Riassunto dei modelli SI,SIS,SIR.***(di Umberto e Maurizio)
Questo articolo contiene una panoramica dei tre modelli matematici trattati, applicabili ad eventi che riguardano "cose" che si trasmettono con il contatto tra individui di una popolazione.
N.B.: per i dettagli , vi rimando al tag modelli matematici dove trovate per esteso tutti i calcoli.
Sostanzialmente , tutto si basa principalmente sulla formula, giustificata sia statisticamente che empiricamente:
Assieme alla costanza della popolazione, ovvero i/(t)+ s(t)=1, indicata in percentuale rispetto a N, totale popolazione. Consideriamo cioè la popolazione come un sistema chiuso; nessuno entra od esce. Il coefficiente è alla base di tutto. La variazione dei nuovi soggetti I porta è proporzionale al tempo, al numero dei soggetti non ancora trasformati S e alla percentuale dei soggetti i stessi. Come già detto in precedenza, Il coefficiente può essere interpretato come il numero medio di contatti a persona sufficienti per la trasmissione per unità di tempo.
Chiaramente i, s variano in continuazione allo scorrere del tempo t; perciò siamo costretti a ricorrere alle equazioni differenziali per risolvere analiticamente il problema.
Ci sono state tre varianti nei modelli analizzati
1. Il modello SI
Il modello SI in cui abbiamo a che fare solo con soggetti del tipo S e I e in cui non esiste reversibilità, ovvero un soggetto S passa alla classe I e lì vi rimane.
le equazioni differenziali:
![f5](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2020/03/f5.png)
![f6](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2020/03/f6.png)
Essa si ottiene derivando la funzione I(t). rispetto al tempo (cosa che lasciamo ai più volenterosi)
Ma in quale istante si raggiungerà la massima conversione degli Sprovveduti in Istruiti ?
Studiando la funzione (cercasi volenteroso), si ottiene che essa presenta un massimo, il cosiddetto valore di picco, per il valore di tempo:
![SI](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2020/04/si.png)
![vsi](http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/wp-content/uploads/2020/04/vsi.png)
Sappiamo, che dopo svariati calcoli, si arriva alle soluzioni per s,i:
.
dove è stato posto . Posto
, vogliamo studiare il comportamento asintotico di i(t) nei due casi, nei due casi,
e
, che equivalgono ai casi, essendo
,
e
,
e , graficamente:
Per questo motivo viene detto soglia critica per tale sistema, ed è il prodotto tra il tasso di contatto
e il tempo medio di ritorno alla classe degli S,
. A secondo del suo valore si ha l'estinguersi del processo la sua propagazione a tutta la popolazione.
3. Il Modello SIR.
Introduciamo una nuova ipotesi che tenga conto di un fenomeno di “abbandono”. Vale a dire che, tra tutti coloro che periodicamente rientreranno nel circolo della formazione continua, vi saranno alcuni che abbandoneranno. Li individueremo con il termine R per Ritirati.
Schema grafico:
s + i + r = 1 sarà la nuova ripartizione delle rispettive percentuali degli stati possibili.
Le equazioni differenziale questa volta son tre,
Studiamo solo l'andamento delle soluzioni;
Anche nel modello SIR è presente il fenomeno di soglia. Infatti, posto , possono ottenersi i seguenti due casi:
- Se S0<T, allora è facile provare che per ogni t>0
Infatti
;
In questo caso, il procedimento di tipo "epidemico" non si innesca ed il numero di istruiti decresce dal valore iniziale I0 fino ad annullarsi.
2. Se S0>T, allora solo inizialmente il numero di infetti cresce, cioè risulta
(questa scrittura significa che calcoliamo la derivata nel punto t=0.
e quindi il processo di apprendimento inizialmente si sviluppa, la funzione I(t) raggiunge un valore massimo Imax e poi decresce fino a zero.
Nella figura, è evidenziato il fenomeno soglia.
Riprendiamo ancora una volta i punti salienti dei tre casi, dal punto di vista grafico:
CASO SI:
Il processo non si ferma, e tende a coprire tutta la popolazione:
Le variazioni degli I ha un massimo per i=s=1/2:
Caso SIS:
Decide l'evoluzione il parametro che viene detto soglia critica per tale sistema ed è il prodotto tra il tasso di contatto
e il tempo medio di ritorno alla classe degli S,
. A secondo del suo valore si ha l'estinguersi del processo la sua propagazione a tutta la popolazione.
CASO SIR
A seconda del valore si soglia, posto , possono ottenersi i seguenti due casi:S0<T, S0<T:
A seconda dei due casi, o il processo decade rapidamente, oppure ha un picco elevato, però dopo il processo si estingue.
Teoria e applicazione