Categorie: Fenomeni astronomici Matematica
Tags: gelato sferico getti buchi neri Pappo Pippo quiz visioni relativistiche
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:58
QUIZ: Un sottile, ma squisito, gelato sferico **/****
Per una analisi completa delle "Visioni relativistiche" si consiglia di leggere il relativo approfondimento, del quale questo articolo è parte integrante.
Un caldo eccessivo può fare venire le “allucinazioni”… Sarà questo il caso descritto nel nuovo problemino che vede coinvolti i nostri “cari” amici Pippo e Pappo? Qualcosa mi dice di no…
Pappo non solo è cresciuto, ma è diventato bravissimo in fisica ed è lui che adesso si diverte a prendere in giro Pippo. E’ anche un piccolo inventore e riesce a fare cose che sembrerebbero assurde nel mondo comune.
La mamma ha preparato un dolce veramente squisito: una sfera di pasta sottilissima, vuota all’interno, tipo bombolone, ricoperta da uno strato di ogni ben di Dio: gelato di fragola, di pistacchio, di banana e di cioccolata al latte. Un mix molto bello a vedersi, che piace molto ai ragazzi. Una sua visione frontale (diretta verso Pippo) e una laterale sono date in Fig. 1.
Pappo propone a Pippo un piccolo gioco di prestigio. Lui userà uno dei suoi esperimenti quasi magici e Pippo mangerà solo la parte di torta che riuscirà a vedere. Beh… non essendo troppo vicino al dolce sferico (possiamo immaginarlo posto all’infinito, Fig. 2) la parte che Pippo non riesce a scorgere è del tutto trascurabile e lui vede quasi esattamente metà del dolce sferico. Metà ciascuno, non fa male a nessuno!
Ma… Pappo continua: “Se, però, tu dovessi vedere solo un singolo colore dei quattro presenti, io mi mangerei tutto il dolce!”. Pippo sa che il fratello è diabolico, ma giudica impossibile l’eventualità prospettata da Pappo e accetta. Per sicurezza, aggiunge: “Guai a te, però, se sposti il dolce (deve rimanere dov’è… non si sa mai…), o se cerchi di modificare manualmente le superfici dei vari colori”. “Perfetto”, dice Pappo “ Ti giuro che non sposterò il dolce e non cambierò i colori”. Poi prosegue: “Solo dopo una frazione di secondo, ossia quando tutti i raggi arriveranno contemporaneamente ai tuoi occhi, potrai darmi una risposta. Sarà bene, però, che tu me la dia in fretta dato che il mio esperimento non può andare per le lunghe." In altre parole, Pippo deve aspettare un attimo, per fare arrivare sia i raggi che partono dalle zone più vicine della sfera sia quelli che provengono dalle più distanti. Quando è sicuro che l'immagine non cambia, può dare la risposta. Deve anche fare in fretta, per altri motivi... tecnici...
Purtroppo, come volevasi dimostrare, Pippo rimane a bocca asciutta… Che magia è riuscito a fare Pappo? Spiegatela accuratamente!
Il quiz non è facilissimo (ci vogliono intuizione e ragionamento) ed è abbastanza imprevedibile. Spero che sia compreso bene (altrimenti, chiedete ulteriori spiegazioni). Tuttavia, la soluzione qualitativa (che basta e avanza) abbisogna di una geometria veramente elementare, senza alcuna formula matematica! Chiunque può arrivarci, con un po’ di ragionamento … Questo è il motivo per cui sono stati messi sia due che quattro asterischi: quattro per la difficoltà dell’intuizione e due per la descrizione successiva.
Vi posso anche dire che la sua importanza va ben oltre le torte… sferiche, in quanto caratterizza molto bene i getti dei buchi neri galattici!
Inoltre, ricordando le parole di Maurizio (QUI), potremmo anche dire che l’illusione (se illusione è) è quanto mai reale e concreta, dato che Pippo rimane senza torta!
QUI la soluzione
QUI tutti gli articoli dedicati alle visioni relativistiche
58 commenti
Domanda: la rotazione del gelato su se stesso va considerata come uno spostamento e pertanto non è consentita?
