Fatevi coraggio. Questo articolo è veramente noioso, devo ammetterlo. Vuole, infatti, ricavare quanto valgono le derivate di somme, differenze, prodotti e rapporti di funzioni. Potrei darvi subito il risultato e invitarvi a imparalo a memoria. In realtà, malgrado si debba fare così (come quando si memorizzano le tabelline dei vari numeri interi), mi sembra doveroso dimostrarvi il perché agiamo in un certo modo. E’ difficile trovarlo nei libri e quindi è bene tenerlo sempre in un cassetto. Oltretutto, è un perfetto esercizio di pura matematica elementare e non fa mai male.

Avevamo visto che fare il limite di una somma, di una differenza, di un prodotto e di un rapporto era cosa banalissima. Bastava fare la somma, la differenza, il prodotto e il rapporto dei limiti. Le cose sono meno intuitive per le derivate e vi spiego subito il perché. Beh, in realtà, per la somma e la differenza non esistono problemi. Infatti, immaginiamo di dover calcolare la derivata della somma (o differenza) di due o più funzioni. L’ordinata y si ottiene dopo aver sommato due funzioni di x differenti tra loro. Possono, ad esempio, essere dei monomi o qualsiasi funzione si voglia, come log(x) + sin(x), e via dicendo. In altre parole, abbiamo:

y = f(x) + g(x)

Non mi resta che fare il rapporto incrementale di questa “doppia” funzione, che vale:

y’ = lim _h→0 (f(x+h) – f(x) + g(x+h) – g(x))/h

Posso, però, immediatamente scrivere:

y’ = lim _h→0 (f(x+h) – f(x))/h + (g(x+h) – g(x))/h)

So, però, che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti e quindi:

y’ = lim _h→0 (f(x+h) – f(x))/h + lim _h→0 (g(x+h) – g(x))/h) = f ’(x) + g’(x)

La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate. Elementare, veramente elementare.

Non vi è assolutamente bisogno che ripeta la “dimostrazione” nel caso della differenza. E’ ovvio che, se:

y = f(x) - g(x)

allora:

y’ = f ’(x) – g’(x).

Adesso, però, le cose si complicano con il prodotto di funzioni. Ossia, prendiamo una y tale che:

y = f(x)g(x)

e calcoliamone il rapporto incrementale:

y’ = lim _h→0 (f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x))/h

Accidenti… cosa facciamo? Questo è un qualcosa che non posso separare in due parti come succedeva per la somma. O -almeno- le due parti non avrebbero nessun legame con le derivate delle due funzioni di partenza.

Se provassimo a fare la differenza dei limiti, avremmo:

y’ = lim _h→0 (f(x+h)g(x+h))/h – lim _h→0 f(x)g(x)/h

Proviamo a passare al limite? Nessun problema, ma otterremmo:

y’ = f(x)g(x)/0 – f(x)g(x)/0 = ∞ - ∞

Una forma indeterminata che non ci dice proprio niente! Meglio trovare un’altra strada e provare a usare -magari- un bel trucco matematico, ricordando che, a volte, quando sembra di complicare un qualcosa, alla fine si semplifica…

Ad esempio, sappiamo benissimo che aggiungendo e togliendo una certa quantità a un’espressione il risultato non cambia. In  pratica, a + b = a + b + c – c. Noi aggiungiamo e togliamo qualcosa di più “corposo”: nientemeno che f(x)g(x+h)

y’ = lim _h→0 (f(x+h)g(x+h) – f(x)g(x) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x+h))/h

Un bel pasticcio? No, nemmeno per sogno, perché adesso possiamo mettere insieme qualcosa di veramente interessante, spezzando in due l’espressione e ricordando, come prima, che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti:

y’ = lim _h→0 (f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h))/h + lim _h→0 (f(x)g(x+h) – f(x)g(x))/h

Nel primo limite mettiamo in evidenza g(x+h) e nel secondo f(x) e otteniamo:

y’ = lim _h→0 g (x+h)(f(x+h) – f(x))/h + lim _h→0 f(x)(g(x+h) – g(x))/h

In entrambi i due limiti compare un prodotto e, quindi, possiamo ricordare che il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti e scrivere:

y’ =  lim _h→0 g(x+h) lim _h→0 (f(x+h) – f(x))/h + lim _h→0 f(x) lim _h→0 (g(x+h) – g(x))/h

Finalmente. Adesso possiamo passare al limite per h che tende a zero. Otteniamo:

y’ = g(x) f ’(x) + f(x) g’(x)

Magnifico… abbiamo risolto il nostro problema! Non commento l’ultimo passaggio, ma lo lascio a voi come piccolo esercizio.

