Categorie: Relatività
Tags: contrazione garage macchina paradossi relativistici portone bloccato quiz relatività ristretta soluzione
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:19
Soluzione del garage con portone posteriore bloccato ** (con correzione)
Arturo ha già pienamente risposto a questo paradosso, ma noi vogliamo aggiungere il diagramma di Minkowski relativo e qualche considerazione sul paradosso in sé.
Il problema, in poche parole, è il seguente: chiudiamo ermeticamente il portone posteriore. Quando la macchina è tutta dentro al garage possiamo anche chiudere ermeticamente il portone anteriore.
Nessun problema nel sistema di riferimento del garage, come abbiamo visto nella Fig. 1 del paradosso precedente (QUI). La macchia si troverà sicuramente in quelle condizioni.
Più "maligno" è il caso in cui il sistema di riferimento della macchina. Utilizziamo nuovamente la Fig. 1, ma bloccando il portone posteriore. Al tempo t'b la parte anteriore della macchina urta contro il portone posteriore chiuso e non proseguire.
Tuttavia, la parte posteriore della macchina non sa ancora che la sua parte anteriore è stata bloccata e deve quindi aspettare il segnale di stop che si trasmette dal punto dell'urto verso il resto della macchina che sta ancora viaggiando. Per veloce che vada l'informazione non può superare la velocità della luce e, quindi, non è difficile disegnare la traiettoria di questa informazione (linea verde) in Fig. 2, fino all'incontro con l'ultimo punto della macchina. In quell'istante, t'f , tutta la macchina può fermarsi e risulta abbondantemente all'interno del garage e la macchina, essendo ferma, risulta essere nel sistema del garage (lo è diventata punto a punto a mano a mano che l'informazione arriva a dare lo stop). Si può chiudere tranquillamente anche il portone anteriore. Si nota molto bene come la macchina si sia notevolmente contratta (AB), ma in modo che più fisico di così non si può...
Cosa succede alla parte tratteggiata all'interno del triangolo verde? Tutto dipende da che composizione fisica diamo alla macchina... se è elastica si schiaccia per poi tornare alle dimensioni iniziali (e sfondare il portone anteriore, come fa anche nel caso in cui tutto è visto dal sistema del garage), altrimenti potrebbe sgretolarsi in mille pezzi. Ma questo, nell'esperimento mentale, poco importa...
Paradosso risolto, ma... siamo nelle condizioni del paradosso dei gemelli (quello era di tipo temporale, questo di tipo spaziale). Entrambi i sistemi di riferimento sono costretti ad ammettere che la macchina risulta sempre più corta del garage, così come nel paradosso dei gemelli, il gemello viaggiatore risultava effettivamente il più giovane. La faccenda si risolve concettualmente in fretta, ricordando che sia per i gemelli che per il portone inamovibile è necessario introdurre una accelerazione e/o decelerazione, trattabile, comunque, con la sola RR.
Non è difficile notare l'estrema somiglianza con il paradosso di Rindler. In quel caso si assumeva un tempo di inizio caduta in un sistema di riferimento, da cui risultava un tempo diverso per il sistema in moto, che comportava una caduta continua. Nel caso trattato qui, abbiamo nuovamente un tempo diverso e la possibilità di fare "contrarre" la macchina che risulta troppo lunga. In entrambi i casi, ciò che deve essere tenuto in conto è la relatività della simultaneità, il vero punto focale di tutta la RR. Tutto il resto è solo una sua conseguenza...
Non chiedetemi cosa succeda dopo che le macchine sono state bloccate... sfondamento del portone anteriore? esplosione? accartocciamento? Tutto dipende dal modello fisico che adottiamo per la nostra macchina.
Piccola provocazione su un argomento che discuteremo tra breve in un articolo dedicato. Ammettiamo che la contrazione relativistica sia solo "apparente"... Come spiegarsi, allora, i danni subiti dalla macchina quando riprende le sue dimensioni in quiete?
19 commenti
Visto dal riferimento della macchina è il garage in movimento che si allunga fino a contenere tutta la macchina
Siamo comunque in presenza di due tipi di allungamenti .
