Questo articolo è stato inserito nell'approfondimento "Effetti e principi della Meccanica Quantistica", del quale si consiglia la lettura.

QUI e QUI trovate una trattazione molto semplice (e divertente) dell'effetto Compton, particolarmente adatta a ragazzi e neofiti di tutte le età.

 

Questo articolo non è facilissimo. Se volete prendervela con qualcuno, però, rivolgetevi a Supemagoalex… Sto scherzando, ovviamente. Ho commesso l’errore di parlare di effetto Compton, uno dei capisaldi nella problematica del dualismo delle particelle, e ora mi trovo invischiato nel gioco del biliardo. Ne sono, però, proprio contento. Vedremo, infatti, come anche i fenomeni quantistici hanno bisogno della fisica classica e in particolare della meccanica. E poi sarà un bel ripasso di matematica!

Urto centrale

Io giocavo soprattutto a “boccette” e a biliardo non ero molto bravo. Tuttavia, ne sono sempre stato affascinato, sia per la bellezza delle traiettorie che si dovevano immaginare prima di tirare il colpo, sia per le implicazioni continue dei principi di meccanica classica. Sto parlando, ovviamente, di un tavolo da biliardo perfetto e non come quelli in cui io andavo da liceale a fare le partite (pagava chi perdeva, niente di più…). Perfetto vuole dire che le sponde rispondono perfettamente e che il piano è ultra liscio, annullando quasi del tutto gli attriti. Anche le sfere da gioco devono essere lavorate perfettamente  e ben calibrate. 

Con un biliardo e qualche tiro banale (sena nemmeno calcolare le sponde, ma solo gli urti iniziali) c’è già da scrivere un manuale di meccanica classica. Con poche “noiose” formulette si riesce già ad avere una riprova pratica eccezionale. Per arrivare nientemeno che a un biliardo quantistico, con palle da gioco molto particolari,  è necessario partire dall’inizio e affrontare il problema a una dimensione e passare poi a quello bidimensionale (vedremo esattamente cos’è).

Dobbiamo, però, introdurre alcune grandezze della fisica. Non posso certo cominciare da zero, ma sono talmente “famose” che non dovrei fare molta fatica a darvene un’idea più che sufficiente. Sono stufo di ripetermi, ma l’ideale sarebbe immergersi nella Fisica Addormentata nel Bosco o in qualche libro divulgativo di Fisica elementare. Basta! Finiamola con la … pubblicità e passiamo al dunque.

Tutti sappiamo cosa sono la massa (inerziale in questo caso) e la velocità di un corpo. Con loro possiamo fare molte cose.  Innanzitutto, definire la quantità di moto.  Essa è una grandezza fisica che mi è particolarmente simpatica e nel libro la paragono a una lumaca che si porta sempre dietro la sua “casetta”. La casetta non è altro che la massa, un peso che limita o -meglio- regola la capacità di movimento, ma che, contemporaneamente, dà una certa sicurezza e resistenza. La quantità di moto si definisce come il prodotto della velocità v₁ di un corpo moltiplicata per la sua massa m₁.  Scriviamola:

q₁ = m₁v₁        …. (1)

Essa è quella che è e poco ci importa se sia stata causata da una forza o da qualsiasi altra cosa. L’importante è che rappresenti una proprietà di un corpo con una certa massa che si muove con velocità costante. Essa definisce, in qualche modo, proprio la capacità del corpo, di una certa massa, di mantenere un moto a velocità costante.

Se la massa cresce, a parità di velocità che si vuole ottenere, deve aumentare la capacità di muoversi dell’oggetto, ossia proprio la quantità di moto. Se scriviamo la (1) come v₁ = q₁/m₁, capiamo molto bene cosa comporta una massa più grande. A parità di quantità di moto, la velocità è costretta a diminuire. La massa è quindi quel qualcosa che cerca di opporsi al moto, proprio un’inerzia che il corpo si porta dietro (da cui massa inerziale).

Per la sua stessa definizione, la quantità di moto è una grandezza costante per un corpo che si muove a velocità costante. In parole più “fisiche”: un corpo (o un sistema chiuso) conserva la propria quantità di moto, se nessuna forza esterna lo viene a disturbare. Abbiamo così introdotto un concetto fondamentale per la meccanica: la conservazione della quantità di moto.

