Siamo arrivati a un punto fondamentale: l’introduzione della derivata di una funzione. Iniziamo col descriverla in modo estremamente semplificato, quanto basta per afferrare il concetto base. Poi, compresa la sua ragione di esistere, vedremo di utilizzare la matematica che già conosciamo per utilizzarla al meglio. Un passo alla volta. Ho usato una strada lunga e ho girato molto attorno al problema. L’ho fatto sperando di semplificare. Tuttavia, questo è forse l’articolo più importante per entrare nel mondo della matematica “superiore” e, quindi, comunicatemi ogni pur piccolo dubbio abbiate e cercherò, se necessario, anche di cambiare la trattazione se per qualcuno risulta ancora difficile. Scrivo queste “lezioni” per voi e quindi aiutatemi a migliorarle… mi raccomando! Come al solito, ho reso l’articolo simile a un’avventura… un’avventura “matematica”, ovviamente!

I limiti del limite

Cosa abbiamo fatto introducendo il limite di una funzione in un punto? Cercando di accomunare fisica e matematica, abbiamo cominciato a guardare come la y si avvicinava a quel punto restringendo sempre di più l’intervallo della x. Addirittura, in certi casi, ci siamo avvicinati sia da destra che da sinistra, dato che la funzione era molto “ambigua” e per una stessa x accettava due valori (un esempio tipico è stata la funzione tangente trigonometrica, ricordate?).

Lo scopo era di utilizzare una specie di microscopio che ci permettesse di vedere sempre più da vicino i dintorni del punto fino a darci un risultato che, attraverso un approccio fisico (intervallo), ci permettesse di definire un’entità matematica (punto). A volte, abbiamo avuto bisogno di assumere un “simbolo” per indicare il limite finale, dato che per grande e potente fosse il microscopio non si riusciva mai ad arrivare a un punto matematicamente ben definito (vedi pi greco, il numero e, e, in generale, tutto ciò che era espresso perfettamente dal paradosso di Achille e della tartaruga). Altre volte, abbiamo dovuto esprimere concetti come: “Dato un numero ε piccolo a piacere (o grande a piacere) esiste sempre una x tale che… ecc., ecc.”, quando si trattava con il solito amico-nemico infinito e suo fratello zero.

Un lavoro da certosino, estremamente paziente e meticoloso, aiutato da alcune proprietà delle funzioni (grado di un polinomio e cose del genere). Un risultato, sicuramente fondamentale, tanto da assegnare una volta per tutte la vittoria ad Achille, ma completamente dedicato al singolo punto della funzione. In altre parole, il limite ci è servito solo per sapere quanto vale la y per valori peculiari della x. Il più delle volte, infatti, bastava sostituire la x nella f(x) per ottenere il valore di y.

E’ vero che siamo partiti da un intervallo attorno a x (e a y), ma lo abbiamo ridotto sempre più fregandocene bellamente di come si avvicinava alla meta. Questo concetto deve essere perfettamente chiaro prima di andare oltre. In caso contrario è meglio ripassare tutto quanto detto sui limiti.

Definiamo, ancora una volta, il limite in modo leggermente diverso. Il limite permette di sapere quanto vale l’ordinata di un punto, appartenete a una funzione, per un valore qualsiasi della x. Leggete bene questa frase e digeritela completamente. In termini matematici, il limite per x che tende a x_o di una funzione y = f(x) ci permette di calcolare il valore y₀ = f(x₀) anche in casi, a prima vista, piuttosto complicati. Un operatore matematico piuttosto semplice e intuitivo, corredato da paroloni e da intervalli, numeri piccoli o grandi a piacere, che però sa lavorare solo su un punto della funzione.

Svuotare l’oceano con un cucchiaino

Può bastare per descrivere la funzione con cui stiamo lavorando? Teoricamente sì. Potremmo ritenerci soddisfatti e cominciare a calcolare ogni y, partendo dall’ascissa più a sinistra della funzione fino ad arrivare a quella più a destra. Ossia, descrivere la funzione punto per punto. Un po’ come avevano cominciato a fare il principe e il boscaiolo della Fisica Addormentata nel Bosco. Chi vuol farlo può anche provare, ma sarebbe un po’ come cercare di svuotare un oceano con un cucchiaino. Senza contare che a volte bisogna partire da - ∞ e arrivare fino a + ∞. Vi voglio proprio vedere!

