QUI, QUI, QUI, QUI  e QUI gli articoli riguardanti il paradosso delle astronavi di Bell che precedono questo

 

Quest’articolo è soprattutto dedicato alla traduzione di un articolo di Flores che riesce a descrivere la soluzione proposta dallo stesso Bell, utilizzando soltanto diagrammi spaziotemporali sia nel sistema di riferimento in moto che in quello in quiete. Si eliminano trattazioni di livello superiore, relative ai moti iperbolici e alle accelerazioni proprie. La conclusione è la rottura della corda per lo stesso motivo fisico. Pur ammettendo che il problema possa ammettere ancora possibili alternative e sia soggetto a critiche più o meno aleatorie, la mia fiducia in Bell è praticamente assoluto. Poi, ognuno, può scegliere la via che preferisce.

Ci sono varie strade per affrontare e per descrivere la relatività ristretta. Molte di queste sono più legate alla filosofia della Scienza piuttosto che alla Scienza stessa. La RR (relatività ristretta) è una rappresentazione della realtà o è proprio la realtà? L’esempio del muone sembrerebbe propendere per la seconda risposta. Inoltre, sembrerebbe che vi siano diverse realtà, che, probabilmente possono unificarsi solo e soltanto attraverso la comprensione di uno spaziotempo quadrimensionale. Troppo spesso, forse, si continua a separare la descrizione tridimensionale da quella temporale. Il che potrebbe portare a visioni distorte della vera realtà dell’Universo.

Aggiungiamo, inoltre, che l’introduzione di un’accelerazione non comporta immediatamente il passaggio da RR a RG (relatività generale). Senza la presenza di una massa che curvi effettivamente lo spaziotempo, un’accelerazione può sempre essere pensata come una serie di infinitesimi cambiamenti di velocità, trattabili ognuno con la RR. Proprio questa variazione continua può dar ragione di molti paradossi che ancora restano nell’ambito della RR. Sicuramente, tra questi, vi è il celebre e controverso paradosso delle astronavi di Bell.

Prima di iniziare la traduzione dell’ottimo lavoro di Flores, vorrei riassumere brevemente quanto avevo cercato di fare finora. Il paradosso fa uso di un’accelerazione continua, la quale però, nel caso del sistema di riferimento in quiete, non comporta nessuna apparente variazione rispetto al caso di una velocità costante. Dato che proprio la contrazione della corda e la non contrazione della distanza tra le astronavi assurge a punto veramente critico delle nostre discussioni (ma anche delle prime reazioni professionali al paradosso), avevo proposto una semplificazione valida solo per il sistema in quiete (corda applicata “al volo”). Se da un  lato questo esempio illustra bene il problema della contrazione univoca, crea, però, un salto brutale nell’applicare alla corda una velocità v a partire dallo stato di riposo. Un qualcosa di “irrealistico”, anche se istruttivo. Tornando al paradosso originario, la faccenda si complica leggermente, ma mette in luce una trattazione ben più “realistica” della contrazione relativistica.

 

Traduzione dell’articolo “Bell’s spaceships: a useful relativistic paradox”(Le astronavi di Bell: un utile paradosso relativistico) di Francisco J. Flores (Università della California).

Di tanto in tanto ho aggiunto qualche nota personale per una migliore (spero) chiarezza o per rimandare a link presenti nel nostro archivio degli approfondimenti.

Il paradosso delle astronavi è particolarmente utile per gli studenti perché, pur considerando moti accelerati, può essere risolto con la semplice relatività ristretta e con l’utilizzo di facili diagrammi spaziotemporali. Inoltre, esso pone perfettamente in luce i problemi della relatività della simultaneità, della lunghezza propria e della “realtà” della contrazione di Lorentz.

Il paradosso

Bell propone di considerare tre astronavi, A, B e C, che vagano nello spazio privo di qualsiasi tipo di materia (niente attrazione gravitazionale). Le tre astronavi sono inizialmente in quiete, con B e C perfettamente equidistanti da A. Non appena B e C ricevono un segnale luminoso da A, esse cominciano ad accelerare “delicatamente”. Si assume che esse siano identiche, sotto tutti gli aspetti rilevanti per la trattazione, e che la programmazione delle accelerazioni che subiscono sia la stessa per entrambe.

Supponiamo di stendere una corda tra B e C (in due punti perfettamente equivalenti delle due astronavi), tale che essa sia esattamente uguale alla distanza tra i due punti delle astronavi, prima di essere messe in moto. L’apparente paradosso si riferisce al problema della rottura della corda.