Non è facile non essere disturbati nell’Universo, ma la quantità di moto cerca di farlo con tutta la sua capacità indiscussa. Possiamo immaginarci la lumachina mentre assume la forma di una palla da biliardo e si muove sul tappeto verde senza alcun attrito (sarebbe una forza esterna!). Essa rappresenta un sistema fisico chiuso e come tale mantiene inalterata la sua quantità di moto, sempre che  nessuna forza esterna (attriti o altro) la venga a disturbare. Nel gioco del biliardo, però, questo non è auspicabile, se no che divertimento ci sarebbe a vedere correre una palla bianca su un tavolo infinito? Per quello che ci interessa, trascuriamo, comunque, gli urti contro le sponde e pensiamo solo all’altra palla in gioco (e magari anche al pallino).

Prima di prendere la stecca in mano, però, dobbiamo introdurre un’altra qualità o capacità della nostra sfera in movimento. Essa possiede anche una certa energia, che deriva proprio dal suo movimento e dalla massa. Cos’è l’energia? Non è facile rispondere in termini "terra-terra", ma iniziamo a definirla come la capacità di un corpo di compiere un lavoro (lavoro “fisico” che è un po’ diverso dal nostro lavoro). L’energia che deriva solo da queste grandezze, massa e velocità, prende il nome di energia cinetica.

Volete provarla? Prendetevi in faccia una palla da biliardo e poi vedrete che cosa rappresenta questa energia! Sicuramente, la “botta” terribile che subite dipende dalla massa della sfera, ma ancora di più dalla sua velocità. Se un asteroide di piccole dimensioni fosse appoggiato delicatamente al suolo, farebbe del male solo agli insetti che si trovassero sotto di lui. Ma se arrivasse a una velocità di parecchi chilometri al secondo, la situazione sarebbe di gran lunga più catastrofica. Scriviamo allora la formula che definisce l’energia cinetica di un corpo che si muove con una certa velocità v₁ e che possiede una certa massa m₁:

E₁ = ½ m₁v₁²    …. (2)

Non è molto diversa dalla quantità di moto, in fondo, dato che si ottiene moltiplicando  q per v e dividendola per due. Tuttavia, rappresenta qualcosa di fisicamente diverso, in qualche modo indipendente. Per trovare una vera relazione dovremmo andare troppo a fondo della questione e non possiamo farlo adesso. Ci basti la definizione che abbiamo dato. Al limite, possiamo notare un’altra somiglianza, non certo casuale (niente di casuale vi è nella meccanica classica e nella relatività), con la celeberrima formula di Einstein: E = mc². c è proprio una velocità (quella della luce), m la massa ed E l’energia… Che bella è la fisica e com'è intrigante capire tutte le sue connessioni.

Basta così e torniamo  al biliardo. Prima di iniziare, però, ricordiamo che anche l’energia si conserva come la quantità di moto, se niente viene a disturbare il corpo. In questo caso, l’unica energia in gioco è quella cinetica (ci sarebbe da parlare anche di quella dovuta alla gravità della Terra, ma a questo ci pensa il tavolo da gioco e non la nominiamo nemmeno).

La nostra sfera si muoverebbe tranquilla conservando le sue due proprietà che abbiamo appena conosciuto. Tuttavia, il gioco del biliardo si basa proprio nel cercare di colpire un’altra sfera, ossia di urtarla. Non possiamo certo illuderci: un urto deve essere considerato a tutti gli effetti un “disturbo” esterno e la nostra palla è costretta a cambiare sia la quantità di moto che l’energia cinetica.

Immaginiamo, in questa prima parte, che l’urto avvenga in modo che il percorso della prima sfera passi esattamente per il centro della seconda sfera (i centri di massa sono perfettamente allineati con la direzione del moto). Se  anche la seconda sfera si muove, la direzione del suo moto deve essere uguale a quello della prima. In questa situazione, tutto quello che succede avverrò lungo questa direzione, non potendosi originare movimenti laterali (non vi sono momenti di forza e cose del genere…).

Un bel problemino, raffigurato schematicamente nella Fig. 1.

