Ecco le soluzioni ai due quiz sulla costruzione del cielo visto da un’altra stella. La prima è ovvia, la seconda ha diverse possibilità. Io ho descritto quella che mi sembra più semplice, senza introdurre (ancora) teoremi trigonometrici non affrontati. Ma è solo questione di tempo… non illudetevi!

Il primo quiz è veramente banale e la soluzione è stata usata per molti altri esercizi, prima fra tutte la parallasse annua che permette di misurare la distanza delle stelle relativamente vicine.

Sappiamo benissimo qual è il raggio del Sole in km. Quello che vogliamo trovare è il suo diametro angolare, se visto da una stella qualsiasi. Siamo costretti a parlare di angoli, dato che essi sono le uniche quantità leggibili sulla sfera celeste, una sfera che ha come centro l’osservatore e raggio indeterminato, per definizione. Poco importa, però, questo fatto, dato che qualsiasi sia il raggio della sfera celeste l’angolo rimane sempre lo stesso.

Ricordiamo che due stelle che stanno a distanze anche molto diverse dall’osservatore, possono essere viste molto vicine nella sfera celeste, dato che l’angolo tra le congiungenti osservatore-stella può essere molto piccolo. Per maggiori chiarimenti potete guardare QUI.

Teoricamente, la misura di un diametro angolare stellare potrebbe dirci la distanza della stella. Basterebbe che un fotone che arrivasse da lei ci comunicasse, in gran segreto, il diametro reale. Noi misureremmo quello angolare e un semplice triangolo ci darebbe la distanza tra noi e la stella, come mostrato in Fig. 1.

Non ci sarebbe nemmeno bisogno di usare il seno o la tangente dell’angolo, dato che i diametri stellari sono ridicoli rispetto alla distanza delle stelle e  gli angoli sono piccolissimi. In altre parole la tangente coincide con il seno e anche con l'angolo stesso espresso in radianti. In parole matematiche, possiamo scrivere:

tan α = R/d

sin α = R/d

α = R/d           (con α espresso in radianti)

Ogni scrittura è praticamente la stessa identica cosa. Ne segue che possiamo scrivere:

d = R/α

Si capisce benissimo che questo metodo è praticamente impossibile da utilizzare, dato che la misura del raggio R in km non ci viene detto da nessun fotone… e anche quello angolare non è cosa facile da determinare.

Per il nostro quiz, invece, conosciamo il raggio del Sole e conosciamo le distanze delle stelle da cui vogliamo vedere il Sole. La formula di prima viene scritta:

α = R/d

Essa  ci fornisce immediatamente il raggio angolare del Sole, ossia quello che la stella scelta vede proiettato sulla sua sfera celeste.

Se, poi, non ci piacciono i radianti, basta moltiplicare il risultato per 57.30 e abbiamo il valore espresso in gradi.

Più che il calcolo del diametro apparente (basta moltiplicare il raggio angolare per due) per ogni singola stella, conviene disegnare una figura che riporti in ascissa la distanza delle stelle e in ordinata il diametro espresso in gradi. In tal modo si capisce subito se vale la pena disegnare il Sole come un dischetto o come un punto!

La funzione da rappresentare è:

y = R/x         (dove y è il raggio angolare del Sole e x è la distanza dal centro del Sole).

La funzione la conosciamo molto bene ed è un’iperbole con asintoti gli assi x e y.

Attenzione, però… per valori della distanza comparabili con quelli del raggio solare, la formula non può essere approssimata e va usata, ad esempio, quella con sen α. A noi però non interessa più di tanto, dato che lavoriamo con distanze sicuramente maggiori di 4 anni luce… Possiamo perciò far partire la curva da quel punto (se volessimo il diametro solare visto dai suoi pianeti useremmo la formula più esatta).

Ma, vale la pena disegnare la curva? Alla distanza di 4 anni luce, il Sole avrebbe un raggio pari a circa 4 millesimi di secondo d’arco. Tanto vale disegnarlo sempre come un punto… In realtà, non sono molte le stelle di cui si riesce a misurare il diametro con metodi interferometrici.

