Grazie ai suggerimenti di Umberto, riesco finalmente a pubblicare la soluzione della seconda puntata, nella quale abbiamo giocato a riconoscere se un numero è divisibile per 11 solo guardandolo ed eseguendo a mente somme e sottrazioni con le cifre che lo compongono.

Questi calcoli saranno immediati per i numeri di poche cifre, probabilmente richiederanno carta e penna via via che le cifre aumentano,  ma saranno sempre molto semplici!

Per semplicità e sintesi mi limiterò a dimostrare formalmente solo un paio di casi, tuttavia sufficienti per capire come procedere in tutti gli altri... potreste anche provare voi, per mettervi alla prova, a dimostrare uno qualunque degli altri casi.

 

1° CASO: numero di quattro cifre (ottenuto moltiplicando 11 per numero di tre cifre la cui somma è minore di 10)

Prendiamo, per esempio, 2.761 ovvero 11 x 251   (2+5+1 < 10)

Se 2=a, 5=b, 1=c

allora  251 = 100a + 10b + c

lo moltiplico per 11:

(10 + 1)(100a + 10b + c) = 1000a + 100b + 10c + 100a + 10b + c = 1000a + 100(a+b) + 10(b+c) + c = 2761

Quindi a=2, a+b=7, b+c=6, c=1

A questo punto ho tutti i dati per dimostrare, per esempio, che:

(migliaia e centinaia) – decine + unità = (27 – 6 + 1) = multiplo di 11

10a + (a+b) – (b+c) + c = 11a + b – b – c + c = 11a   come volevasi dimostrare!

Nel caso specifico 11a = 22  infatti a=2  (e 27-6+1=22)

 

2° CASO: numero di tre cifre (ottenuto moltiplicando 11 per numero di due cifre la cui somma è maggiore o uguale a 10)

Per esempio: 11 x 57 = 627

a=5    b=7

57 = 10a + b

11 x 57 = (10+1)(10a+b) = 100a+10b+10a+b = 100a+10(a+b)+b

Fin qui tutto uguale al caso precedente. Ora, però, devo tenere conto del fatto che a+b>=10 (in questo caso 5+7=12), quindi, seguendo il suggerimento di Umberto, (a+b)=(10+a+b-10):

100a+10(a+b)+b = 100a+10(10+a+b-10)+b = 100a+100+10a+10b-10*10+b = 100(a+1)+10(a+b-10)+b = 627

Infatti (a+1)=6   (a+b-10)=2   b=7

Infine, per dimostrare che

(centinaia e decine) – unità = 62-7 = multiplo di 11

Vado a sostituire:

10(a+1)+(a+b-10)-b = 10a+10+a+b-10-b = 11a = 55

Potrebbe essere un bel gioco per stimolare la fantasia di bambini (direi dagli otto/nove anni in su, visto che devono avere acquisito almeno il concetto di divisione) e di coloro che si dichiarano avulsi alla matematica, magari un'alternativa alla classica tombola natalizia!

Provate ad immaginare questa situazione: all'inizio attirate l'attenzione e create un'atmosfera di mistero dichiarando di essere in grado di capire al volo quali numeri sono divisibili per 11 e fate qualche esempio (prima mettetevi d'accordo con qualcuno affiché vi metta alla prova con dei numeri semplici, alcuni divisibili, altri no).  Dopodiché spiegate il trucco e organizzate una gara a punti che sarà vinta da chi avrà impiegato meno tempo a dare le risposte... non vi convince? Beh, tentar non nuoce e, se il gioco non risulterà gradito, potrete sempre dare la colpa a me!

Buon divertimento!

 

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