Come faccio a prevedere cosa succede dopo che le due sfere si sono scontrate? Qui bisogna fare un breve discorsetto di logica fisica. Fino al momento del contatto tra le due sfere siamo di fronte a due sistemi chiusi: la palla che rotola e la palla ferma o che rotola in verso opposto (non vi sono altri moti permessi dato che vogliamo che tutto avvenga su una sola linea). Della prima sfera sappiamo tutto. Lo stesso vale anche per la seconda, che ha una velocità v₂ e una massa m₂. Analogamente, anch’essa avrà una quantità di moto q₂ e un’energia cinetica E₂, date da:

q₂ = m₂v₂

E₂ = ½ m₂v₂²

Anche la seconda fa di tutto per conservare le sue due capacità.  I corpi naturali, però, non hanno paura dei “diversi” e se incontrano qualcuno pensano subito a come accordarsi per avere un interesse comune o quanto meno una soluzione largamente condivisa. Ecco, la parola base: condivisione. Nel momento del contatto si originano delle forze. Tuttavia. Le forze, quelle che causano un cambiamento nelle proprietà delle due sfere, sono una uguale e contraria all’altra (uno dei principi di base della meccanica: ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria). La prima sfera subisce quella della seconda, la seconda quella della prima. Se continuiamo a considerare le due sfere separate, ognuna DEVE cambiare la sua quantità di moto e la sua energia cinetica. Ma se le due sfere si mettono d’accordo e nel momento in cui si toccano decidono di considerarsi un corpo solo o -meglio- un unico sistema chiuso? Lo so, lo so, per noi umani è pura utopia, ma non per le sfere o le particelle della Natura.

Accettata questa condizione, cosa succede al nuovo sistema formato dalle due sfere nel momento dell’urto? Le due forze che subiscono le due palle di biliardo si annullano a vicenda (una forza è uguale e contraria all’altra) e il nuovo sistema ampliato NON subisce nessuna forza esterna. Ma se non subisce nessuna forza esterna deve conservare sia la quantità di moto che l’energia cinetica. Ovviamente, per conservarle devono unirle insieme, dato che quelle che si conservano sono le proprietà dell’intero sistema (solo lui non ha subito forze esterne). Si deve avere perciò:

q₁ + q₂ = costante₁

E₁ + E₂ = costante₂

Sì, ma cosa sono queste costanti? Beh… è facile scriverle. Durante l’urto avviene uno scambio di informazioni tra le due sfere e, in base alla loro massa e alla loro velocità precedenti, esse devono condividere e/o scambiarsi le  grandezze in gioco. Ovviamente non possono scambiarsi la massa, ma le velocità sì. L’importante è che rimangano costanti la quantità di moto e l’energia cinetica complessive. Questo regalo reciproco decide la loro esistenza dopo che si saranno di nuovo allontanate per vivere nuovamente da “single”. Ovviamente, a quel punto, ognuna possiederà una quantità di moto e una energia cinetica diverse da quelle che aveva prima dell’urto, ma sono riuscite a conservare quello totale nell’istante in cui erano attaccate tra loro e formavano un solo sistema.

Ne segue, quindi, che la quantità di moto totale (e l’energia cinetica) deve rimanere inalterata anche dopo l’urto. Ossia, le costanti non sono altro che le somme delle quantità di moto e di energia cinetica calcolate dopo l’urto, ossia:

q₁ + q₂ = q₁’ + q₂’

E₁ + E₂ = E₁’ + E₂’ 

Queste due relazioni dicono solo che si è avuta la conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica.  Vale la pena accennare al fatto che stiamo parlando di urti elastici. Ossia, tutta l’energia in gioco resta solo energia cinetica. Escludiamo quindi lo schiacciamento “fisico” delle due sfere, la produzione di calore, il rumore dell’urto, ecc., che introdurrebbero altri tipi di energia. Forse, per le palle di biliardo è molto difficile essere in queste condizioni perfette, ma per le particelle del microcosmo quantistico è invece una  scelta perfetta.