Ammetto di averla fatta lunga, quando bastavano poche righe. Tuttavia, abbiamo cominciato a parlare di distanze angolari, la base della trigonometria sferica.

Passiamo, perciò al secondo quiz, decisamente più interessante.

Ripeto ancora una volta quanto richiesto. In qualsiasi notte limpida vediamo il cielo trapuntato di stelle. Alcune di loro appaiono molto vicine. Ma lo sono realmente? Spesso e volentieri no e tra di loro vi sono, magari, molti anni luce di differenza. Ne segue che tutto ciò che vediamo in cielo è solo e soltanto “apparenza”, del tutto relativo alla posizione dell’osservatore (ossia del Sole), così come le figure che, con grande fantasia, gli antichi hanno chiamato costellazioni.

Niente di fisico, quindi, ma un qualcosa che può, comunque, essere utile per identificare di quale stella stiamo parlando. Di ogni stella, infatti, siamo in grado di dare nome e cognome, ossia un paio di coordinate che la identificano tra tutte le altre. Di questi tipi di coordinate parleremo durante la trattazione dell’astronomia sferica. Al momento ci basti dire che le stelle sono separate tra loro da angoli (o archi)  che si misurano in gradi, primi e secondi (o anche in ore, minuti e secondi).

Se vediamo una certa stella in cielo, ad esempio Vega, vedremmo intorno a lei molte stelle più o meno luminose, a volte realmente vicine a lei, ma a volte molto più lontane o -magari- anche più vicine. La sfera celeste del Sole è quella che vediamo (la distanza tra Terra e Sole è irrilevante per lo scopo del nostro esercizio) e le distanze angolari possono essere misurate con grande accuratezza, ma ben poco si può fare di più.

Ad esempio, se volessimo disegnare il cielo stellato visto da Vega (ossia la SUA sfera celeste) non potremmo farlo assolutamente, dato che non abbiamo la più pallida idea di come siano veramente distanti tra loro le stelle che vedrebbe la stella.  Ovviamente, se una stella fosse realmente vicina al Sole, è molto facile che Vega la vedrebbe vicina alla nostra stella, ma… anche Vega non è molto lontana e gli angoli fanno in fretta a cambiare.

Lasciamo, quindi, da parte per un attimo la sfera celeste dell’osservatore e parliamo soltanto di angoli. A partire da questi, sarà poi facile disegnare la sfera celeste corrispondente, rappresentabile da distanze angolari di varia lunghezza, dipendenti, ovviamente dal punto di vista.

Consideriamo la Fig. 2, dove S è il Sole e S₁ la stella di cui vorremmo rappresentare la sfera celeste e, in particolare, quella parte che sta vicino al Sole. A questo punto è fondamentale conoscere la distanza di S₁ da S, così come è obbligatorio conoscere la distanza delle altre stelle dal Sole. C’è bisogno di sapere anche la distanza di S1 dalle stelle? No, non ce n’è bisogno, dato che basta un semplice triangolo per ricavarla. Possiamo, quindi, trascurarla del tutto (almeno per adesso).

Possiamo partire con la nostra strategia operativa, che è facilmente trasferibile a un semplice programmino da computer, anche antidiluviano.

Cominciamo, ad esempio, a scegliere le stelle che sono viste da S₁ in un intorno che sottende un certo angolo β rispetto alla posizione del Sole. β è l’angolo formato da S₁S e S₁R, dove R identifica tutte le stelle che sono viste (sempre che siano abbastanza luminose) da S₁ a una distanza uguale a β gradi rispetto al Sole.

La Fig. 2 è una figura piana, ma è facile intuire che essa rappresenta la sezione di un cono di apertura β, con S₁S come asse. Possiamo, perciò, dire che tutte le stelle che sono contenute entro un angolo β dal Sole sono quelle che la stella S₁ vede in un cerchietto di β gradi rispetto alla posizione centrale del Sole, sulla sua sfera celeste. Solo loro hanno una distanza angolare dal Sole, se viste da S1, minore o uguale a β.