Torniamo alla nostra cara e vecchia ferrovia e vediamo di applicarle il nostro problema.  Una cosa è disegnare il percorso mediante una funzione, anche se definita punto a punto, è un’altra è capire se il treno ci può veramente passare! E’ necessario sapere, infatti, se il tracciato non sia praticamente assurdo per non rischiare deragliamenti o tragedie del genere. Insomma, bisogna anche capire come l’andamento si ripercuote sulla sua agibilità. Un paragone solo parzialmente calzante, ma abbastanza per avvicinarsi alla problematica matematica.

La prima cosa ovvia da fare sembrerebbe di allargare un poco l’analisi del tracciato della ferrovia, ossia non calcolare solo i punti in cui passa, ma anche come li passa. Perché non usare un intervallo della x e vedere come si comporta la y in quello stesso intervallo? In fondo, la variazione di una coordinata al variare dell’altra è proprio quello che ci interessa.

L’ideale sarebbe fare ancora di più, ossia prevedere, conoscendo solo la funzione, come il treno possa affrontare le variazioni di percorso in qualsiasi punto della ferrovia. In qualche modo (e state bene attenti a questa frase): applicare un qualcosa alla funzione di partenza, che ci faccia sapere, in anticipo, dove possano capitare bruschi cambiamenti di direzione.

Insomma, inventare un’operazione che lavori su f(x) e la trasformi in un’altra, f ’(x).

In parole ancora più semplici: se abbiamo una y = f(x), basterebbe calcolare una y’ = f ’(x) che descriva sinteticamente l’andamento della f(x). Senza nemmeno accorgercene, abbiamo già introdotto uno dei modi per indicare la derivata di una funzione, proprio y’ o f ’(x).

Non basta conoscere i punti

La derivata vuole dirci come varia la y al variare della x: niente di meno e niente di più. E lo fa attraverso una nuova funzione che indichiamo f ’(x). Ripetiamo: y = f(x) ci dice quanto vale la y per ogni x; la derivata f ’(x) ci dice come varia la y al variare di x e non quanto vale la y per un certo valore di x. Pensateci bene, dato che sono due risultati completamente diversi! La f’ non è altro che un’operazione che lavora su f e la trasforma in qualcosa capace di descrivere la sua capacità di variare.

Sì, sì, è magnifico, ma come costruire questa funzione? Abbiamo appena detto che vogliamo sapere come varia la y in funzione della x. Beh… espresso in termini appena appena matematici vuole solo dire fare il confronto tra la variazione di y rispetto alla variazione di x. Ossia, tornare indietro nelle nostre lezioni e considerare gli intervalli di x e quelli corrispondenti della y. Con l’aiuto della curva qualsiasi rappresentata in Fig. 73, vediamo cosa può succedere lavorando in questo modo così semplice. Cominciamo a farlo attorno a un punto P di ascissa x₀, poi vedremo. In realtà la faccenda sembra fin troppo facile: basta scrivere il rapporto tra la differenza delle y e quello delle x. Questo rapporto è immediatamente calcolabile, dato che conosciamo la y = f(x) e quindi si possono calcolare tutti valori della y per qualsiasi valore della x (anche nei punti peculiari, ma per adesso è meglio lasciarli da parte). Usiamo questa scrittura per definire il nostro rapporto:

Δy/Δx

Al variare di Δx vi sarà una variazione di Δy e il nostro problema sarebbe risolto! Evviva, sappiamo calcolare la derivata di una funzione!