Se chiamiamo v₁’ e  v₂’ le  nuove velocità delle due sfere, la conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica si scrivono :

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁’ + m₂v₂’                                               conservazione quantità di moto               ….  (3.1)

½ m₁v₁² + ½ m₂v₂²= ½ m₁v₁’² + ½ m₂v₂’²             conservazione energia cinetica                 ….  (3.2)

Come capita praticamente in tutti i problemi di meccanica classica, questo tipo di equazioni sono quelle che permettono la soluzione. E’ sempre fondamentale scrivere le relazioni che descrivono la conservazione dell’energia totale e/o di altre proprietà come il momento angolare o la quantità di moto o altro ancora. Ricordatevelo bene, perché la fisica lavora quasi sempre così.

Un’altra osservazione. La trattazione che faremo adesso è la più generale possibile (sempre nel caso di una sola dimensione) e va oltre il gioco del biliardo, nel quale la seconda sfera è sempre ferma e ha la stessa massa della prima (a parte il pallino). Noi invece considereremo anche i casi in cui la seconda sfera è in movimento e ha una massa qualsiasi. I casi da biliardo saranno casi particolari di uno ben più generale. Se dobbiamo fare le cose, facciamole bene!

A questo punto, rassegnatevi! Useremo la matematica che abbiamo iniziato a conoscere per risolvere il problema fisico che è stato riassunto nelle due relazioni (3.1 e 3.2). Che cosa vogliamo trovare, alla fine? Beh… non c’è molta scelta: le velocità delle due sfere dopo l’urto (le masse rimangono quelle che sono). Ce la faremo? Sicuramente sì, perché abbiamo due incognite (v₁’ e v₂’) e due relazioni che le legano  a quelle conosciute. Tiriamoci su le maniche e iniziamo. Come vedrete ho usato solo cose che già dovete sapere, niente di più complicato…

I termini noti sono: v₁, v₂, m₁, m₂. Quelli che dobbiamo trovare (in funzione di quelli noti) sono v₁’ e v₂’.

Ricordiamoci subito un prodotto notevole:

a² – b² = (a + b) (a – b)

Lo useremo subito per cercare di semplificare le nostre relazioni di partenza (soprattutto la seconda). Eseguiamo di volta in volta alcune operazioni come “raccogliere”, “mettere in evidenza” e altre cosucce del genere:

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁’ + m₂v₂’

½ m₁v₁² +  ½ m₂v₂² = ½ m₁v₁’² + ½ m₂v₂’²

 

m₁v₁ - m₁v₁’ = - m₂v₂ + m₂v₂’

m₁v₁² - m₁v₁’² = - m₂v₂² + m₂v₂’²

 

m₁(v₁ - v₁’) = - m₂(v₂ - v₂’)

m₁(v₁² - v₁’²) = - m₂(v₂² - v₂’²)

 

m₁(v₁ - v₁’) = - m₂(v₂ - v₂’)

m₁(v₁ - v₁’) (v₁ + v₁’) = - m₂(v₂ - v₂’) (v₂ + v₂’)

A questo punto inserisco la parte destra della prima relazione nella seconda, dato che i termini in grassetto sono uguali:

- m₂(v₂ - v₂’) (v₁ + v₁’) = - m₂(v₂ - v₂’) (v₂ + v₂’)

Semplifico le parti in comune a sinistra e a destra:

(v₁ + v₁’) = (v₂ + v₂’)

Da cui:

v₂’ = v₁ + v₁’ - v₂    …. (4)

Adesso, torno alla prima relazione (quella della quantità di moto):

m₁(v₁ - v₁’) = - m₂(v₂ - v₂’)

e sostituisco il valore di v₂’ con quello che ho appena ottenuto:

m₁(v₁ - v₁’) = - m₂(v₂ - v₁ - v₁’ + v₂) = - m₂(2v₂ - v₁ - v₁’)

m₁v₁ - m₁ v₁’ = - 2m₂v₂ + m₂v₁ + m₂ v₁’

m₁v₁ - m₂v₁ + 2m₂v₂ = m₁ v₁’ + m₂ v₁’

v₁(m₁ - m₂) + 2m₂v₂ = v₁’(m₁ + m₂)

v₁’ = v₁(m₁ - m₂)/(m₁ + m₂) + 2 m₂v₂/(m₁ + m₂)       …. (5)

Abbiamo ottenuto la velocità della prima sfera dopo l’urto, in funzione di quantità ben conosciute.