Uno dovuto alla contrazione di Lorentz generato dal moto relativo tra macchina e garage
e uno dovuto al tempo necessario all'informazione per andare da un punto all'altro
infatti se si fanno i calcoli ammettendo un γ pari a due si vede che la lunghezza della macchina
quando è dentro al garage e pari a 1/4 della sua lunghezza propria
la stessa cosa che capita nei gemelli... uno cambia sistema di riferimento durante il viaggio e/o subisce accelerazioni e decelerazioni.
Caro Enzo, vorrei provare a fare una piccola considerazione e mi piacerebbe capire se può essere ritenuta valida.
Provo a scomporre il quiz in due fenomeni diversi.
Tale fenomeno riguarda entrambi i sistemi di riferimento (per uno sono le particelle della macchina che si fermano in sequenza, per l'altro sono le particelle del garage che si arrestano in sequenza... la velocità è la stessa, cambia solo il segno).
Se ciò è corretto ne segue che alla fine del processo la macchina risulterà accartocciata della stessa quantità e della medesima lunghezza (ora la macchina si trova nello stesso sistema di riferimento del garage per cui la misura delle lunghezze è la stessa).
Ovviamente in base alla velocità scelta, alla lunghezza della macchina (da ferma) e del garage, al materiale che compone la macchina, l'accartocciamento finale può risultare sufficiente per contenere la macchina, oppure insufficiente (per quanto accartocciata risulta più lunga del garage) con conseguente sfondamento della porta anteriore del garage.
Sbaglio?
Paolo
se ho capito bene, Paolo, il punto è che che non trattiamo cosa succede dopo che la macchina si è fermata e quindi riprende la lunghezza originaria. Ciò che trattiamo è ciò che succede fino a che almeno una parte della macchina è in moto. In un caso si ha un azione simultanea di chiusura, nell'altro un intervallo di tempo in cui la macchina deve continuare a viaggiare prima di ricevere l'ordine di fermata (nel frattempo il portone posteriore si è chiuso anche se in un tempo successivo). Ciò che si vede è che in entrambi i casi la macchina viene contenuta (compressa o no) all'interno del garage. Poi succeda quello che deve succedere...). Dato che ciò succede anche nel sistema di riferimento della macchina, qualcuno prende tutto ciò come esempio di un vero effetto fisico della contrazione, così come il gemello viaggiatore è realmente più giovane per colpa delle leggi della RR.
Fiore mi ha mandato questo articolo, che vede le cose in un modo leggermente diverso... tanto per cambiare. In attesa di una sua traduzione, eccovi il link
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2017/08/WeeleSnoeijerMaribor2005.dvi_.pdf
Vorrei fare un osservazione sulla resistenza dell'auto\asta. Per non confondere il paradosso relativistico con l'accorciamento che fisicamente avviene sempre, come giustamente diceva Arturo nel primo commento al quiz, io prenderei un' asta con una rigidità infinita a riposo. Fisicamente qualsiasi oggetto si deforma e si accorcia se va a sbattere contro un muro di resistenza infinita, anche senza relatività. Se l'asta rigida ha una resistenza infinita questo non succede. Nel caso dell'asta in movimento contratta, essa entra completamente nel garage e poi si ferma. Fermandosi non esiste più la contrazione di Lorentz (è in quiete) e quindi riprende le sue dimensioni a riposo(Lo) e sfonda la porta anteriore se è stata chiusa. Come sappiamo se il garage è in movimento è contratto l'asta non può essere contenuta, però quando l'asta arriva al muro il ritardo dovuto alla propagazione dell'onda di shock fa sì che entri anche la coda. Una volta che l'onda di shock raggiunge la coda, l'asta riprende le sue dimensioni a riposo. anche in questo caso, se la porta anteriore è stata chiusa la sfonda.In entrambi i due i casi, a giochi fatti l'asta sfonda la porta; ma come fa la perdita di contrazione nel primo caso ad essere la causa dello sfondamento della porta? e' questo che volevi dire? Un sorta di energia accumulata da una contrazione fisica reale, come una molla? Nel secondo caso invece il fenomeno è più comprensibile
Scusa Enzo non mi è chiaro cosa intendi con la macchina viene contenuta in entrambi i casi (compressa o no)?
Ciò che non mi è chiaro è quel compressa o no…
Provo a spiegare il mio dubbio.
Se il portone posteriore del garage è ermeticamente chiuso, la macchina è costretta a fermarsi.
Visto dal sistema in quiete la macchina al tempo tb = tc si trova interamente all’interno del garage (la lunghezza dell’auto è contratta), ed il lato anteriore della macchina si trova a ridosso del portone ermeticamente chiuso.
