Chi è il maggiore? ***
Una domanda estremamente semplice che necessita di una risposta non altrettanto semplice, anche se alla portata di molti.
La domanda è:
Chi è maggiore tra AB e BA , con A e B numeri reali positivi ?
QUI la soluzione
Una domanda estremamente semplice che necessita di una risposta non altrettanto semplice, anche se alla portata di molti.
La domanda è:
Chi è maggiore tra AB e BA , con A e B numeri reali positivi ?
QUI la soluzione
12 commenti
Considerato che stare chiusi in casa facilita la soluzione dei quiz, direi che
per A e B reali positivi.
Per risolverlo basta analizzare i rispettivi logaritmi in base A (o B) .
quindi sempre?
Lo studio rigoroso di una funzione di due variabili. F = a^b - b^a, richiede la padronanza del calcolo delle derivate parziali, di un metodo di risoluzione del sistema da esse costituito e della analisi del segno delle relative derivate parziali di secondo grado.
In questo particolare caso, in cui appaiono esponenziali, la soluzione del sistema non è banale se non si individua una opportuna relazione parametrica tra le variabili.
Non escludo che esista una soluzione che aggira le difficoltá pur conservando il rigore formale.
Ma per avere una idea "qualitativa" di come la superficie della funzione " a^b - b^a si dispone nel quadrante dei valori positivi delle variabili a e b, bastano pochi calcoli elementari.
Alcune osservazioni preliminari...
Se a=b la funzione si azzera. Quindi la bisettrice del primo quadrante e parte del luogo dei punti stazionari.
Esiste una ovvia simmetria rispetto alla bisettrice: scambiando a con b si ottiene un risultato di F uguale in valore assoluto, ma di segno opposto.
Per qualsiasi valore di a>1, quando b=1 la funzione assume valori positivi e per qualsiasi valore di b>1, quando a=1 la funzione assume valori negativi.
Possiamo rappresentare questi ovvi risultati come segue, assegnando ad a e b, i valori interi da 1 a 5. Variabile a come ascissa e variabile b come ordinata.
5. - ? ? ? O
4. - ? ? O ?
3. - ? O ? ?
2. - O ? ? ?
1. O - + + +
1. 2. 3. 4. 5.
Analizziamo ordinatamente le seguenti combinazioni per valutare il segno della funzione F
a. b. a^b-b^a F b. a. F
3 2. 9-8. >0 3. 2. <0
4. 2. 16-16. =0. 4. 2. =0
4. 3. 64-81. <0. 4. 3. >0
5. 2. 25-32. <0. 5. 2. >0
5. 3. 125 -243 <0. 5. 3. >0
5. 4. .... <0. 5. 4. >0
Aggiorniamo ora lo schema precedente inserendo i segni trovati per F.
5. - + + + O
4. - O + O -
3. - - O - -
2. - O + O -
1. O + + + +
1. 2. 3. 4. 5.
Esistono, come si nota facilmente, due settori con valori di F positivi e due settori con valori negativi, confinati tra la bisettrice del quadrante ed una curva che passa per i punti 2,4 e 4,2.
Con un supplemento di analisi del punto a=2,5 b=3,5 il lettore sarà in grado di escludere che tale curva sia la retta passante per i punti 2,4. 4,2.
La forma di questa curva non può essere rettilinea ma avrà un andamento "somigliante"ad una iperbole equilatera. Con una semplice verifica su una coppia di valori intermedi, come a=2,5 b=3. e il reciproco a=3 b=2,5. si vede subito che non è una iperbole.
La intersezione tra la curva e la retta ( che insieme rappresentano i punti stazionari) si verifica per un valore di a=b prossimo al numero di Eulero 2,71...
Concludo questa rudimentale analisi con un paio di schizzi altrettanto rudimentali , che illustrano qualitativamente i quattro sotto-domini e la forma della superficie della funzione.
Ottimo lavoio Mau, ma posso dirti che non c'è assolutamente bisogno di trattare con una funzione a due variabili. Si può utilizzare una funzione a una sola variabile che risolve tutta la questione... Lo studio di essa è piuttosto semplice... Mai mi sarei sognato di proporre derivate parziali! Un piccolo trucchetto e voilà... ricordiamo che a noi interessa una disuguaglianza...
Per ricondurre due variabili ad una sola si può considerare una semplice relazione come il loro rapporto.
R = b/a ed esprimere b=Ra
la domanda diventa: chi è maggiore tra a^(Ra) e (Ra)^a ?
Poi, come suggerisce Leandro , si considerano i logaritmi ( tutti in base a) e si prosegue.
Se questa è la via, lascio il piacere di esplorarla agli altri lettori.
mi sembra che la relazione sia un'altra... ma, ovviamente, c'è più di un modo... fate voi...
Insomma, cari amici, invece di prospettare, passate pure all'azione e ditemi quando succede cosa in modo rigoroso... attendo con fiducia... e niente derivate parziali
Ho cercato di risolvere il quesito analizzando prima i casi particolari considerando che per ipotesi sia A che B sono sempre numeri reali maggiori di zero ( la potenza dei numeri reali è definita solo se la base è maggiore di zero)
se A=B ⇒AB= BA si riduce alla relazione tipo y=xx
se A=B=1 le due potenze sono uguali a 1
se A≠1, B=1
AB = A , BA= 1A
in questo caso se A >1 segue che AB > BA
se 0<A<1 segue che AB < BA
se A=1, B≠1
A= 1B , B= B
in questo caso se B >1 segue che AB < BA
se 0<B<1 segue che AB > BA
vediamo ora il caso più generale
(A e B reali ed entrambi maggiori di zero)
poniamo A/B = K
si ha:
AB = AA/K
BA = 〈A/K〉A
consideriamo la disequazione esponenziale
AA/K > 〈A/K〉A
AA/K > AA *KA
se k>1 cioè A>B
la disequazione di cui sopra si inverte cioè AB < BA
se k<1 cioè A<B
la disequazione di cui sopra resta cioè AB > BA
i numeri SONO reali e positivi (per definizione del problema).
Finora chi si è avvicinato di più è Mau, ma dovrebbe cercare di compattare il problema riducendosi allo studio di una sola funzione.
Effettivamente c'entra il numero magico "e".
Prendo il logaritmi in base naturale
Supposto B>A , il termine a sinistra è la pendenza di una retta spiccata dall'origine , mentre quello di dinistra è il rapporto incrementale della funzione logaritmo ln(x) , che essendo monotona crescente, sarà sempre inferiore alla sua derivata (1/x) .
La retta in origine avrà sempre una pendenza inferiore alla derivata della funzione ln(x) fino al suo punto di tangenza , che si trova risolvendo l'equazione
da cui x = e,
si ha quindi per A < e
e viceversa per A>e
andiamo meglio... ma direi che si può compattare e descrivere più facilmente con una sola funzione...
Chi vuole riportare la propria soluzione lo faccia presto... domani pubblico la soluzione (personale, ovviamente).