Simpatica conclusione, ma come scegliere queste stelle fra tutte quelle catalogate? Non è difficile. Basta trovare una relazione che leghi l’angolo α, sotto cui è vista, dal Sole, una certa stella R rispetto alla stella S₁ (ossia la distanza angolare tra S₁ e R nella sfera celeste del Sole) e la sua distanza d, tale che finisca dentro al cono definito precedentemente.

Ripassando al piano, ciò vuol dire risolvere il triangolo SRS₁. Notate che R può stare sia dalla parte di S₁ sia dalla parte opposta rispetto a S. L’importante è che sia posizionata all’interno del cono.

Cosa conosciamo del triangolo S₁RS? Molte cose… L’angolo α, la distanza d = SR, la distanza SS₁ = D e l’angolo β, scelto come primo passo per costruire il disegno della sfera celeste di S₁ nella direzione del Sole.

La relazione cercata si trova subito attraverso il teorema dei seni che noi ancora non conosciamo. Possiamo, comunque ottenere lo stesso risultato in modo leggermente diverso (e non è l’unico modo).

Consideriamo il triangolo SRH (H è il piede della perpendicolare da S alla retta S₁R). Da lui si ottiene:

SH = d sen (α + β)

Infatti, l' angolo SRS1  è uguale a 180 - (α + β)  e, quindi, l'angolo HRS è proprio α + β

Dal triangolo S₁SH si ha:

SH = D sen β

E, quindi:

d sen (α + β) =  D sen β

d = D sen β/sen (α + β)       …. (1)

D e β sono costanti e quindi la (1) è la relazione cercata tra α e d. In altre parole, al variare di α si trova il corrispondente valore di d che pone la stella a una distanza angolare uguale a β.

Notiamo che la relazione vale ovviamente anche per una stella R₁ posta dalla parte sinistra del Sole a una distanza d₁, dato che:

sen (180 - (α1 + β)) = sen (α1 + β)          (disegnato in rosso nella Fig. 2)

Se siamo interessati solo alle stelle comprese  entro l’angolo β, basta inserire il segno minore nella (1). Se, invece vogliamo conoscere la posizione delle stelle che distano dal Sole esattamente l’angolo β si tiene l’uguale. Ovviamente, abbiamo fatto vedere il tutto su un solo piano, ma la stessa situazione vale per tutto il cono.

Facendo variare β tra 0 e la distanza angolare massima richiesta, si descrive la parte di sfera celeste vista da S₁ nei dintorni del Sole.

Per completare il disegno alla “stellarium”, basta calcolare le magnitudini apparenti rispetto a S₁ delle varie stelle comprese nel campo attorno al Sole. Di esse si deve conoscere la magnitudine assoluta e la distanza da S₁. La seconda non è altro che s = RS₁, ricavabile facilmente dal triangolo SRS1 con il teorema di Carnot:

s² = D² + d² – 2Dd cosα        …. (2)

Lo so, lo so, non lo conoscete ancora, ma lo affronteremo prima di iniziare la trigonometria sferica. Chi vuole, però, può ricavare la formula (2) da solo, trafficando un po’ con triangoli rettangoli. Esso è detto anche il teorema di Pitagora dei triangoli non rettangoli. D’altra parte, per α = 90, la (2) diventa proprio il ben più celebre teorema.

Conosciuta anche s, la magnitudine apparente m vista da S₁ di una stella R  è data da:

m = M – 5 + 5 log s

dove M è la magnitudine assoluta e s è la distanza espressa in parsec. Formula questa usata spesso, ma che quanto prima ricaveremo direttamente (non l’ho trovata nell’archivio…).

Considerate tutto ciò l’antipasto per l’astronomia sferica. D’altra parte, conoscere la geometria sferica è un passo importante anche per relatività generale…

QUI  potete trovare il quiz.