Prendiamo un valore qualsiasi della x, per esempio x₁, relativa al punto Q, più o meno vicino a x₀ e facciamone la differenza Δx₁₀ = x₁ – x₀. La curva non presenta niente di particolare in quell’intervallo delle x e possiamo quindi calcolare immediatamente i valori della y corrispondenti a x₁ e x₀, sostituendoli nella f(x), ossia: y₁ = f(x₁) e y₀ = f(x₀). Abbiamo, quindi, costruito anche Δy₁₀ = y₁ – y₀, da cui il rapporto:

Δy₁₀/Δx₁₀ = (y₁ – y₀)/(x₁ – x₀) = 4/5

Tutto lì? Abbiamo già imparato a fare le derivate? Beh… non esageriamo. Siamo sicuri di sapere come varia la y al variare della x? proviamo a cambiare x₁ e prendere un punto R di ascissa x₂. ne deriva un nuovo valore y₂ = f(x₂). Faccio il nuovo rapporto:

Δy₂₀/Δx₂₀ = (y₂ – y₀)/(x₂ – x₀) = 2/4 = 1/2

C’è qualcosa che non va! I due rapporti trovati non sono assolutamente uguali: 4/5 è nettamente superiore a 1/2. Quale dei due è la derivata? Una funzione -o numero che sia- che varia a seconda del punto che abbiamo preso ci interessa ben poco. Se cambiassi ancora i valori della x troverei altri valori del rapporto. No, questa non può essere la derivata che cercavamo… tropo ballerina e troppo variabile. In pratica, ci dice poco o niente sull’andamento della funzione. Ci siamo illusi troppo frettolosamente. Se la funzione f’ non è altro che un numero che cambia di volta in volta, tanto vale costruire la funzione punto a punto…

Tuttavia, siamo ancora convinti che l’approccio deve essere quello giusto: per capire come varia la y al variare della x bisogna fare il rapporto delle loro differenze! Prima di buttare tutto nella spazzatura, perciò, proviamo di nuovo con una funzione particolare che conosciamo molto bene. Forse era troppo pretenzioso considerare subito una curva qualsiasi. Meglio andare per gradi. Magari un caso più facile ci aiuta a capire come è meglio muoversi.

Per la retta funziona!

Prendiamo una retta qualsiasi che passi per l’origine, che si scrive:

y = mx

La conosciamo molto bene e sappiamo anche molto bene cosa significa m, il coefficiente angolare della retta. Abbiamo visto che non è altro che la tangente trigonometrica dell’angolo α che la retta forma con l’asse x (ricordate?). Come avevamo fatto a trovare questo risultato? Avevamo considerato un semplice triangolo rettangolo (tanto per cambiare) i cui vertici erano l’origine degli assi O, il punto P di ascissa x e ordinata y,e la sua proiezione H sull’asse x. Poi avevamo fatto il rapporto tra y e x e ci eravamo resi conto che era proprio il rapporto tra i cateti PH e OH e quindi la tangente dell’angolo α. Infatti:

y/x = PH/OH = sin(α)/cos(α) = tan(α) = m

Potevo, però, anche usare due punti qualsiasi della retta, senza considerare l’origine, e avrei trovato comunque che  (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = tan(α).

O, se preferite:

(y₂-y₁)/(x₂-x₁) = (m x₂ – m x₁)/(x₂ - x₁) = m(x₂ – x₁)/(x₂ - x₁) = m

Accidenti! Otteniamo sempre lo stesso m per qualsiasi coppia di valori della x.

Per sicurezza, ripetiamo quanto fatto nella Fig. 73, considerando nella Fig. 74 un’ascissa x₀, poi x₁ e, infine, facendo il primo rapporto (y₁ - y₀)/(x₁ - x₀). Poi prendiamo x₂ e y₂ e scriviamo il rapporto (y₂ - y₀)/(x₂ - x₀). Avevamo proprio ragione: questa volta il rapporto rimane sempre lo stesso. Ed è uguale a m. D’altra parte abbiamo a che fare sempre con triangoli simili e quindi non cambia di certo l’angolo che la retta fa con l’asse x.

Un momento, un momento… ma allora le cose girano proprio come volevamo… Quello che abbiamo fatto sulla retta è stato proprio il rapporto tra la variazione di y e la variazione di x. Lo stesso esercizio che prima ci aveva creato grossi problemi su una curva qualsiasi. Fermiamoci un attimo a studiare meglio la retta, chissà che non ci aiuti a trovare quella funzione f ’ che ci permetterebbe di capire come varia la y al variare della x, anche per qualsiasi altra funzione. Ricapitoliamo:

Per la retta passante per l’origine possiamo prendere qualsiasi coppia di punti e troveremmo sempre che

Δy/Δx = m = costante

Accettiamo ciò che viene regalato. Per la retta, almeno, possiamo dire di aver trovato un qualcosa che descrive la variazione di y al variare di x. Questo qualcosa non è altro che il coefficiente angolare. D’altra parte l’avevamo già detto a suo tempo che m controlla la pendenza della retta, ossia quanto velocemente varia la y per una differenza costante di x.

