QUIZ: Un quadrato vagabondo */**
Eccovi un quiz che forse è in divenire, ossia che potrebbe anche ammettere divagazioni più o meno interessanti, come quello delle sei puntine da disegno. Io non l’ho investigato più di tanto…
Eccovi tre domande che devono essere affrontate nel giusto ordine. La prima è molto facile, la seconda un po’ meno e la terza (forse) anche.
Consideriamo un qualsiasi poligono regolare, che non sia un quadrato. Prendiamo ora dei quadrati che abbiano come lato il lato del poligono.
Esistono dei poligoni regolari che possano essere coperti completamente con un numero di quadrati uguale al numero dei lati ? Teniamo presente che i quadrati possono anche sovrapporsi ma non possono uscire dal poligono.
Se il risultato fosse SI, quali sono questi poligoni?
Esiste una relazione matematica che permetta di dare la risposta senza eseguire alcuna figura?
Forza, divertitevi e vediamo se nasce qualche altro pendolo...
6 commenti
per onestà devo comunicare che il "mago" Arturo ha già risolto il quiz, ma con grande signorilità vuole aspettare a darne la soluzione... Mi sembra di assistere al vecchio film di Petrolini su Nerone: il popolo grida bravo prima ancora che Nerone dica cosa vuole fare... Nel nostro Circolo, tra poco, la soluzione arriverà prima che si fornisca il testo del quiz.... più veloce della luce e dello stesso pensiero!!!!
Bravi, bravi... bravi.......
Forza... anche Paolo papallicolo c'è già arrivato... Aspettiamo i silenti!!!!!!
Ecco le mie risposte.
Espongo ora il ragionamento.
Teniamo presente che una proprietà dei poligoni regolari è che possono essere inscritti in una circonferenza, qualunque sia il numero dei lati. Inoltre un qualsiasi poligono regolare è contemporaneamente equilatero (cioè ha tutti i lati congruenti fra loro) e equiangolo (cioè ha tutti gli angoli congruenti fra loro). Naturalmente, per poter costruire un poligono, ho bisogno di almeno tre lati.
Il primo poligono regolare che incontriamo è il triangolo equilatero. Se andiamo a considerare i tre quadrati costruiti rispettivamente sui tre lati del triangolo, notiamo che il singolo quadrato esce fuori dal triangolo.
Dopo il triangolo, aumentando di 1 il numero dei lati, incontriamo il quadrato. Esso , però, è stato escluso in partenza nel quiz, perché è stato chiesto di considerare un poligono regolare "che non sia un quadrato". Per curiosità, comunque, possiamo constatare che questo poligono regolare soddisfa "banalmente" la condizione posta. Cioè , considerando i quattro quadrati costruiti rispettivamente sui quattro lati del quadrato, coprendo con questi il quadrato di partenza, riotteniamo per quattro volte proprio lo stesso quadrato.
Passiamo ora a cinque lati, consideriamo cioè il pentagono regolare. Se andiamo a costruire la figura con il pentagono regolare e i cinque quadrati, notiamo che essi ricoprono completamente il pentagono senza uscirne fuori.
In questa figura ho tracciato anche la circonferenza circoscritta al pentagono e ho evidenziato il raggio R, l'apotema h e l'angolo
, perché serviranno dopo per rispondere alla terza domanda.
In definitiva, il pentagono è uno dei poligoni regolari che soddisfa la condizione del quiz.
Passiamo ora a sei lati, consideriamo cioè l'esagono regolare. Anche in questo caso, se andiamo a costruire la figura con l'esagono regolare e i sei quadrati, notiamo che essi ricoprono completamente l'esagono senza uscirne fuori.
In definitiva, l'esagono è un secondo poligono regolare che soddisfa la condizione del quiz.
Aumentiamo ancora il numero dei lati a sette, e consideriamo l'ettagono regolare. Cosa succede se ripeto il procedimento con questo poligono regolare? Osserviamo la figura seguente:
Toh ! Ora compare al centro della figura una porzione di ettagono non ricoperta da nessuno dei sette quadrati costruiti sui lati. L'ettagono, quindi, non soddisfa la condizione del quiz e dunque non è accettabile.
