Se la volta scorsa vi avevo “martellato” duro, questa volta vi vengo incontro. Poche righe per definire le coniche in un modo matematico ben più ampio e generale. Tuttavia, non andremo nei dettagli e ci limiteremo al concetto base. Chi ha, però, voglia di divertirsi ha tutti i mezzi a sua disposizione.

Polinomi  e coniche

Abbiamo girato le coniche da tutti i lati, ma siamo solo all’inizio della loro visione più generale. Dobbiamo, infatti, tener presente che abbiamo sempre considerato equazioni di coniche sistemate nel modo migliore, con assi cartesiani scelti “ad hoc”. Capite benissimo che si potrebbe scegliere l’origine degli assi dove si vuole. Inoltre, ricordiamoci che per particolari condizioni del piano-coltello, le coniche degenerano in rette. Possiamo, allora, scrivere tutte le coniche (comprese le rette) come un’equazione composta da un polinomio completo di secondo grado del tipo:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0

A seconda del valore dei vari coefficienti, che sono legati ai semiassi e ai fuochi (ma non coincidono con i semi asse a e b e la distanza c dei fuochi, mi raccomando!) si ottengono le varie coniche. Le equazioni che abbiamo trovato finora sono casi particolari e semplificati.

Infatti, in alcuni casi mancavano i termini in x e y e in xy, in altri sia i quadrati di x e y che i termini in x e y (ultimo caso dell'iperbole equilatera con gli assi cartesiani coincidenti con gli asintoti.). E’ inutile sviluppare tutta questa nuova visione delle coniche che ci porterebbe molto lontano. Proviamo solo a scrivere una conica generale in cui manchino tutti i termini di secondo grado (x², y² e xy). Essa diventa:

dx + ey + f = 0

Ossia:

ey = - dx – f

y = - (d/e) x – f/e

Questa è proprio l’equazione di una retta qualsiasi, dove il coefficiente angolare m è dato da – d/e, mentre il termine noto n è dato da –f/e.

Giocando con i coefficienti si possono ottenere ellissi, cerchi, parabole e iperboli. Chi ha voglia può provarci da solo, annullando di volta in volta qualche termine del polinomio completo e cercare di capire che tipo di conica ha ottenuto e come è sistemata nel piano cartesiano. Si trovano anche i casi degeneri. Reputo inutile, però, illustrare tutte le condizioni particolari che trasformano un polinomio completo nelle varie coniche nella loro forma più generale. Non esageriamo… se no le “puntate” sulle coniche non si conterebbero con le dita di due sole mani.

Quando studieremo le funzioni più complicate (a parte l’ingresso di funzioni più “strane” come il logaritmo e qualche altra) avremo sempre a che fare con polinomi, intrecciati tra loro ma in qualche modo sempre collegati alle proprietà delle coniche.

Ci divertiremo parecchio!

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