La rotazione è ammessa, ma ... non aiuta nel quiz (a meno che non esista un altro effetto che non ho tenuto in conto...
). I colori scelti, se fatti ruotare velocemente non danno un unico colore uguale a uno singolo della sfera originaria.
Consiglio operativo: utilizzate solo un bel disegno di semplice geometria...
Per una frazione di secondo! Il nero per ultimo, dopo aver visto anche gli altri colori. Il rosso, il rosso, una frazione di secondo prima.
La forma sferica del gelato comporta una diversa distanza dei tronchi di calotta colorati dall'osservatore. La calotta più vicina è quella al centro di colore rosso.
La magia consiste nell'oscurare per il tempo necessario la sorgente all'osservatore e poi "accenderla". In tal modo arrivera per prima la luce rossa
Poi arriveranno anche gli altri colori.
Ho solo riformulato la illuminante intuizione di Gianfranco (bravo!)
Ma mi chiedo come si collega la faccenda ai getti dei buchi neri galattici...
caro Gianfranco,
forse capisco cosa intendi dire... ma la frazione di secondo è più lunga di quanto pensi tu... In altre parole, possiamo AMMETTERE che tutti i raggi arrivano da Pippo nello stesso identico momento, sia i più lontani che i più vicini (basta aspettare una frazione di secondo di più). Prima partono i raggi più distanti (neri), poi quelli gialli, poi quelli verdi e infine quelli rossi, in modo da regalare una visione completa della semisfera a Pippo in un certo istante. Pippo deve aspettare una frazione di secondo per vedere tutta la torta Noi dobbiamo considerare il momento t0 in cui tutti i raggi arrivano all'occhio di Pippo. Quello è il momento in cui Pippo deve rispondere. In altre parole, il trucco è un altro....
Caro Mau,
vale quanto detto per Giampaolo. tu dici: "La magia consiste nell'oscurare per il tempo necessario la sorgente all'osservatore e poi "accenderla". In tal modo arriverà per prima la luce rossa". Sì, ma subito dopo, rapidissimamente, anche quella di un altro colore. Invece dovete considerare un tempo t0 in cui tutto quello che può arrivare arriva. Ovviamente, mascherare una parte di sfera non è lecito!
Comunque, aggiungo una frase nel testo per chiarire questo punto... GRAZIE a entrambi per avermelo fatto presente...
il bombolone resta fermo dove è, come Pippo, e non varia l'illuminamento della scena nè ambientale nè dall'interno del bombolone ? Pappo non usa lenti, specchi o altro ?
No a tutte le domande. Il bombolone resta fermo... il suo centro non si muove di un millimetro e le luci non cambiano né dentro né fuori. Inoltre, Pappo non usa né lenti né specchi né altre apparecchiature ottiche!!!!
Pappo fuma una sigaretta e ne manda il fumo sul percorso della luce che proviene dal gelato e giunge a Pippo.
La lunghezza d'onda del rosso è la più grande e non trova ostacoli nel velo di fumo mentre gli altri colori ,di minor lunghezza d'onda, sono bloccati per il breve tempo necessario a dissipare la nube di fumo.
Pappo è troppo piccolo per fumare!!!!
Forse può fare una bolla di sapone...Finchè non scoppia potrebbe funzionare.
Oppure un getto di aria calda che devia la luce facendola divergere dall'asse centrale in modo che la luce degli anelli esterni sia deviata lateralmente.
Poi, quando l'aria si raffredda si vede tutto.
qui c'è lo zampino (o zampone?) di P
autasso....
PER TUTTI
Ricordatevi questa frase:
...riesce a fare cose che sembrerebbero assurde nel mondo comune...
Pensate, perciò, in grande... senza alcun timore di non conoscere come fare a costruire certi attrezzi. Pappo è veramente un genio tecnologico!
Pappo non sposta il dolce, ma, grazie ad una pedana relativistica riesce a far muovere Pippo verso il bombolone a velocità vicina a quella della luce e l'immagine del bombolone si dilata (come questo quadrato che sembra diventare una vela) a tal punto che per Pippo, in un determinato momento, è visibile solo il cerchio rosso centrale...