Passiamo adesso a v’₂, riprendendo in mano la (4)

v₂’ = v₁ + v₁’ - v₂

Non ci resta che sostituire al posto di v₁’ il valore (5) appena trovato (che barba!):

v₂’ = v₁ + v₁(m₁ - m₂)/(m₁ + m₂) + 2 m₂v₂/(m₁ + m₂)  - v₂ =

       = (v₁ m₁ + v₁ m₂ + m₁v₁ - m₂v₁)/(m₁ + m₂) + (2 m₂v₂ - v₂m₁ - v₂m₂)/(m₁ + m₂) =

     =  2v₁ m₁/(m₁ + m₂) + (m₂v₂ - v₂m₁)/(m₁ + m₂)

v₂’ = v₂(m₂ – m₁)/(m₁ + m₂) + 2v₁ m₁/(m₁ + m₂)       …. (6)

La (5) e la (6) risolvono il nostro problema. Imponendo la conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica totali, siamo riusciti a determinare le nuove velocità delle due palle da biliardo, nel caso monodimensionale più generale possibile. Divertitevi pure a fare casi particolari fin che volete. Ovviamente, se le due palle vanno in verso opposto tra loro, dovete cambiare il segno alla seconda velocità…

Facciamo, adesso, dei casi particolari, che sono proprio quelli più interessanti per il biliardo.

         

         (a)   m₁ = m₂      

Le due masse sono uguali, ma le velocità sono qualsiasi.

La (5) e la (6) dicevano:

v₁’ = v₁(m₁ - m₂)/(m₁ + m₂) + 2 m₂v₂/(m₁ + m₂) 

v₂’ = v₂(m₂ – m₁)/(m₁ + m₂) + 2v₁ m₁/(m₁ + m₂)

Basta imporre m₁ = m₂ ed esse diventano

v₁’ = 2 m₂v₂/2 m₂ = v₂

v₂’ = 2 m₁v₁/2 m₁ = v₁

Le velocità si scambiano tra loro

         

         (b)   m₁ = m₂, v₂ = 0

Le due masse sono uguali e, inoltre, la seconda sfera è ferma (caso tipico del biliardo nel tiro iniziale)

v₁’ = v₂ = 0

v₂’ = v₁

La prima si ferma e la seconda parte con la velocità della prima

 

         (c)    m₁ >> m₂, v₂ = 0

La seconda palla è ferma, ma la massa della prima è molto più grande della seconda (caso del pallino… più o meno). Cominciamo col mettere v₂ = 0.

v₁’ = v₁(m₁ - m₂)/(m₁ + m₂)

v₂’ = 2v₁ m₁/(m₁ + m₂)

Poi assumiamo che m1 >> m2 ossia:

m₁ +/- m₂ ~ m₁

da cui:

v₁’ ~  v₁

v₂’ ~ 2v₁

La prima continua, quasi, con la stessa velocità, mentre la seconda parte a velocità quasi doppia della prima

 

         (d)   m₁ << m₂, v₂ = 0 

Manteniamo, sempre, la seconda sfera ferma, ma consideriamo quest’ultima molto più massiccia della prima. Poniamo come prima v₂ = 0.

v₁’ = v₁(m₁ - m₂)/(m₁ + m₂)

v₂’ = 2v₁ m₁/(m₁ + m₂)

Poi assumiamo che m₁ << m₂, ossia:

m₁ +/- m₂ ~ +/-m₂

da cui:

v₁’ ~ - v₁

v₂’ <<  v₁

la seconda si ricava facilmente pensando alla quantità  2m₁/(m₁ + m₂) ~ 2m₁/m₂ << 1

 

Direi che possiamo fermarci qui. Potete ovviamente fare tutti gli esempi che volete, ma ricordatevi di eseguire tutto secondo una sola linea, la direzione di entrambe le velocità delle due sfere.

Inserisco la Fig. 2 dove sono riportati due giochi molto famosi. Il secondo è quello delle tante palline sospese e tutto sta nel sollevare la prima, lasciarla andare, e vedere che cosa succede. La prima si riferisce al “celebre” clic-clac del 1971. Quanti lividi sulle mani! Entrambi sono strettamente legate alla problematica trattata in questo articolo. Ovviamente saprete dirmi perché…

 

La trattazione dell'effetto Compton continua QUI