(Questo articolo è da considerarsi come soluzione del quiz pubblicato QUI  ispirato ai dati sbagliati ottenuti con Celestia)

Su Papalla è giunta voce che i terricoli hanno individuato un sistema planetario che ruota intorno ad una piccola stellina, affettuosamente soprannominata la nana rossa trappista... e i papalli hanno subito provato a realizzare alcune rappresentazione panoramiche...

Secondo i terricoli la temperatura superficiale di quella stellina è di circa 2270 °C (quella del Sole terricolo è di 5500 °C), il suo raggio è di soli 81 396,9 Km (quello del Sole terricolo è di 697 500 Km) e intorno ruotano sette alfabetici pianeti… il più vicino dei sette pianeti, affettuosamente soprannominati sette nani, si chiama b, poi si trovano c, d, e, f, g ed h.

Questa volta i papallini hanno chiesto a Papalpittore di provare a disegnare come si vede quella piccola stellina dai vari pianeti, ma lui continua a ripetere: “va bene usare la fantasia, ma per poter dipingere tali panorami dovrei almeno conoscere quanto grande o piccola può apparire la stella, vista da ognuno dei sette nani”.

Ma noi ti abbiamo già detto quanto è grande la stella, cos'altro ti serve, chiede stupito Papalsempliciotto?

Papalpittore, senza scomporsi, invita PapalSempliciotto a partecipare ad un gioco...

Lui deve solo dire quanto appare grande la Papalpalla rossa.

Accipicchia, non conta solo quanto è grande la Papalpalla, ma anche quanto è distante, esclama PapalSempliciotto!

Quindi, come vedi, dice Papalpittore, per capire quando apparirà grande la Papalpalla, o un papalpianeta o una stella, non contano solo le loro dimensioni reali, ma conta anche la loro distanza.

Non contento Papalpittore, su suggerimento di PapalScherzone, invita PapalSempliciotto a un gioco di prestigio... lui userà tre Papalpalle di dimensioni diverse, che per chi osserva appariranno della stessa dimensione...

Il mistero è presto svelato, il rapporto tra il raggio della papalpalla e la distanza da PapalSempliciotto è rimasto sempre uguale...

La papalpalla rossa di raggio 4, pur avendo un raggio 4 volte più grande di quella verde di raggio 1, si trova 4 volte più distante da PapalSempliciotto (quella rossa dista 20 e quella verde 5), per cui a lui appaiono entrambe della stessa dimensione.

Papalpittore fa notare a PapalSempliciotto che, volendo, per comprendere meglio perché le dimensioni sembrano identiche, si può anche pensare al limite del campo visivo (linee rosse) che si restringe fino a coincidere con le due rette nere che contengono perfettamente i dischi delle tre papalpalle..

In fin dei conti, se un terricolo o un papalliano osservano attraverso un tubo, il loro campo visivo non è più di quasi 180°, ma si restringe notevolmente...

Perchè parli di angolo inquadrato, chiede PapalSempliciotto?

Prova a pensare alla tua capacità di vedere ciò che ti circonda..

Puoi forse vedere cosa sta succedendo dietro di te?  No, di certo...

Al limite puoi vedere fino a un certo punto a destra ed a un certo punto a sinistra, non è proprio come fare mezzo giro, ma quasi... la tua visuale è quindi un po' meno di un angolo piatto ossia un po' meno di 180° (come l'angolo compreso tra le due linee rosse), mentre per esempio sul pianeta degli Occhiuti c'è anche chi ha occhi davanti, dietro e di lato e la sua visuale copre un giro intero, ossia un angolo di 360°.

Al contrario nel pianeti degli Acutangoli, il loro unico occhio è posto in fondo ad una cavità per cui la loro visione copre solo quella ristretta tra le due linee nere che congiungono tutti i dischi delle papalpalle...

Per un Acutangolo, tutte e tre le papalpalle coprirebbero l'intera visuale...

E quanto vale quest'angolo chiede stupito PapalSempliciotto?

Non è poi così difficile trovare quanto vale quest'angolo... dato che sappiamo qual è la grandezza, il raggio e la relativa distanza di ogni papalpalla.

Per arrivare alla nostra  formula magica capace di svelare il valore dell'angolo misterioso, Papalpittore preferisce usare una figura ed una sola delle tre papalpalle (tanto l'angolo è lo stesso per tutte e tre)... I papallini più piccoli possono anche saltare questa parte, ma gli toccherà prender per buona la formula magica finale...

Ovviamente si affretta a precisare Papalpittore, l'angolo α rappresenta solo la metà della visuale degli Acutangoli.. manca l'identica metà di sotto...

Ora che la formula misteriosa è stata trovata: 

Diametro angolare apparente = β = 2 Arctan (raggio/distanza)

possono riaprire gli occhi anche i papallini più piccoli... e, se qualcuno di loro si fa coraggio e vuole provare a capire cosa sono questi "strani" seni e coseni, può farlo grazie a questa semplice spiegazione.

PapalSempliciotto è un po' perplesso, ma funziona davvero?

Basta fare una prova, così mi alleno per disegnare i panorami dei sette nani trappisti, risponde Papalpittore...

Tutti sanno che i terricoli dal loro pianeta vedono il Sole con un diametro angolare apparente di poco più di mezzo grado, così come il loro satellite, la Luna.

Il raggio del Sole dice Palapittore misura 695 700 Km e la distanza della Terra (semiasse maggiore) è di circa 149 597 887 Km.

Applicando la formula magica si ottiene:

Diametro angolare apparente = β = 2 Arctan (695 700/149 597 887) = 0,53°

proprio come ci si aspettava, ossia poco più di mezzo grado... afferma Papalpittore mentre conclude la sua rappresentazione artistica.