E con l'ottagono (otto lati) ? Ecco la figura:
La situazione peggiora, perché non solo c'è ancora la zona centrale non ricoperta da alcuno degli otto quadrati, ma ora tale zona si è pure allargata ! Niente da fare neanche per l'ottagono.
Possiamo continuare ad aumentare il numero di lati, non ritroveremo più altri poligoni regolari che soddisfino la condizione del quiz. Gli unici due poligoni regolari accettabili sono il pentagono e l'esagono (oltre, banalmente, al quadrato).
Ma come facciamo a trovare a relazione matematica che ci consenta di dire subito, senza fare alcuna figura, se un poligono regolare di n lati soddisfa la condizione del quiz oppure no ?
Prima di tutto, vediamo con la seguente figura una ulteriore proprietà dei poligoni che prima non avevo accennato:
Se n è il numero dei lati, l'angolo
è pari a
Nel caso della figura, quindi, essendo n=5, avremo
Se, invece, n=7 (ettagono), avremo
Inoltre, essendo il triangolo ABO isoscele (AO=BO=raggio della circonferenza circoscritta al poligono regolare) ed essendo la somma dei tre angoli interni di un triangolo pari a 180 gradi, l'angolo
sarà dato da:
Quindi, nel caso della figura, essendo n=5, avremo
Se, invece, n=7 (ettagono), avremo
Facciamo ora riferimento alla figura inserita più sopra a proposito dell'ettagono, che riporto qui di seguito per comodità:
Da essa notiamo che l'apotema h è maggiore del lato del quadrato costruito sul lato AB dell'ettagono. Questa circostanza si verifica anche nell'ottagono , mentre nel pentagono e nell'esagono risulta che tale apotema h è minore del lato AB. In definitiva, per soddisfare la condizione del quiz deve essere:
Ora mettiamo in gioco le grandezze geometriche indicate nelle figure. Per le proprietà dei triangoli rettangoli:
La (1) quindi diventa:
Risolvendo questa disequazione goniometrica nell'intervallo tra 0 e 90 gradi si ha :
cioè:
ma avevamo detto che
e che
quindi:
esplicitando rispetto a n alla fine ottengo:
Ma n è il numero di lati, quindi non può essere un numero decimale, per cui il valore massimo che n può attingere è pari a 6. In definitiva, i poligoni regolari che soddisfano la condizione espressa dalla (1) sono quelli con un numero di lati tra 3 e 6 (il 2 lo escludiamo subito perché per n=2 non avrei alcun poligono). Per il quiz, però, dobbiamo escludere il triangolo (n=3) per il motivo già illustrato (i quadrati fuoriescono dal triangolo). In definitiva, restano come poligoni regolari accettabili per il quiz, il pentagono (n=5) e l'esagono (n=6), quindi:
(considerando anche il poligono regolare a 4 lati, cioè il quadrato)
Caro Enzo, provo anch'io a dare la mia soluzione.... però spero che intervengano anche altri oltre ad Arturo (noto che abbiamo seguito quasi lo stesso identico metodo
).
I poligoni regolari sono caratterizzati dai loro lati uguali (e lo stesso vale per gli angoli).
Un poligono composto da molti lati si può usare per approssimare una circonferenza...
Se divido un cerchio in parti uguali, posso ottenere degli identici tratti di circonferenza a cui corrispondono corde di identica lunghezza.
Ognuna di queste corde di uguali lunghezza può quindi rappresentare il lato di un poligono regolare, come mostra la figura.
E' bastato dividere la circonferenza in tre parti uguali per ottenere tre corde uguali (AB; BD e DA), che formano il lati di un triangolo equilatero.
Un angolo giro di 360° diviso in tre parti uguali forma tre angoli di 120°.
Perciò nella figura a sinistra i tre raggi che uniscono ognuno dei tre vertici al centro del cerchio (CA;CB;CD), formano tra loro un angolo α di 120°
Il triangolo equilatero, però, non soddisfa le condizioni poste dal quiz, poiché i quadrati costruiti sui suoi lati sono troppo grandi ed escono dal suo perimetro.