Visto dal sistema in “movimento” al tempo t’b (t’b < t’c) la parte anteriore della macchina si ferma davanti al portone chiuso del garage…
Dunque il lato anteriore dell’auto (B) è fermo davanti al portone posteriore del garage, mentre il resto è ancora in movimento e serve un certo tempo all’informazione di arresto per raggiungere la coda dell’auto (A).
Guardando la figura 2, il segmento AB è più corto del garage contratto (visto dal sistema solidale con l’auto), ma A rappresenta il lato posteriore dell’auto quando l’informazione di arresto arriva anche lì e B il lato anteriore fermo davanti al portone del garage.
A me pare, ma magari mi sbaglio, che l’auto risulta per forza compressa (se non ci fosse il portone del garage chiuso, la parte anteriore dell’auto, ossia B, sarebbe ben oltre il portone)….
Volendo si potrebbe tracciare anche la lunghezza dell’auto accartocciata (vista dal sistema in quiete) tirando una linea orizzontale che unisce A al portone posteriore del garage.
E’ forse sbagliato questo ragionamento?
Paolo
Infatti Paolo...
quello che tu consideri come soluzione finale (portoni aperti) è proprio il paradosso nella versione più semplice e trattata prima. La faccenda si rende più complicata inserendo un portone chiuso. Il paradosso, in questo caso è che, malgrado non vi sia simultaneità nei tempi, la macchina riesce a entrare comunque tutta nel garage. Un paradosso simile a quello dei due gemelli, dato che entrambi i sistemi vedono la macchina chiusa all'interno. Nel caso dei gemelli entrambi concordano sulla giovinezza del viaggiatore, qui sull'entrata della macchina. Ma, mentre uno vede giusto in ambito RR, l'altro vede lo stesso sfruttando accelerazioni e decelerazioni: la RR è violata!
Accidenti, ammetto che sulle prime non avevo capito che il portone posteriore del garage coincide con il davanti della macchina, nella mia insana logica mentale sarebbe il contrario, cioè pensavo che il portone posteriore fosse quello dietro alla macchina.
Comunque l’importante è capirci.
Invece c’è una cosa che non riesco proprio a capire, almeno guardando il diagramma non mi tornano certi conti.
Faccio una premessa: ma la macchina è un tutt’uno? O la devo considerare come tanti elementi separati (particelle/atomi), ognuna con un suo orologio distinto?
D'altronde tra particella e particella cosa c’è? Solo spazio, o no?
Quindi arriviamo a noi.
Dal diagramma mi sembra di capire che quando il davanti dell’auto si ferma (punto (b) ), il dietro continua nel suo moto fino al punto A (quando arriva l’informazione dell’arresto dell’auto).
Ma scusa allora diventano due sistemi di riferimento distinti? La stessa auto è in due sistemi distinti?
La parte davanti ferma diventa solidale con il sistema del garage, ma il dietro no, quindi l’orologio posto dietro scorre diversamente da quello davanti.
Dal grafico, se le scale sono giuste, mi sembra che l’orologio del posteriore dell’auto giri di più (da t’b fino al punto A) rispetto all’orologio posto davanti alla macchina (da (b) al punto B).
Ma allora quando anche il dietro è fermo, solo in quel istante non mi interessa quello che succederà dopo, ovvero quando il davanti e il dietro sono fermi ovvero sono nello stesso sistema di riferimento, l’orologio dietro segna un tempo maggiore?
Cioè se dietro ci fosse un gemello, diventa più vecchio? Ma anche ogni particella dell’auto invecchia rispetto il suo davanti?
Tra l’altro questo sarebbe compatibile con il discorso che in accelerazione l’orologio più in alto gira più velocemente di quello in basso.
Dov’è l’errore?
Bravo SIMONE!!!
Hai perfettamente ragione !!! Sono io che ho chiuso troppo in fretta il discorso disinteressandomi della parte di macchina che ha ricevuto il segnale... Poca concentrazione, ti ringrazio infinitamente. Questa sì che è collaborazione fattiva!
PER TUTTI: a seguito dell'appunto esatto di Simone ho cambiato la figura e ho aggiunto qualche parola in più...
Accidenti, sto proprio perdendo i colpi...grazie Simo!
Scusa se insisto, ma io trovo l’argomento meritevole di approfondimento.