Mi pare di capire che la distanza tra bombolone e Pippo non cambia (infatti avevo chiesto "il bombolone resta fermo dove è, come Pippo.... ?" Quindi i due sono tra loro fermi. Ho capito bene ? Comincio a pensare che si tratti davvero di allucinazioni da caldo afoso
Ho letto e riletto, ma non c'è scritto da nessuna parte (neanche nella risposta di Enzo alla tua domanda) che Pippo debba rimanere fermo...
Pappo interpone un oggetto altamente massivo tra Pippo e il gelato producendo una distorsione dello spazio che devia la luce .Finché si mantiene l'allineamento la luce aggira l'ostacolo ma solo i raggi provenienti dal cento della gelatosfera si ricompongono all'interno del campo visivo di Pippo, mentre la zona circolare periferica ne resta fuori.
Per posizionare sfera, corpo massivo e Pippo viene usato un braccio di adeguata lunghezza con centro nel gelato. All'altro estremo Pippo ruota senza allontanarsi.
L'intervallo di osservazione coincide con il tempo di transito del corpo interposto sulla congiungente gelato pippo .
Stai pensando ad una sorta di lente gravitazionale creata con un pezzetto di stella di neutroni da frapporre tra il bombolone e Pippo, Mau?
Ma, in tal caso, l'immagine del bombolone non dovrebbe formare un alone (uniforme o spezzato a seconda dei casi) intorno al pezzo di stella?
Un'immagine come una di queste, per intendersi...
E se invece di una stella fosse un corpo nero? e la luce proveniente dal centro ci cadesse dentro mentre solo quella del bordo riuscisse a scappare scivolandoci attorno?
E' un caso che il colore più esterno sia un ' non colore' come il nero?
La vuoi smettere, Oreste, di commentare usando l'identità di Maurizio??
Non vorrei essere in te quando se ne accorgerà...
Ma il bombolone resta fermo soltanto rispetto a Pappo ? Quindi, è ammesso un moto relativo tra bombolone e Pippo ? Se si, si tratterebbe di dare a Pippo una mega-spinta nella direzione del bombolone così da fargli raggiungere una velocità relativistica, alla quale possono vedersi cose strane. Si, ma poi come fermare Pippo prima che vada a impattare sul bombolone ?
Mah, non sono sicuro che c'entri un moto a velocità relativistiche.
Pappo è un mago della tecnologia e non avrà problemi ad inventare un sistema frenante super-efficiente per evitare l'impatto.
Enzo ha scritto "Quando è sicuro che l'immagine non cambia, può dare la risposta. Deve anche fare in fretta, per altri motivi... tecnici..." : forse Pippo deve dare la risposta in fretta proprio perché si sta dirigendo verso il bombolone a folle velocità.
Potrebbe anche essere... Intendo dire che i fratelli non ci pensano due volte a farti questi scherzi.
Comunque per oggi il gelato lo lascio lì. Tanto a -273 non si scioglie di sicuro...
Buonanotte
Pensavo che se Pippo si avvicina la frequenza della luce che vede aumenta andando verso il blu che non è un colore dei quattro.
Se invece si allontana la frequenza diminuisce e si sposta verso il rosso che è anche il colore centrale.
Non esiste il problema della possibile collisione con il bersaglio ma allora perchè il tempo è limitato da " problemi tecnici"?
mamma mia, quante ipotesi...
posso solo dire che ha ragione Arturo: intendevo che nessuno dei due (torta e Pippo) può muoversi. Come dicevo, la distanza tra il centro della sfera e Pippo resta immutata, anche se piuttosto grande. I motivi tecnici ci sono, ma riguardano la torta... non si può pretendere troppo da lei...
Aggiungo: niente viene interposto tra sfera gelato e Pippo!
Pensate ai getti dei buchi neri....
Voglio venirvi incontro, correggendo un po' i colori della torta gelato: al posto della liquirizia, abbiamo messo della cioccolata al latte che a Pappo piace di più...