E se la retta non passasse dall’origine, ossia fosse della forma:

y = mx + n   ?

Non cambierebbe niente. dato che

Δy/Δx = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁) = (mx₂ + n – mx₁ – n) = m(x₂ - x₁)/(x₂ – x₁) = m

Il coefficiente angolare ci regala la pendenza di qualsiasi retta, sia passante o no per l’origine. Sono cose già risapute, ma è sempre bene richiamarle. Anzi, è ancora meglio richiamare quella retta speciale che descrive la variazione dello spazio in funzione del tempo (basta sostituire y con s e x con t). In quel caso (ricordate?), il coefficiente angolare m della retta era proprio la velocità, intesa come grandezza fisica. m indica, quindi, proprio la velocità con cui varia la y al variare di x. Sì, potete dirlo a voce alta: “Abbiamo trovato la derivata della retta!” Essa può esprimersi con la seguente constatazione:

se:

y = mx + n

allora:

y’ = f ’(x) = m

Non abbiamo trovato una funzione vera e propria, ma una costante. Tuttavia, per adesso ci può bastare. Anche y = costante è in, fondo, una funzione, quella che per qualsiasi x assume sempre uno stesso valore.

Potremmo già studiare il modo “matematico” che ci permette di passare da y a y’, ma sarebbe un processo empirico e a noi non piace assolutamente. Abbiamo usato la retta solo per dimostrare che quella famosa operazione, che trasforma la funzione in un’altra funzione che indica come varia la y al variare della x, esiste, almeno per la retta.

Questo risultato ci dà nuovo vigore. Torniamo allora alla nostra curva qualsiasi che ci aveva un po’ abbattuto e analizziamola meglio.

Qual è la differenza più grande che abbiamo trovato nei due casi? Nella retta è stato tutto facile perché Δy/Δx è una costante (m). Non solo, ma il rapporto resta sempre uguale anche se cambio l’ascissa x₀. Il risultato e’ lo stesso per qualsiasi punto della retta e per qualsiasi intervallo. Possiamo considerare due ascisse qualsiasi e avremmo sempre lo stesso risultato. Nella curva qualsiasi, invece,  Δy/Δx varia continuamente se cambiamo le ascisse attorno a x₀ e sicuramente anche se cambiamo x₀. Forse l’errore sta proprio lì… Dobbiamo ragionare un po’ meglio sull’intervallo da scegliere. Non tutti vanno bene? Difficile… forse bisogna utilizzare una qualche strategia operativa.

Il limite ci dà una mano

Accidenti, ma noi abbiamo la capacità di eseguire l’operazione di limite di una funzione per x tenda a un certo valore x₀. Perché allora non applicare questa operazione al rapporto tra Δy e Δx? Mi spiego meglio: abbiamo visto che per una funzione qualsiasi il rapporto Δy/Δx non rimane costante, basta cambiare Δx e troviamo un valore diverso. Solo la retta è stata insensibile a questo cambiamento. Proviamo allora a stringere sempre più l’intervallo facendo tendere Δx a zero. Facendo in questo modo troveremo come varia la Δy relativamente a un punto. Scriviamo Δx come:

x_i – x₀   , ossia scegliamo un intervallo qualsiasi (i è qualsiasi)

ad esso corrisponde un intervallo:

y_i – y₀

Se facciamo tendere (x_i - x₀) a zero (ossia x_i a x₀) possiamo calcolare come varia la differenza tra le y corrispondenti. Attenzione: non faccio il limite della funzione y = f(x) per x_i che tende a x₀ che mi porterebbe a quanto già sappiamo, ma faccio il limite del rapporto tra la variazione della funzione e la variazione dell’ascissa, per quest’ultima che tende a zero. Il concetto e i risultati sono molto diversi!