Il diagramma mostra chiaramente cosa succede alla macchina quando entrambi gli estremi sono fermi all’istante t’f , poi quel che succede dopo non interessa.
Ovvero la misura A B (che adesso è rappresentata correttamente), è inferiore alla misura del garage.
Io vorrei capire invece cosa succede, ovvero cosa segnano gli orologi posti sulla macchina, quello davanti e quello dietro.
Guardando il diagramma sembra che quello dietro vada più avanti di quello davanti, ovvero all’istante che tutta la macchina è ferma, sembra che i due orologi non siano più sincronizzati.
E’ giusta questa considerazione?
caro Simone,
secondo me sì... a mano a mano che i punti della macchina vengono fermati essi appartengono al sistema in quiete. Quelli ancora in moto no... Qualsiasi linea venga tracciata sulla fascia di universo del garage è composta da eventi. La macchina è composta da eventi che hanno coordinata tempo diversa tra loro... la faccenda non mi sconvolge più di tanto... se consideriamo la macchina come un insieme di punti, anzi di eventi.
Tu dici:
“la faccenda non mi sconvolge più di tanto... se consideriamo la macchina come un insieme di punti, anzi di eventi.”
Ed hai ragione, ma ammetterai che la cosa è difficile da digerire.
Qui non stiamo parlando di due gemelli distinti che al ritorno del secondo, questo risulta essere più giovane rispetto al primo (paradosso dei gemelli).
E non stiamo neanche parlando di diversi sistemi di riferimento, con dilatazioni temporali e contrazioni di lunghezza che inevitabilmente ci portano a domandarci quale sia e cosa sia la realtà.
Qui abbiamo un corpo unico (la macchina, o un righello, o una barra), che a un certo punto per un istante almeno, si trova completamente in quiete rispetto al garage (e quindi niente dilatazioni o contrazioni), ma con i suoi orologi fuori sincronismo.
Cioè è in quiete, ma lo stesso oggetto, l’auto, si trova il posteriore più vecchio della parte anteriore: questa non è una apparenza soggettiva dell’osservatore, ma qualcosa di fisico.
E’ ovvio che se scomponiamo il corpo in tanti punti, ognuno con la propria linea di universo allora diventa quasi ovvio, ma resta il fatto che a livello fisico nel suo insieme la cosa appare assurda.
Sto facendo dei piccoli passi, per arrivare a capire, o meglio a dare un senso alla realtà fisica.
Se concordi con il ragionamento, farei successivamente un altro piccolo passo in avanti nel discorso.
Ti capisco perfettamente, caro Simone. Tuttavia, resta il fatto che uno stesso oggetto deve venire descritto in due sistemi diversi... Ovviamente, siamo nel campo della pura teoria, altrimenti vedremmo che si spezza o cose del genere. Vai pure avanti, anche se non sono certo in gradi di dare una risposta che nessuno tra i grandi è mai riuscita a dare in modo condiviso all'unanimità... Forse, potremmo dire che i tempi che sembrano più vecchi o più giovani sono misurati in sistemi diversi e potrebbero non spaventare più di tanto...
caro Simone,
a volte Minkowski può confondere e stupire. Tuttavia, cerco di rendere il problema più concreto possibile nella figura che segue. La parte verde scura è quella che si è fermata. Direi che la faccenda diventa più comprensibile e "logica"
Prendendo spunto da questo caso ho provato ad estendere il ragionamento cercando di vedere l'effetto di decelerazioni non istantanee e come il tempo è influenzato da queste diverse decelerazioni.
In questa figura ci sono i diagrammi dei casi che ho considerato.
Ho supposto che la parte anteriore dell'auto deceleri in modo costante fino a fermarsi in fondo al garage. La linea d'universo che la rappresenta è quella tratteggiata in bianco/nero. Il tratteggio rappresenta le unità di tempo misurate da un orologio fissato sulla parte anteriore dell'auto, cioè il tempo proprio su questa linea d'universo.
Per la decelerazione della parte posteriore dell'auto ho fatto 2 ipotesi. Una è quella originale: la parte posteriore inizia a frenare quando riceve l'informazione che la parte anteriore ha iniziato a farlo. L'informazione è trasmessa con un segnale luminoso. La linea d'universo che la rappresenta è quella bianco/verde. Anche qui, come per le curve successive, il tratteggio rappresenta il tempo proprio.