Inoltre mi voglio rovinare: ecco cosa vede Pippo
Noto , caro Vincenzo, che parli sempre di distanza tra il centro della sfera e Pippo. Mi è venuto un dubbio: ma per caso può variare il raggio del bombolone ? In tal caso, infatti, la distanza tra centro del bombolone e Pippo rimane immutata, ma la distanza tra superficie sferica (sulla quale sono distribuiti i colori) e Pippo cambia. Magari Pappo ha inventato un marchingegno per fare espandere il bombolone a velocità relativistica verso l'esterno, e in tal caso il limite ...tecnico potrebbe essere che, essendo la superficie del bombolone sottile, l'espansione potrà durare pochissimo, pena l'esplosione dello stesso con conseguenti schizzi di materia (dolce) nello spazio
tiepido, caldo, molto caldo...
e magari hai anche capito perché ho messo la cioccolata....
Stai forse suggerendo che Pappo abbia usato una piastra come QUESTA??
no, Dany, non c'è bisogno di scaldare il gelato....
Pappo provoca la contrazione del raggio del gelato-sfera a velocità 0,5 c .
Le frequenze delle radiazioni luminose emesse dal'emisfero rivolto verso Pippo si abbassano tutte e il colore risultante è unicamente il rosso.
La contrazione non può durare che un tempo limitato dato che il raggio iniziale non è infinito.
Mmmmmh... il colore non sarebbe uniforme... no, dai, non c'entra l'effetto doppler! Possiamo trascurarlo tranquillamente per ottenere il risultato... E' solo una questione di geometria...
e non è nemmeno difficile quantificare il tutto...
Se la sfera viene fatta espandere mantenendo fisso il centro, i raggi che provengono dalla calotta rossa avranno una componente di velocità orizzontale in direzione di Pippo maggiore della velocità degli altri raggi di altro colore, provenienti dagli altri tronchi di calotta.
Quindi arriveranno prima a Pippo i fotoni provenienti dalla zona fragola.
Caro Mau,
questo è il problemino di cui abbiamo già discusso... In realtà, è vero, ma basta aspettare un minimo di tempo perché ai raggi partiti ai bordi si accompagnino anche i raggi partiti dal centro un attimo dopo, in modo analogo (ma opposto) a quanto discusso per il righello verticale. Tutta la semisfera viene vista circa come fosse su un piano (a parte la proiezione). E' necessario qualcos'altro....
Ipotizzo, dunque, che Pappo possa fare espandere il bombole con velocità relativistica. Poiché si è detto che Pippo è molto distante dal bombolone, tanto da potere considerare i raggi ottici passanti per il punto in sommità e quello di base della sfera tra loro paralleli, posso considerare trascurabili le differenze di percorso dei fotoni che partono dai punti del bombolone più distanti rispetto a quelli che partono dai punti più vicini. In pratica , considero che all'istante t=0 partano contemporaneamente i fotoni da qualsiasi punto del bombolone e diretti tutti verso Pippo.
Mentre i fotoni partiti all'istante iniziale viaggiano verso Pippo, però, la sfera si espande a velocità relativistica. Accade allora che i fotoni partiti per esempio dal punto in sommità e da quello di base del bombolone risultino "racchiusi" nella sfera che si sta espandendo. Stessa cosa accade se consideriamo punti a latitudini inferiori del bombolone, ma per intervalli di tempo via via minori. Il fotone partito all'istante t=0 dal punto del bombolone più vicino a Pippo, invece, risulta sempre fuori dalla sfera in espansione. Ci sarà allora un intervallo di tempo in cui sono fuori dalla sfera, quindi visibili a Pippo, solo i fotoni partiti all'istante t=0 dall'area centrale rossa, mentre quelli partiti dalle altre bande colorate sono ancora dentro la sfera che si sta espandendo. Pertanto, in tale intervallo di tempo, Pippo vedrà solo il cerchio rosso centrale circondato dal buio circostante, come nella foto pubblicata da Vincenzo.