Scusate se insisto, ma questo è forse il punto più importante da comprendere e quindi lo ribadisco attraverso le formule relative.

Quando abbiamo studiato il valore che la funzione assumeva in un punto, abbiamo scritto:

lim _x→x0 f(x) = f(x₀)

Adesso, invece, vogliamo studiare la variazione della funzione in quel punto

lim _x→x0 (f(x) - f(x₀))/(x-x₀)    … (1)

Lavorando in questo modo troviamo la variazione istantanea di y, quando x tende a x₀.

Tuttavia, vi è un’altra cosa importantissima da considerare: x₀ è un punto qualsiasi della curva e, quindi, la (1) ci dà la variazione della funzione in un punto qualsiasi della funzione.

Scriviamo, allora, la (1) in un altro modo per evidenziare questa caratteristica e renderla più generale possibile. Invece di x₀ che dà l’idea di un punto particolare, prendiamo una x qualsiasi. L’ascissa di un punto x_i più o meno vicino a x si può sempre scrivere come x + h (h potrebbe anche essere negativo, ma c’interessa poco).

Applico lo stesso sistema anche a y_i = f(x_i), ossia: y_i = f(x + h). Fatemi di nuovo scrivere l’ormai famoso rapporto Δy/Δx:

Δy/Δx = (f(x + h) – f(x))/(x + h – x) = (f(x+h) – f(x))/h

Scritto in questa forma, prende il nome di rapporto incrementale. E’ un rapporto che vale per qualsiasi x e per qualsiasi h (ossia per qualsiasi x_i), proprio quello che cercavamo. Non ci resta adesso che far tendere h a zero per vedere qual è la variazione istantanea di y. Essendo x un punto qualsiasi, la funzione che ottengo mi dà proprio la variazione istantanea della y per ogni punto della curva.

Non ci resta che scrivere:

lim _{h →0} (f(x+h) – f(x))/h

Essa è proprio la funzione che cercavo e posso scriverla come:

lim _{h →0} (f(x+h) – f(x))/h  = f ’(x) = y’

Il risultato di questo limite, ossia la funzione f ’(x), è la derivata di f(x).

Fate bene attenzione (e scusate la pedanteria). Quando calcolavamo il limite di una funzione per x che tendeva a un certo valore x₀, trovavamo un numero, ossia l’ordinata che la funzione associava all’ascissa x₀. Qui, invece, il limite del rapporto incrementale ci regala una nuova funzione f ’(x) che descrive l’andamento della y = f(x), ossia la sua capacità di cambiare direzione e pendenza. Pendenza, pendenza… ci fa tornare in mente la retta… prima, però, riassumiamo in Fig. 75, ciò che abbiamo fatto finora.

Abbiamo nuovamente utilizzato l’operazione “limite” per ottenere un risultato che “fisicamente” sarebbe stato impossibile. Noi, infatti non siamo capaci di ridurre a zero il valore di h, ma il limite sì! Siamo di nuovo al confine tra fisica e matematica. Mentre h si avvicina a zero possiamo assistere a come cambia la direzione della congiungente dei punti Q(x+h, f(x+h)) e P(x,f(x)). Essa, rappresenta una retta, che cambia direzione istante per istante (PR, PS,…), al tendere di h a zero. In questo caso abbiamo veramente una funzione che cambia istante per istante ma che tende a un certo limite. Proprio questo limite è la derivata. Anche una funzione può essere il limite di un’altra funzione e il limite del rapporto incrementale ci aiuta a trovarla.

Sappiamo, però, che anche usando un  microscopio avremmo sempre un h diverso da zero e quindi una retta che continua a cambiare. Non è difficile capire, però, verso cosa tende matematicamente e geometricamente questa retta quando h diventa matematicamente zero. Potete già arrivarci da soli, ma ci torneremo sopra ben presto, quando parleremo del significato geometrico della derivata.