Ricordando l'articolo di Flores, ho immaginato anche una frenata programmata (una sorta di ABS relativistico) che mantenga la lunghezza dell'auto, vista dall'auto stessa, costante per tutta la frenata (linea bianco/blu).
Questa linea d'universo ha delle caratteristiche interessanti, almeno se il ragionamento e gli sviluppi che mi hanno portato a questi risultati sono corretti.
La prima è che anche essa è a decelerazione costante. Questa decelerazione è diversa da quella applicata alla parte anteriore dell'auto e dipende dalla lunghezza che si vuole mantenere.
Quindi se il nostro ABS dovesse applicare una decelerazione al centro dell'auto (linea bianco/celeste), la decelerazione sarebbe ancora diversa.
L'altra caratteristica riguarda il tempo proprio di ciascuno di questi punti.
Nella figura sono tracciate le linee di simultaneità del anteriore dell'auto. Dalla posizione del tratteggio all’interno delle linee si vede che gli orologi non mantengono il sincronismo che avevano inizialmente. Le linee di simultaneità permettono di tracciare i diagrammi nel riferimento dell’anteriore dell’auto, dove si vede meglio l'effetto delle decelerazioni sul tempo.
Nella parte iniziale, quando non c'è decelerazione, gli orologi sull'anteriore, posteriore e centro dell'auto viaggiano sincroni. Quando inizia la decelerazione il sincronismo di perde.
In particolare si vede che perdono il sincronismo anche orologi che in questo riferimento sono fissi in una stessa posizione (linee bianco/nera, bianco/celeste e bianco/blu). Nella zona dove agiscono le decelerazioni, più ci si sposta nella direzione della decelerazione, che agisce verso sinistra, più gli orologi sono veloci. Considerando che un passeggero dell'auto durante la frenata sentirebbe una accelerazione in direzione contraria alla decelerazione, l'andamento dei tempi propri sembra coerente con quanto accade per la gravità, anche se qui è ottenuto mettendo a confronto tempi propri e linee di simultaneità.
Non riporto gli sviluppi che portano a questi risultati che, una volta trovata la strada, non sono molto complessi. Se qualcuno fosse interessato posso provare a riassumerli in un commento successivo.
Ammetto che non mi è tutto perfettamente chiaro. Certo è che la parte posteriore non può decelerare se non arriva il segnale dell'urto anteriore. Nella figura mi sembra che questo avvenga troppo presto... Il secondo caso, la decelerazione programmata, interessa, in fondo, ben poco... Il succo dell'intero discorso è sempre lo stesso: la contrazione è reale oppure no? Questo caso dice molto a riguardo, portando a un paradosso risolubile come fatto per i gemelli. In quel caso vi era un orologio "favorito" per entrambi. In questo caso vi è una "contrazione" per entrambi. Il fatto stesso che si riesce a fare stare la macchina nel garage anche nel suo sistema proprio (attraverso decelerazione-così come nei gemelli) conferma che nel sistema del garage vi sia stata una vera contrazione fisica.
Direi di limitarci al concetto di base... comunque, se vuoi andare oltre, liberissimo di farlo e tutto quanto ti fa onore...
In effetti il mio commento non è centrato sul paradosso che ci hai sottoposto. Il paradosso mi ha dato lo spunto per analizzare alcuni effetti sui tempi prori prodotti dalle decelerazioni in gioco che ho riportato nel commento.
Unica cosa sul paradosso è che considerare decelerazioni non istantanee non modifica sostanzialmente il problema.
Se si affida la frenata della parte posteriore alla informazione che la parte anteriore ha iniziato la frenata, tendenzialmente c'è una compressione sull'auto. Nel caso della linee verde in figura, questa informazione viaggia alla velocità della luce (linea gialla a 45° che parte dall'inizio della frenata della linea bianco/nera). Se viaggiasse alla velocità del suono, come è indicato in qualche articolo, l'effetto sarebbe ovviamente anche più marcato.
Nel caso di frenate programmate si può mantenere la lunghezza come visto nell'articolo di Flores. Queste sono state le più interessanti dal punto di vista dei tempi, poiché danno modo di vedere come il tempo proprio varia in orologi che nel sistema di riferimento non inerziale mantengono una posizione fissa.
Mi compiaccio del tuo lavoro e degli spunti che riesci a trovare!