Dopo un pò, comunque, almeno in base ad una prima bozza di animazione fatta con geogebra, riemergono anche i fotoni delle altre zone, che così tornano ad essere visibili a Pippo.
caro Artù,
secondo me non ce la faranno mai, a meno di non rallentare l'espansione o far scoppiare la torta. L'angolo al centro della torta, che sottende la parte "scappata", dovrebbe rimanere costante... Almeno dalla mia figura molto manuale... Una figura banale che si ottiene come intersezione tra due circonferenze (ti torna?).
Comunque sia, il succo è proprio quello e, con uno sforzo in più, si capisce anche perché la faccenda interessa anche i getti relativistici dei buchi neri che sono dei getti che si espandono con superficie esterna parzialmente sferica
A mio avviso Pappo usa un lievito relativistico....
Il gelato si gonfia a velocità relativistica e Pippo vede la parte centrale rossa (ipotesi “esplosiva”).
In alternativa Pippo e il gelato sono posti su un elastico che si tende con una rapidità tale da rendere più lungo il percorso che devono compiere i fotoni, per cui la frequenza luminosa si sposta verso il rosso (ipotesi espansiva).
Paolo
Caro Paolo,
nel primo caso, come mai si vede solo la parte rossa?
Prendete con le molle quelle due animazioni da me realizzate, in quanto suscettibili di correzioni. In esse il raggio della sfera cresce nel tempo secondo la legge:
R(t) = R0 + vt
dove R0 è il raggio all'istante iniziale t=0 e v è la velocità relativistica di espansione (ipotizzata 0,99c nella prima animazione e 0,9c nella seconda).
L'ascissa dei fotoni FA, FG etc varia nel tempo secondo la legge
x(t) = xo + ct
dove xo è l'ascissa iniziale.
La loro ordinata non varia, essendo quella dell'istante di partenza.
Nelle due animazioni ho tracciato dei segmenti colorati per richiamare le rispettive bande colorate della sfera, che qui vediamo in sezione (secondo un piano passante per il centro del bombolone e per Pippo). Dalla prima animazione (v=0,99c) si vede che il segmento rosso è l'unico che emerge, pur se non completamente, dalla sfera che si sta espandendo. Ma se proseguissi con l'animazione, dopo un bel pò di tempo vedrei emergere anche il segmento verde.
Nella seconda animazione (v=0,9c), invece, è breve l'intervallo di tempo in cui emerge solo il segmento rosso, venendo poi seguito da quello circostante verde.
Ora si tratta di capire dove sta l'inghippo.
Dipende da dove e quando partono i fotoni... ho fatto una piccola modifica alla figura, ad un ipotetico tempo t1...
Paolo
Forse ho capito dove sta l'inghippo. Quando i fotoni ancora racchiusi nella sfera in espansione arrivano a toccarla dall'interno , se la superficie fosse trasparente, la oltrepasserebbero e tornerebbero visibili, ma siccome la superficie del bombolone non è trasparente...
E magari (verificherò) vanno a impattare comunque sulla banda colorata centrale, cioè rossa, nel frattempo ingranditasi per effetto dell'espansione.
Scusa Arturo... perché la sfera si espande, ma non i settori colorati? Anche loro devono seguire l'espansione...
Inoltre... se un fotone non riesce a uscire dalla torta, non lo farà mai più. Solo fotoni successivi riusciranno a farlo, ma essi appartengono solo al cerchio rosso (data una certa velocità di espansione).
O sbaglio io?
Scusa paolo, ma sono un po' duro... non capisco come funzioni la tua figura... puoi spiegarmela meglio?
Non avevo letto, Artù, ma adesso cominciamo ad andare d'accordo. I fotoni non riescono a passare e poco importa il colore esterno... loro si bloccano a causa della pasta interna che va più forte di loro! Prova a fare l'intersezione tra la sfera espansa, dopo un dt a partire da 0, e l'inviluppo dei fotoni emessi al tempo 0, dopo un tempo dt. Ben pochi sono davanti alla superficie esterna e riescono a scappare.... (a seconda della velocità...). Io ho scelto qualcosa intorno a v = 0.72 c
Si, Vincenzo, è esattamente ciò che intendevo dire nel mio ultimo commento. Nelle due animazioni i segmenti colorati uniscono i fotoni partiti all'istante t=0. Mancano, invece, sul profilo della sfera in espansione, gli archi di circonferenza corrispondenti alle bande colorate , che pure esse vanno espandendosi. Vedo di integrare le animazioni.