Possiamo concludere che la derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda più la derivata della seconda funzione moltiplicata per la prima. Riscriviamola ancora, mettendola un po’ in ordine:

y’ = f ’(x)g(x) + f(x)g’(x)

Sì, lo so, il risultato sembra un po’ complicato, ma questa è la realtà delle cose e bisogna accettarla. Ripassatela un po’ e alla fine vi rimarrà impressa nella mente. Direi che sarebbe assurdo ricavarsela ogni volta…

Il discorso è perfino più complicato per la derivata del rapporto di due funzioni. Si debba calcolare la derivata di:

y = f(x)/g(x)

Eseguiamo il solito rapporto incrementale:

y’ = lim _h→0 (f(x+h)/g(x+h) – f(x)/g(x))/h

Ovviamente se passassimo subito al limite otterremmo di nuovo una forma indeterminata e quindi è meglio cominciare a pasticciare un po’ la formula e poi utilizzare un nuovo trucchetto. Faccio prima il minimo comune multiplo in modo da compattare l’espressione:

y’ = lim _h→0 (g(x)f(x+h) – f(x)g(x+h))/(g(x+h)g(x) h)

Ricordando che  1/a/b = 1/ab in quanto 1/a/b = 1/a/b/1 = (1/a)(1/b) = 1/ab

Adesso, aggiungo e tolgo il fattore f(x)g(x) al numeratore:

y’ = lim _h→0 (g(x)f(x+h) – f(x)g(x+h) + f(x)g(x) – f(x)g(x))/(g(x+h)g(x)h)

Metto in evidenza i termini g(x) e –f(x) e distribuisco h al denominatore di entrambi i “pezzi”

y’ = lim _h→0 ((g(x)(f(x+h) – f(x))/h – f(x)(g(x+h) – g(x))/h)/g(x+h)g(x)

Ora, ricordiamo, come sempre, che il limite di una differenza è la differenza dei limiti, che il limite di un rapporto è il rapporto dei limiti e che il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti:

y’ = (lim _h→0 g(x) lim _h→0 (f(x+h) – f(x))/h – lim _h→0 f(x) lim _h→0 ((g(x+h) – g(x))/h)/(lim _h→0  g(x+h)g(x))

Finalmente possiamo passare al limiti per h che tende a 0, ottenendo:

y’ = (g(x)f ’(x) – f(x)g’(x))/g(x)g(x) = (g(x)f ’(x) – f(x)g’(x))/g(x)²

Riordinando, infine:

y’ = f ’(x)g(x) – f(x)g’(x)/g(x)²

A parole: la derivata del rapporto di due funzioni è uguale alla derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda funzione meno la prima funzione moltiplicata per la derivata della seconda, il tutto diviso per il quadrato della seconda funzione. Sì, è una bella “tiritera” che è sicuramente molto meglio memorizzare attraverso la formula matematica che attraverso la definizione a parole. Purtroppo, anche questa va imparata bene una volta per tutte.

Molto più semplice e immediato è il calcolo della derivata di una costante moltiplicata per una funzione. Ossia:

y = c f(x)

Applicando la regola della derivata del prodotto, abbiamo:

y’ = c’ f(x) + c f ’(x)

Ma la derivata di una costante è per definizione zero, dato che non dipende da x (il suo rapporto incrementale va a zero prima ancora di passare al limite). Ne segue che:

y’ = c f ’(x)

A parole, si scrive che la derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale alla costante moltiplicata per la derivata della funzione.

Non buttate via la memoria, però, dato che la prossima volta scriveremo una tabella con tutte le derivate delle funzioni che abbiamo imparato a conoscere. Anche queste vanno ricordate a memoria per non dovere tutte le volte costruirsi il rapporto incrementale. Le discuteremo, comunque, una alla volta.

Su, non prendetevela, avete fatto un bel ripasso di varie operazioni pubblicate precedentemente… Le derivate meritano qualche sforzo in più…

Non posso darvi esercizi da fare… dato che per fare la derivata di un prodotto o di un rapporto di funzioni dovremmo conoscere già le derivate di altre funzioni che non siano monomi. Infatti, se moltiplicassi due monomi otterrei un nuovo monomio… e non il prodotto di due funzioni. E’ necessario, prima, conoscere le derivate di altre funzioni e poi saremo in grado di pasticciare quanto vorremo…

 

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