Il raggio della Luna è pari a 1 737 Km e la distanza dalla Terra (semiasse maggiore) è di 384 400 Km.

Applicando la formula magica si ottiene:

diametro angolare apparente = β= 2 Arctan (1 737/384 400) = 0,518°

proprio come ci si aspettava, ossia poco più di mezzo grado, afferma nuovamente Papalpittore al termine della sua seconda rappresentazione...

Ovviamente, ricorda Papalpittore, le distanze di Sole e Luna non sono costanti, per cui ci sono piccole variazioni sul diametro apparente.

Proprio a causa di queste piccole variazione di diametro apparente, in quelle particolari occasioni in cui il disco della Luna si sovrappone a quello del Sole, dato che i due diametri apparenti sono comparabili, si può verificare un eclissi totale oppure un eclissi anulare.

Questa piccola rappresentazione di qualcosa di noto, ossia di come si vedono Sole e Luna dalla Terra, risulterà utile per confrontare le dimensioni della nana rossa trappista vista dai suoi sette nani...

Tra i tanti dati diffusi dai terricoli, conviene sceglierne alcuni, prima di applicare la formula magica.

Il Raggio della nana rossa viene indicato come pari a 0,117 volte quello del Sole, quindi:

Raggio nana Rossa = 695 700 x 0,117 = 81 396,9 Km

Poi i terricoli per complicarci la vita hanno indicato le distanze in Unità Astronomiche, invece che in chilometri... comunque basta ricordarsi che 1 Unità astronomica è uguale a 149 597 870,7  Km, quindi in un attimo si possono trasformare le distanze di ogni pianeta dalla sua stella in Km:

Pianeta b – distanza 0,011 UA = 1 645 576 Km

Pianeta c – distanza 0,015 UA = 2 243 968 Km

Pianeta d – distanza 0,021 UA = 3 141 555 Km

Pianeta e – distanza 0,028 UA = 4 188 740 Km

Pianeta f – distanza 0,037 UA = 5 535 121 Km

Pianeta g – distanza 0,045 UA = 6 731 904 Km

Pianeta h – distanza 0,06 UA = 8 975 872 Km

Ora che Papalpittore ha tutti i dati che gli servono, può sbizzarrirsi con le sue rappresentazioni e per trovare le dimensioni apparenti della Stella vista dai vari pianeti usa la solita formula magica, mentre disegna il sistema formato dalla nana rossa con i suoi sette nani trappisti...

PapalPittore è soddisfatto, ma prima di sbizzarrisi con la fantasia ad inventare paesaggi naneschi, per rendere ancora più evidenti le varie dimensioni apparenti, le mostra fantasiosamente una a fianco dell'altra...

Una volta note le dimensioni apparenti della stella e le relative proporzioni, PapalPittore può finalmente disegnare i fantasiosi panorami ripresi dalle superficie di ognuno dei setti pianeti...

PapalSempliciotto sembra finalmente aver compreso il misterioso segreto di Papalpittore e, preso dall'entusiasmo, si sbilancia formulando un'interessante proposta.

Visto che ci sono alcuni amici terricoli che ogni tanto si interessano alle nostre storie ed ai nostri giochi, perché non provare a confrontare cosa si vede dal terzo pianeta del sistema trappista e cosa si vede dal terzo pianeta del sistema solare?

PapalSempliciotto, si mette subito all'opera.

Mumble, mumble...

il raggio della Nana Rossa è di 81 396,9 Km,

quello del Pianeta b è di 6 944 Km

e quello del Pianeta c è di 6 753 Km.

La nana Rossa dista dal terzo pianeta (d) 3 141 555 Km.

Il Pianeta b dista dalla Stella 1 645 576 Km, perciò quando questo si trova alla minima distanza dal terzo pianeta, la distanza tra i due pianeti è uguale a (distanza Pianeta d dalla Stella - distanza Pianeta b dalla Stella) :

Distanza tra Pianeta b e Pianeta d = 3 141 555 - 1 645 576 = 1 495 978 Km

Il Pianeta c dista dalla Stella 2 243 968 Km, perciò quando questo si trova alla minima distanza dal terzo pianeta, la distanza tra i due pianeti è uguale a (distanza Pianeta d dalla stella - distanza Pianeta c dalla stella):

Distanza tra Pianeta c e Pianeta d = 3 141 555 - 2 243 968 = 897 587 Km

Applicando la solita formula magica, PapalSempliciotto in un attimo ricava il diametro apparente della stella e degli altri due pianeti visti dal terzo pianeta.

…. e Papalpittore conclude in bellezza con una sua rappresentazione artistica di questa strana danza tra la nana rossa e suoi due pianeti più interni vista dal terzo Pianeta (d)  trappista...

Se qualcuno si volesse cimentare a disegnare nuovi paesaggi, le distanze dei pianeti dalla Stella sono già state indicate, mentre queste sono quelle relative ai raggi (presunti) di ognuno dei sette pianeti:

Pianeta b – raggio = 6 944 Km

Pianeta c – raggio = 6 753 Km

Pianeta d – raggio = 4 905 Km

Pianeta e – raggio = 5 861 Km

Pianeta f – raggio = 6 626 Km

Pianeta g – raggio = 7 199 Km

Pianeta h – raggio = 4 842 Km

Per oggi è tutto dal Pianeta Papalla...

 

Chissà se qualcuno di quei sette pianeti ha la fortuna di godersi un'eclissi della propria stella oscurata da un altro dei suoi "fratelli"... scopriamolo grazie a QUESTO QUIZ!