitto a forma di L si trova un altro pezzo, questo può essere scavalcato dal cavallo in movimento; l’importante è che la casella di destinazione finale sia non occupata.

Vediamo in che modo e in quante mosse è possibile disporre i cavalli esattamente come nella posizione iniziale ma con i neri al posto dei bianchi.

Consideriamo la porzione di scacchiera priva di pezzi e assegniamo il numero 1 alla casella più in alto prima occupata dal cavallo bianco e via e via, partendo dalla 1 con movimenti ad L, cerchiamo di coprire tutte le 10 caselle:

Nella figura di sinistra, il percorso si ferma alla casella 9 e non vi è modo di occupare anche la decima (contrassegnata in rosso);

partendo da una casella differente da quella posta più in alto, o non è possibile completare il percorso oppure si rientra in un loop ripetitivo che non consente di coprire tutte le caselle;

quindi resta come utile solo il percorso con i numeri assegnati alle caselle della figura di destra, con la caratteristica che una volta arrivati alla 5, bisogna tornare indietro alla 4 per passare alla 6 e successivamente ricoprire tutte le caselle sino alla 10.

La 4 rappresenta uno snodo perché da questa si può passare indifferentemente alla 5 o alla 6 rispettando il percorso a L, mentre la 5 rappresenta “un’area di parcheggio temporaneo” che consenta il libero transito dei cavalli attraverso le restanti caselle, sempre passando per lo snodo 4.

In sostanza il percorso a L del cavallo sulla porzione di scacchiera si configura come una linea spezzata, percorribile per direzioni perpendicolari e per versi opposti, con 10 possibili punti di stazionamento;

allora, per semplificare la visualizzazione dei movimenti necessari, occorre trasporre i singoli punti di stazionamento, secondo un ordine di consecutività, su due linee:

una prima linea costituita dai punti consecutivi contrassegnati dall’1 al 5 e

una seconda linea costituita dai punti consecutivi contrassegnati dal 6 al 10, con il punto 6 posto al disotto del punto 4, proseguendo con il 7 sino al 10.

Il discorso si può schematizzare nella seguente figura:

Il fatto che la rappresentazione delle due linee sia disegnata con il criterio della perpendicolarità è ininfluente sullo svolgimento del ragionamento;

è sufficiente che la linea 1-2-3-4-5 e la linea 4-6-7-8-9-10 siano incidenti nel posto 4, prescindendo dal fatto che siano o meno perpendicolari.

Così facendo, ogni movimento sulle due linee si riflette esattamente sulla scacchiera, come è possibile visualizzare nell’animazione seguente:

Nel primo fotogramma viene emulata a sinistra la scacchiera con i pezzi disposti secondo la configurazione iniziale e a destra l’equivalente percorso trasformato in due linee dove i cavalli vi possano scorrere;

mentre i fotogrammi successivi mostrano una scritta in basso sulla sinistra che indica con B o N un cavallo bianco o nero, seguito da una cifra che rappresenta la posizione nella quale si trova il pezzo e dalla quale inizia a muoversi; i numeri che seguono indicano le caselle man mano occupate per ogni singola mossa.

Come è possibile notare, i cavalli invertono le posizioni iniziali secondo i colori dopo 40 mosse complessive.

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Contrassegnare le caselle con numeri in apparente ordine sparso, consente una migliore visualizzazione dei movimenti dei cavalli.

Ma le mosse da effettuare per l’inversione delle posizioni dei cavalli sono per così dire standardizzate sulla scacchiera, in base alle posizioni occupate e a ben determinate mosse successive, in maniera indipendente dai simboli che si vogliono associare ad ogni casella.

In maniera più rigorosa e per avere un riferimento oggettivo, data una matrice di tipo 4×4, si contrassegnano con le lettere maiuscole A, B, C, D le caselle poste nella prima riga in basso

e con 1, 2, 3, 4 le caselle poste nella prima colonna a sinistra:

La casella B4 rappresenta la posizione iniziale del tragitto completo che si conclude nella casella B2;

il tragitto spezzato B4-C2-A1-B3-C1 sulla scacchiera (figura lato sinistro) si può trasformare in un percorso rettilineo di posizioni percorribile in entrambi i versi (figura lato destro);

il tragitto spezzato B3-D2-B1-C3-D1-B2 sulla scacchiera si può trasformare in un percorso rettilineo di posizioni percorribile in entrambi i versi, che si innesta sotto la posizione B3 del percorso precedente (figura lato destro).

In questa maniera, i movimenti possibili dei cavalli su ogni casella della scacchiera a sinistra, si riflettono perfettamente sulle corrispondenti caselle delle due linee a destra.