Poiché B e C, e perciò anche la corda, iniziano a muoversi rispetto ad A, la lunghezza della corda dovrebbe accorciarsi a causa della contrazione di Lorentz. La corda, perciò dovrebbe rompersi. Tuttavia, un osservatore O_A di A non può che concludere che la distanza tra B e C deve rimanere costante, dato che esse si muovono con la stessa accelerazione, ossia hanno la stessa velocità, istante per istante (RG trattata come RR). Questo fatto sembrerebbe dimostrare che la corda non si dovrebbe rompere.

La soluzione di Bell dice: “Come i razzi cambiano velocità, la corda diventa troppo corta, poiché deve continuamente contrarsi per effetto del fattore di Fitzgerald-Lorentz, fino a che sarà costretta a rompersi. Essa deve rompersi quando, per una velocità sufficientemente alta, la prevenzione artificiale della contrazione naturale (il legame con i razzi) impone stress intollerabili.”

Notiamo i due elementi didattici del paradosso. (1) Si vuole dimostrare che la corda si rompe, mentre non lo farebbe mai nello spazio newtoniano: una lezione già di per sé. (2) Si vuole dimostrare PERCHE’ la corda si rompe. E’ a questo punto che ci stacchiamo dalla strada seguita da Bell, in quanto la sua sottile spiegazione richiederebbe una buona familiarità con l’elettrodinamica relativistica, le integrazioni numeriche e varie importanti assunzioni sulla costituzione della materia.

Soluzione del paradosso

Si può dimostrare che, utilizzando solo diagrammi spaziotemporali elementari, le tre seguenti asserzioni sono VERE:

(1) L’osservatore O_B di B e l’osservatore O_C di C, concludono entrambi che la corda deve rompersi poiché: (a) O_C misura che B rimane sempre più indietro; (b) OB misura che C si trova sempre più avanti.

(2) La distanza tra le due astronavi B e C, misurate da O_A non cambia.

(3) O_A conclude che la corda si deve rompere.

Nota: la prima asserzione si riferisce al sistema in moto con le astronavi, la seconda e la terza al sistema in quiete.

Per tracciare i diagrammi spaziotemporali necessari, si devono fare tre assunzioni. Innanzitutto, vengono soppresse due dimensioni spaziali e, poi, si considerano puntiformi le due astronavi (Nota: la loro eventuale contrazione è del tutto inutile).

Chiamiamo, perciò, A, B e C le linee di universo relative a questi tre punti. Infine, interpretiamo l’ipotesi di Bell relativa a “identici programmi di accelerazione” come condizioni essenziale per dire che le linee di universo di B e C  sono traiettorie spaziotemporali PARALLELE ma NON INERZIALI.

Per esempio, nel sistema di riferimento in quiete, la linea di universo di C è perfettamente uguale a quella di B, ma è spostata verso le x crescenti di una quantità costante Δx.

Tutte le nostre costruzioni iniziano dal diagramma base di Fig. 1a, che rappresenta le linee di universo B e C, l’evento a in cui il segnale luminoso viene emesso da A, e gli eventi b e c relativi alla ricezione del segnale da B e C.

La nostra dimostrazione abbisogna spesso anche del tracciamento degli assi di un sistema inerziale K’, relativo a una particella la cui linea di universo è una linea di universo non inerziale (vedi Fig. 1b). Sia W un’arbitraria linea di universo non inerziale e sia p un evento che le appartiene. Sia v_p il vettore tangente alla linea, che corrisponde alla velocità istantanea. L’asse t’ coincide, ovviamente, con la direzione di v_p. L’asse x’ è l’asse di simultaneità di p. Per costruirlo facilmente, disegniamo il cono di luce L in p e misuriamo l’angolo θ tra v_p ed L, e tracciamo una retta che passi per p e che sottenda un angolo  θ rispetto a l, ma dall’altro lato. Questa linea è l’insieme degli eventi che sono simultanei con p, per un osservatore che si muova con velocità istantanea v_p.

Mostriamo che l’asserzione (1) è VERA tracciando il diagramma spaziotemporale, dimostrando sia l’asserzione (1a) che (1b). Occupiamoci di (1a), partendo sempre dal diagramma di base di Fig.1a. Scegliamo un punto qualsiasi p di C e tracciamone il vettore tangente v_p, come mostrato in Fig. 2a.