Torniamo a quella parola che avevamo lasciato in sospeso: “pendenza”. Ci convince a fare un “test” importantissimo. Siamo già riusciti a calcolare la variazione di una funzione molto particolare: la retta. Anzi siamo riusciti anche a scrivere la sua derivata prima ancora di definire cos’era la derivata. E’ stato facile, dato che la retta ha per definizione una sola direzione e quindi la sua derivata doveva essere sempre uguale punto per punto. Vi ricordate? La derivata è proprio m, il coefficiente angolare. Se è costante uno deve essere costante anche l’altra.  Tutto ciò, l’avevamo, però, ricavato in un modo un po’ empirico. Vogliamo riprovarci con la formula generica che definisce la derivata? Se vale per qualsiasi curva deve valere anche per la retta. Un test -direi- decisivo!

E allora via, scriviamo il rapporto incrementale per la nostra retta generica y = f(x) = mx + n

(f(x + h) –f(x))/h = ((m(x+h) + n) – (mx + n))/h = (mx + mh + n – mx – n)/h = m h/h = m

Accidenti! Il rapporto incrementale non contiene h. E’ già una costante ed è proprio m. Non dobbiamo certo stupirci, dato che facendo il rapporto incrementale non abbiamo fatto altro che fare Δy/Δx che già sappiamo valere sempre m. Insomma, abbiamo fatto un gran girotondo per tornare allo stesso punto. Comunque, poco male, è sempre meglio verificare i risultati ottenuti utilizzando metodi differenti.

Diventa del tutto banale, adesso, fare il limite del rapporto incrementale per h che tende a zero. Sappiamo benissimo qual è il risultato:

y’ = f’(x) = lim _{h →0} (f(x+h) – f(x))/h  = lim _{h →0} m = m

Il limite di una costante continua a rimanere la costante. h e m non hanno niente a che spartire tra di loro. Ne segue che:

y’ = m

Esattamente il risultato che avevamo trovato per via empirica. Sembra proprio che la definizione di derivata funzioni!

Prima di concludere questa “puntata”, vale la pena eliminare un dubbio che ogni tanto accompagna la definizione di derivata che abbiamo dato poco fa. Fate molta ATTENZIONE.

Non tutto ciò che va a zero è zero

A prima vista, qualcuno potrebbe semplificare troppo la faccenda, dicendo: “Ma se Δx va a zero, anche Δy DEVE andare a zero. Infatti, quando x_i arriva a coincidere matematicamente con x, anche y_i deve finire per coincidere con y. Come si fa a trovare un risultato concreto come la derivata?” Non avrebbe sicuramente torto, anche se la soluzione è lì, a portata di mano. Basterebbe ricordare  che esistono le forme 0/0 e che non sempre danno come risultato zero! In qualche modo siamo proprio in questo caso. Ci torneremo sopra, sicuramente, ma, per il momento, è meglio risolvere il problema in modo geometrico, tanto per fugare subito qualsiasi dubbio in proposito. Vi dimostro che malgrado Δx e Δy vadano entrambe a zero, non lo fa il loro rapporto. Usiamo la Fig. 76, dove ho considerato il caso particolare della retta (il caso generale alla prossima volta).

Puntiamo la nostra attenzione sul triangolo PQR che ha proprio per cateti Δx e Δy. Avviciniamoci sempre di più a P, facendo scorrere Q e R verso di lui. In altre parole facciamo tendere Δx a zero (ossia h). Risulta immediato che anche Δy (ossia f(x+h) – f(x)) tende a zero. Tuttavia, il triangolo, pur diventando sempre più piccolo, continua a rimanere simile a se stesso. In alte parole il rapporto tra Δy e Δx non cambia assolutamente. Potremmo anche usare un microscopio eccezionale e continueremmo a vedere quel piccolo triangolo non mutare assolutamente forma. Questo fatto ci dice che l’angolo tra ipotenusa e cateto h rimane sempre lo stesso. Ma se l’angolo rimane costante, rimane costante anche la sua tangente trigonometrica, ossia il coefficiente angolare m, che, guardo caso, è proprio la derivata della retta! In altre parole, siamo di fronte a una forma 0/0 che dà come risultato un numero diverso da zero. Se poi la funzione non è una retta, la derivata sarà qualcosa di più complicato, ma non sarà zero, se non i punti molto particolari che ci serviranno moltissimo!

Possiamo fare anche un esempio di tipo matematico per dimostrare che il rapporto tra due numeri che tendono a zero può benissimo dare un risultato diverso da zero. Questo approccio può anche servire, più in generale, per comprendere sempre meglio le forme 0/0. Scegliete poi il metodo che preferite...

