Il quiz era già stato risolto con parole semplici e, in seguito, rappresentato col diagramma di Minkowski da un paio di volenterosi (Fabrizio e Fiore). Non faccio altro che ripetere in modo coinciso il digramma di Minkowski relativo al caso in esame.

Il paradosso è un classico della relatività ristretta, in quanto pone perfettamente in evidenza la relatività della simultaneità. Ciò che deve capitare in entrambi i sistemi di riferimento è l’apertura e chiusura del portone anteriore così come quelle del portone posteriore. Non è affatto richiesto dalla RR che ciò che avviene simultaneamente in un sistema inerziale (macchina chiusa nel garage) debba avvenire simultaneamente anche nell’altro sistema.

Le possibilità della successione degli eventi possono variare a seconda delle lunghezze scelte, ma il concetto di base non cambia. Continuiamo allora con il caso illustrato fin dall’inizio.

Portiamoci nel sistema di riferimento del garage, immaginato in quiete. Il garage descrive, perciò, una striscia perpendicolare all’asse delle x, che è la sua striscia di universo in questo sistema di riferimento (Fig. 1). L’importanza di questa striscia è grande, in quanto ci permette di lasciarlo invariato in ogni altro sistema. Ciò che cambia è la linea di simultaneità che varia a seconda della velocità impressa alla macchina. Ogni sistema “vede” una certa sezione della striscia composta da eventi diversi. In altre parole, la nostra striscia-muro è l’insieme di tutti gli eventi relativi ai vari sistemi. Tra poco ne vedremo l’utilizzo immediato.

Nel sistema del garage è immediato ottenere la lunghezza ridotta della macchina (attraverso l’iperbole di calibrazione) e tracciare la linea che corrisponde a una certa velocità. In questo sistema il garage mostra la sua lunghezza propria che è data dalla sezione della sua striscia di universo (rosa) lungo l’asse delle x. La macchina in movimento sarà determinata dalla sua lunghezza ridotta lungo l’asse x e descrive la  striscia inclinata (azzurra). Per come sono stati scelti i parametri la sequela degli eventi è data da: a, entrata macchina nel garage;  b e c simultanei, chiusura e apertura di entrambi i portoni; d, uscita macchina dal garage.

Notiamo come la simultaneità di b e c sia un caso peculiare. Se la macchina si fosse “contratta” ancora di più, avrebbe avuto più tempo per restare all’interno del garage e l’evento (c), chiusura e apertura portone anteriore, anticiperebbe l’evento (b), chiusura e apertura portone posteriore. Tuttavia, Pappo ha scelto il caso limite per fare più “scena” col fratello…

Le linee nere di Fig. 1 riportano quanto detto finora (sistema di riferimento del garage).

Portiamoci, adesso, nel sistema in moto con la macchina (linee rosse). L’asse t’ è già stato tracciato e coincide con la linea che definisce la velocità della macchina. L’asse x’ è costruito facilmente ribaltando l’asse t’ rispetto al cono di luce (velocità della luce). La macchina che è adesso in quiete nel sistema (x’, t’) mantiene la sua lunghezza propria, sicuramente maggiore di quella del garage da fermo e, a maggior ragione, di quella del garage contratto.

Qual è la sezione del garage contratto? Presto detto la sezione della sua striscia di universo lungo l’asse x’. Non fatevi ingannare dalle apparenze! Essa sembra più lunga di quella del garage in quiete, ma non è vero, dato che siamo su un sistema diverso. Basterebbe costruire nuovamente l’iperbole di calibrazione per vedere come questa sezione sia veramente contratta.

Non ci resta allora che far muovere la nostra macchina verso destra (Attenzione! In realtà dovremmo far muovere la striscia del garage verso sinistra, ma il risultato sarebbe del tutto identico). Si riconoscono nuovamente gli eventi che ci interessano: a,b,c,d. Tuttavia, essi si riferiscono a tempi t’ diversi e separati. Prima abbiamo (a) con la parte anteriore della macchina che entra nel garage, poi (b) in cui la parte anteriore fa chiudere ed aprire il portone posteriore, poi (c) in cui, finalmente, la parte posteriore della macchina entra nel garage, mentre quella anteriore è giù uscita. Infine abbiamo (d) in cui tutta la macchina esce dal garage.

La macchina non sarà mai racchiusa completamente nel garage, ma la simmetria della RR è perfettamente conservata dato che gli eventi si ripetono, a parte una diversa simultaneità (del tutto ammessa dalla RR). Notiamo che la striscia azzurra della macchina è anch’essa una striscia di universo, riportata però a un sistema che non  è (x,t), ma (x’,t’). Rispetto a tale sistema la traccia parallela a x risulta, ovviamente, ristretta.

Non ho voluto essere troppo didattico, proprio per invogliare, chi ne avesse bisogno, a fare un bel ripasso della RR e del diagramma di Minkowski (vedi approfondimenti). Dicono che siano perfetti per darsi una bella “rinfrescata” in questo periodo piuttosto caldo…

Avrei voluto anche andare un po’ oltre e chiudere ermeticamente il portone posteriore del garage. Ne verrebbe fuori qualcosa di molto simile al quiz del bacherozzo (facilitato, però). Chi ha voglia di pensarci lo faccia pure, ma non discutiamone sul blog. Al limite ne riparleremo a ottobre…

P.S.: L’introduzione semplicistica di striscia di universo, porta a una conclusione non così banale come sembra e può far pensare parecchio…

Se la sezione che viene individuata nei vari sistemi forma effettivamente un oggetto, possiamo concludere che osservatori differenti, in moto relativo tra loro, osservano veramente oggetti DIVERSI.

Un’apparente banalità che innesca decine e decine di discussioni ad alto livello… Gli esami sulla RR non finiscono mai, soprattutto ricordando che siamo immersi in uno spaziotempo a 4 dimensioni.