Tracciamo, ora, la linea di simultaneità relativa a p (Nota: come detto prima e come ben sappiamo dalle nostre lezioni sul diagramma di Minkowski) e il vettore tangente v_q nel punto q dove la linea di simultaneità di p interseca la linea di universo B. Si nota subito che v_q NON E’ PARALLELO a v_p. In altre parole, O_C giudica che in quell’ISTANTE la velocità di B sia minore di quella di C. Muovendosi lungo C, ossia facendo trascorrere il tempo proprio di O_C, la linea di simultaneità del sistema inerziale in movimento si inclina ancora di più verso L, aumentando la differenza di velocità tra C e B. Ne segue che C giudica che B stia andando sempre più indietro, lontano da lui.

Basta ora usare un procedimento analogo per l’osservatore O_B e si dimostra anche l’asserzione (1b). Si sceglie un punto arbitrario s su B, si costruisce la relativa linea di simultaneità, si trova il punto di intersezione r di questa linea con C e si confrontano v_s e v_r. In questo caso è immediato concludere che O_B vede allontanarsi in avanti il corrispondente punto di C (Fig. 2b).

In entrambi i casi la corda si rompe a causa dello stress causatole dall’aumento della distanza tra le due astronavi, accertate da entrambe le astronavi.

Nota: la parte appena svolta è quella su cui ho sempre sorvolato, dato che la ritenevo la più ovvia e facile da comprendere.

Passiamo ora alle asserzioni (2) e (3).

Nota: teoricamente sembrerebbero le più facili, trattando il tutto da un sistema in quiete. In realtà, è così da un punto di vista “matematico”, ma, nel contempo, aprono le maggiori discordie da un punto di vista fisico. Quanto detto finora, infatti, non sembra ledere né la RR né la fisica dei materiali: una corda si rompe perché tirata sempre di più dai suoi due capi.

Iniziamo con il trasferire l’origine degli assi x e t, del sistema in quiete K, in modo tale da avere le due astronavi B e C lungo l’asse x. Prima della partenza le due astronavi corrispondono agli eventi b e c, come mostrato nella Fig. 3.

Scegliamo un punto arbitrario j su B e costruiamo la linea di simultaneità dell’osservatore in quiete O_A che, ovviamente, è parallela a x. Tracciamo i vettori tangenti v_j e v_k, corrispondenti agli eventi j e k, in cui la linea di simultaneità di O_A interseca le due linee di universo B e C. Si nota, immediatamente, che v_j e v_k sono paralleli. OA non può che giudicare che le due astronavi abbiano la stessa velocità in ogni istante. Di conseguenza, la loro distanza deve rimanere costante, durante tutta l’accelerazione e non solo, se misurata in K. (Nota: questo risultato è equivalente al dire che lo spazio tra le due astronavi non si contrae dato che appartiene a K, in quiete). L’asserzione (2) è dimostrata… ma, allora, perché la corda si rompe anche per O_A?

O_A ragiona in questo modo:

“La corda tesa copre esattamente la distanza tra B e C al tempo t = 0. Da quel momento in poi, la corda si muove in modo non inerziale, passando da un sistema “governato”* dal fattore di Lorentz a un altro, in cui ogni sistema successivo ha un valore più alto del fattore γ, che è funzione della velocità. (*Nota: nel lavoro originario si parla di “boosted-Lorentz frame”; boosted può essere tradotto come: una rappresentazione lineare che passa da un sistema di riferimento a un altro, nel quale ogni coordinata è aumentata o diminuita di un certo fattore. Un “boost” corrisponde a uno spostamento dell’intero sistema di coordinate senza alcuna rotazione degli assi).

Questa continua contrazione istantanea comporta un tensione nella corda. Per poterla mantenere costante sarebbe necessario che la distanza tra le due astronavi diminuisse continuamente. Tuttavia, questo non può succedere in K e, di conseguenza, le due astronavi esercitano sulla corda una certa forza crescente, fino a portarla alla rottura. Anche la (3) è dimostrata.

Nota: qualche parola in più su questa parte fondamentale… Non si parla di contrazione immediata, ma di una continua contrazione in un moto non inerziale, che permette l’introduzione di una forza che si oppone alla tensione della corda creata dalla contrazione istantanea. Questa è la parte sicuramente più delicata, che Bell tratta in modo estremamente complesso e dettagliato nel la suo lavoro originario. Nell’esempio semplificato che avevo proposto io si ammetteva “brutalmente” una contrazione immediata, dato che si ragionava solo con sistemi inerziali.

Tuttavia, Flores aggiunge una trattazione supplementare, estremamente interessante, anche se leggermente più complicata, che semplifica il tutto.