Se faccio il rapporto tra 14 e 7 so benissimo che il risultato è il numero 2. Facciamo adesso diminuire sempre di più sia 14 che 7, ossia facciamoli tendere a zero. Basta dividerli per numeri molto grandi, ad esempio 1 000 000, e si ottiene 14/1000000 = 0.000014 e 7/1 000 000 = 0.000007. Non fatemi usare più zeri, tanto non cambierebbe niente. Posso dire che 0.000014 e 0.000007 sono molto più vicini a zero di quanto non fossero 14 e 7? Direi proprio di sì. Sono allora riuscito a far tendere a zero sia numeratore che denominatore, ossia ho praticamente scritto 0/0. Tuttavia, se fate il rapporto tra 0.000014 e 0.000007 continuate a trovare come risultato il numero  2. Potrei veramente sorpassare il limite della fisica, aggiungendo decine di zeri e troverei sempre lo stesso risultato. Niente da fare, 0/0 può benissimo essere diverso da zero!

Prima di chiudere veramente questa lunga lezione, ricordiamo, ancora una volta, che sostituendo alla x il tempo e alla y lo spazio, il coefficiente angolare risulta essere la velocità (costante) di un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme. Ma il coefficiente angolare è anche la derivata della retta. Ne segue quindi che la derivata non è altro che la velocità di un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme. Beh… questa frase che abbiamo già evidenziato mentre ci davamo da fare per descrivere la variazione dell’ordinata di una funzione, ha un interesse fisico “mostruoso”. La derivata è in grado di regalarci, punto per punto, la velocità di un corpo in movimento o di una qualsiasi reazione sia fisica che chimica o quello che volete.  Un nuovo mondo si apre davanti a noi.

Un importante appunto finale: siamo partiti da un rapporto tra differenze del tipo Δy/Δx. Abbiamo poi visto che Δx doveva tendere a zero. E allora perché non usare il Δ relativo agli intervalli molto piccoli? Ne abbiamo già parlato e lo abbiamo anche usato. A Δ sostituiamo la lettera d e il rapporto di prima diventa:

dy/dx = d(f(x))/dx

Dato che d vuol dire piccolo che più piccolo non si può, possiamo anche usare questa rappresentazione per scrivere la derivata:

dy/dx = d(f(x))/dx = y’ = f ’(x)

Vedremo che l’ultima scrittura è la più conveniente e anche la più usata. E’ solo una questione di simbologia, ma la matematica ama i simboli (chiedete a e, a π, a ∞, a sin, a cos, a tan, a log, …)

Minuti di recupero

Bene… ammetto di averla fatta molto lunga, di aver girato e rigirato attorno all’argomento. Potevo sprecare solo poche righe e darvi la definizione. Ho preferito questo sistema perché ho pensato che arrivando alla stessa conclusione in vari modi si capisse meglio il concetto. Sta a voi dirmi se ho ottenuto lo scopo. Spero di avere, comunque, smitizzato il concetto di derivata e di averla resa comprensibile a tutti. Vedremo la prossima volta quante applicazioni ha questa funzione così speciale. Impareremo a calcolarla per molte funzioni f(x) (ecco perché le abbiamo trattate una alla volta) e capiremo ancora meglio perché è così fondamentale per tutta la fisica.

Alla fine ci potremo permettere di studiare completamente una funzione e potremo affrontare molti problemi astrofisici senza cercare di evitare a tutti i costi l’uso della derivata. Vi sembra poco?

Mi raccomando, quindi, se non avete capito qualcosa è questo il momento di dirlo! Sono anche disposto a cambiare la trattazione, cercando di venire incontro ai meno esperti…

Resto in attesa e … viva la derivata e viva il limite che ha permesso di definirle!

P.S. Non ho voluto intenzionalmente richiamare gli articoli già apparsi sui limiti per mezzo di link. L’ho fatto perché sono un po’ malvagio? No, solo perché, obbligandovi ad andare a cercare i vari argomenti già trattati, siete costretti a un ripasso forzato… e la derivata non solo ne ha bisogno , ma se lo merita veramente!

 

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