Provo a spiegarmi meglio... questa volta uso una velocità di espansione della sfera di 0,9 c... (prima era di 0,75 c).
Il fotone azzurro parte al tempo t0.
Al tempo t1 il fotone azzurro ha percorso uno spazio pari a ct1.
Il bordo rosso della sfera rispetto al bordo iniziale (e non al centro della sfera) ha percorso uno spazio vt1.
Al tempo t1, il fotone rosso che parte dal bordo rosso è più vicino a Pippo rispetto al fotone azzurro che ha percorso lo spazio ct1.
Pippo vede arrivare i fotoni rossi mentre gli altri si trovano ancora all'interno della sfera in espansione...
Paolo
Arturo... mi correggo, per vedere solo il rosso la velocità deve essere più alta! Il mio 0.72 si riferisce alla figura che ho preparato per la spiegazione....
caro Paolo... non è solo una questione di essere in ritardo... la sfera non è trasparente. I fotoni che sono dentro non possono uscire! Il succo è quello... va forse spiegato un po' meglio... Comunque, ci siamo....
Hai ragione Enzo, anche se la sfera è ferma esiste un ritardo, ma non c'è alcun ostacolo che impedisce ai fotoni "ritardatari" di giungere fino a Pippo...
Qui, invece, rimangono "imprigionati" dentro la sfera non trasparente... un ritardo fatale...
Paolo
Perfetto Paolino!!!
Questi problemi sono stati sollevati dopo Einstein e ci pongono davanti al quesito: "conta più la misura o l'apparenza?". La risposta non è facile, dato che noi "vediamo" anche l'infinitamente piccolo, dove la RR la fa da padrona. Un esempio classico è lo scontro di due sfere di ioni, ma anche molto altro...
Comincia a pensare a come possono entrare in gioco i getti relativistici dei buchi neri...
Ecco, questa dovrebbe andare meglio. Sempre v=0,9 c . Ho evidenziato che ad un certo punto, il fotone FF resta bloccato sulla faccia interna della superficie sferica. Stessa sorte agli altri che ancora non l'hanno raggiunta. Nel frattempo i baldi fotoni FE ed FA si lasciano dietro il bombolone in espansione a vanno dritti nell'occhio di Pippo, a formare l'immagine del cerchio rosso su sfondo nero.
La calotta visibile a Pippo è tanto più ampia quanto più lenta la velocità di espansione della crosta.
Posso immaginare un cono con il vertice nel centro della sfera che si estende lungo un asse centro-osservatore nei due densi di tale direzione.
L'osservatore vede solo i fotoni entro quel cono, la cui apertura si restringe al crescere della velocità di espansione della sfera. Se la velocità si avvicina a "c" il cono tende a chiudersi sul suo asse.
Osservatori diversamente posizionati vedono calotte diverse, intersezione della sfera con coni analoghi.
Cosa accade dell'energia dei fotoni prigionieri? Viene ceduta alla superficie che si riscalda?
Che fine fa il gelato? Soprattutto mi preme sapere della cioccolata...
Caro Enzo a me vengono in mente le apparenti velocità superluminali dei getti, quando questi sono diretti con un angolo molto piccolo verso di noi... come nelle riprese di 20 anni di Hubble della galassia NGC 3862 con un buco nero centrale che banchetta e il tamponamento dei nodi dei getti.
Paolo
caro Mau,
il fatto è che livelli macroscopici non si riesce a mantenere una velocità relativistica a lungo, dato che la torta che si gonfia viene rallentata dall'urto contro il mezzo intergalattico. Ne segue una continua crescita della zona visibile, accoppiata a una diminuzione dell'intensità luminosa (la luce è sempre più debole dato che la temperatura dovuta all'impatto tra getto e mezzo diminuisce, tuttavia....). Il fenomeno è molto complesso, ma cercherò di sintetizzarlo in modo ultra semplice e un po' "rozzo"...
OK, oggi scrivo la soluzione e aspetto un video ancora più esplicativo...