Possiamo costruire la linea di universo C* (in modo approssimativo), che l’astronave C dovrebbe percorrere per non rompere la corda, senza cambiare la linea di universo di B. Per poterlo fare, la distanza tra B e C deve rimanere costante nei successivi sistemi inerziali istantanei. Per costruire C*, per qualsiasi evento p_i di B, si deve disegnare il sistema inerziale istantaneo K’, calibrare l’asse x’ e trovare l’evento r_i, dove il capo superiore della corda dovrebbe trovarsi per non vedere aumentare la sua lunghezza. Dobbiamo tracciare una curva passante per gli eventi r_i in modo da dare senso a C*. Confrontando C* con C, risulta chiaro che, se l’astronave seguisse C, causerebbe uno stiramento della corda che porterebbe alla sua rottura.

Entriamo nei dettagli della costruzione, in Fig. 4.

Cominciamo, come sempre, dal diagramma di base (Fig. 1a). In Fig. 4a disegniamo il cono di luce L nell’origine di K. Tracciamo, inoltre, l’iperbole H di calibrazione (vedi QUI) definita dall’invariante x² – t² = s², dove s è la lunghezza della corda.  Chiamiamo l’origine p_i e l’intersezione di H con l’asse delle x, q_i, in modo da anticipare il fatto che riproponiamo lo schema su tutto il diagramma di Fig. 4b, sia per il cono di luce che per l’iperbole (linee rosse). Imponendo che p_i appartenga sempre a B, il corrispondente q_i deve descrivere la curva C.

Il procedimento da seguire è piuttosto semplice. Per ogni p_i, si disegna l’asse t’ (tangente alla curva B) e l’asse x’ di K’ (sistema inerziale istantaneo). L’intersezione di H con x’ viene chiamata r_i. Poiché H è un INVARIANTE, dobbiamo avere x’² – t’² = s². (Nota: l’iperbole non è altro che il luogo dei punti per il quale la distanza si mantiene al variare della velocità). Ne consegue che r_i non è altro che l’estremo che la corda dovrebbe avere per mantenere una lunghezza costante s. La curva C* sarebbe proprio quella da seguire per passare per tutti gli eventi r_i, capaci di mantenere costante la lunghezza del corda.

Infine, in Fig. 5, si possono disegnare le linee di simultaneità in K, che illustrano molto bene come per mantenere costante la lunghezza della corda, le astronavi devono muoversi in modo da diminuire costantemente la loro distanza, misurata in K.

Nota: Trovo questa trattazione (nell’impossibilità di seguire passo dopo passo quella di Bell) veramente geniale per dimostrare “per assurdo” che se l’astronave C mantenesse la stessa accelerazione di B, la corda dovrebbe per forza rompersi per la tensione! Anzi, io avrei direttamente affrontato la (3), introducendo subito la costruzione di C*. In poche parole, avrei detto: “Immaginiamo che la corda, malgrado le variazioni continue di velocità, si mantenga tesa senza alcuna tensione. Bene, perché questo succeda devo costruire, punto per punto, la distanza di una corda teorica di lunghezza costante. Questo si può fare facilmente utilizzando l’iperbole di calibrazione, punto per punto. Costruita la curva C* adatta allo scopo, si vedrebbe subito che non coincide con C e che deve costantemente avvicinarsi a quella di B. Ne segue che imponendo B e C come curve di base, la corda deve rompersi anche per il sistema in quiete”.

Le astronavi di Bell: pedagogia

Il valore pedagogico della distruzione del paradosso di Bell, attraverso semplici diagrammi spaziotemporali, sembra più che chiaro. Innanzitutto, perché gli studenti alle prime armi dovrebbero proprio limitarsi ai diagrammi. Inoltre, questo approccio non introduce assolutamente concetti più complicati come le nozioni di accelerazione propria, moto iperbolico e moto rigido. Solo entrando più a fondo nei problemi relativistici superiori è possibile ottenere direttamente una soluzione analitica di C*, assumendo, in particolare, un’accelerazione propria costante. Infine, questo approccio riesce, come voleva Bell, enfatizzare il fatto che, nella relatività, le leggi della fisica devono essere le stesse in tutti i sistemi inerziali. Infatti, tutti i sistemi inerziali coinvolti sono d’accordo sul fatto che la corda si deve rompere a seguito di una certa tensione.

Bibliografia: Bell J S 1993, How to teach special relativity Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge: Cambridge University Press) pp 67–80 (link).

 

Grazie Bell e grazie Flores per questa splendida lezione relativistica. Come studenti volenterosi vi siamo profondamente grati! Inoltre, ancora una volta, abbiamo capito che la semplicità vince sempre!