Con analogo procedimento dividendo il cerchio in quattro parti si ottiene un quadrato, con angoli di 90° che separano i raggi (CA;CB;CD e CE).
Quello del quadrato è un caso limite, poiché i quadrati costruiti sui suoi lati coincidono tutti con il quadrato stesso, ma nel quiz il quadrato era stato escluso.
Prima di passare a poligoni regolari più complessi, un'ultima considerazione sulla figura precedente.
Tracciando i raggi che uniscono centro a vertici, il poligono viene diviso in un egual numero di identici triangoli isosceli (due lati sono formati da raggi, per cui sono uguali):
Il Triangolo equilatero è suddiviso in tre triangoli isosceli ACB;BCD;DCA
Il Quadrato è suddiviso in quattro triangoli isosceli ACB;BCE;ECD;DCA.
… e lo stesso accade anche con poligoni regolari più complessi, come mostra la figura.
Il Pentagono e l'esagono regolari soddisfano le condizioni poste dal quiz, poiché i quadrati costruiti sui loro lati coprono l'intera superficie del poligono e sono tutti interni.
Non resta che provare con un ettagono, come mostra la figura
Anche se i quadrati costruiti sui suoi lati sono tutti interni all'ettagono, non tutta la sua superficie viene coperta e la parte vicino al centro non è coperta da alcun quadrato.
Aumentando il numero di lati, questi diventano sempre più corti ed i quadrati costruiti su di loro sono troppo piccoli per coprire la superficie vicino al centro.
Segue
Dopo questo approccio basato sulle figure ho provato a fare qualche piccolo ragionamento analitico.
Dato che ogni poligono regolare è “scomponibile” in identici triangoli isosceli che uniscono il centro del cerchio ai vertici del poligono, conviene analizzare singolarmente uno di questi triangoli.
Dividendo il triangolo isoscele (ACB) in due parti uguali si ottengono due triangoli rettangoli (ACM e MCB).
Come mostra la figura affinché il quadrato costruito sul lato AB, sia sufficientemente grande da coprire tutta la superficie fino al centro del cerchio è necessario che il segmento MC sia uguale al lato AB.
Tale condizione, ovviamente, vale per ognuno dei triangoli isosceli in cui è scomponibile il poligono regolare.
Con angoli α minori di 53,13°, il lato è troppo piccolo ed il quadrato su di lui costruito lascia una parte della superficie scoperta (quella vicino al centro).
Questa è una condizione minima, a cui però non corrisponde alcun poligono regolare.
Infatti dividendo 360° per 53,13° non si ottiene un numero intero (numero di lati del poligono) ma si ottiene 6,77.
Al contrario la condizione massima, oltre il quale il quadrato costruito sui lati esce dal perimetro del poligono regolare è rappresentata proprio dal caso limite del quadrato.
Con angoli α inferiori a 53,13° i lati dei quadrati sono troppo piccoli per coprire l'intera superficie;
Con angoli α maggiori di 90° i lati dei quadrati sono troppo grandi ed escono dal perimetro.
Ovviamente un poligono regolare ha un numero intero di lati, per cui solo quelli con angolo α compreso in questo range soddisfano la condizione del quiz.
Ricapitolando:
Triangolo equilatero: α = 360°/3 = 120°, è escluso dato che l'angolo α è troppo grande;
Quadrato: α = 360°/4 = 90°, è il caso limite escluso dal quiz;
Pentagono Regolare: α = 360°/5 = 72°, l'angolo è quello giusto poiché compreso tra 53,13° e 90°;
Esagono Regolare: α = 360°/6 = 60°, l'angolo è quello giusto poiché compreso tra 53,13° e 90°;
Ettagono Regolare: α = 360°/7 = 51,428°, è escluso dato che l'angolo α è troppo piccolo;
Ottagono regolare: α = 360°/8 = 45°, è escluso dato che l'angolo α è troppo piccolo;
…. e proseguendo può solo andar peggio con angoli α (e lati dei quadrati) sempre più piccoli...
E' evidente che escludendo il quadrato solo il Pentagono e l'Esagono regolari hanno tutte le carte in regola per soddisfare le condizioni poste dal quiz.
Scusate la lunghezza...
Paolo