Apollonio ci ha mostrato come riuscire a pianificare arrembaggi perfetti (QUI), ma adesso cerchiamo di complicare la situazione, imponendo che la nave olandese veda sempre la nave inglese, utilizzando, però, animali e non vascelli. La soluzione è piuttosto facile e quindi invito i più bravi ad aspettare un po'. Al limite potrebbero aiutarmi a costruire il "gioco da tavolo". Chissà mai che non diventi una nuova Battaglia Navale?! Per l'eventuale ripartizione dei guadagni, si seguirà Leonardo: "Trentatré, trentatré, trentatré!" o giù di lì...

Le situazioni in cui si trovano coinvolti prede e predatori hanno portato a moltissime strategie. Tuttavia, questa volta vogliamo affrontare il problema in modo un po' diverso, senza tante formule (anzi - volendo- nessuna) e addirittura cercare di creare un gioco da tavola per passare il tempo. Ma andiamo con ordine.

La curva di inseguimento

Esiste una curva classica detta proprio di inseguimento. E' una curva seguita da molti predatori, della quale si può ricavare l'equazione anche in modo non molto difficile (la solita equazione differenziale, ecc., ecc.). Per il momento, lasciamola da parte e diciamo solo  le sue caratteristiche principali: la curva (seguita dal predatore) è tale che la tangente in ogni suo punto rappresenti la congiungente predatore preda (Fig. 1). L'equazione che se ne ricava è particolarmente semplice se si immagina la preda muoversi di moto rettilineo uniforme.

Ci torneremo, state tranquilli... diciamo solo che è forse la più usata nel regno degli animali più grandi. Tuttavia, essa deriva da una decisione del predatore abbastanza empirica: cercare di puntare sempre verso la preda. Ma è veramente la più "redditizia"? Per poterlo dire dovremmo tenere in conto le caratteristiche fisiche di preda e predatore. Sono capaci di correre per lunghe distanze oppure preferiscono fare scatti violenti? sono capaci di cambiare rapidamente direzione o cercano di mirare verso un rifugio? ecc., ecc.

Una curva più... astronomica

Ipotizziamo di avere due animali veramente classici: una tigre e un daino, i perfetti predatore e preda.

In Natura sappiamo che solitamente la tigre segue la classica curva definita prima, con qualche aggiunta di lento avvicinamento tra la vegetazione. Tuttavia, per il nostro scopo, consideriamo il tutto in modo estremamente semplificato. Facciamo finta che sia preda che predatore siano sordi e che non sentano alcun odore. In poche parole, devono basarsi solo sulla vista e sulla loro capacità di correre. Inoltre, consideriamo entrambi intelligenti e capaci di decidere in base alla situazione in cui si trovano.

Iniziamo, semplificando le condizioni di partenza. Innanzitutto, consideriamo predatore e preda come puntiformi, anche se ben visibili.

Possiamo anche considerare la loro velocità una costante e, addirittura, la stessa per entrambi, v_T = v_C = cost.

Immaginiamo di essere in una savana con l'erba piuttosto bassa (nessun mimetismo o movimento, invisibile all'avversario, è possibile). Ammettiamo che esista un solo albero, che ci serve come origine degli assi x e y. Il predatore, la tigre, si trova a una certa distanza r dall'albero mentre la preda, il cervo, si trova a una distanza d più grande (ad esempio d = 2r). In queste condizioni il predatore non fa  ancora paura alla preda, anche se entrambi si vedono l'un l'altro perfettamente. Imponiamo come condizioni  iniziali quelle in cui sia predatore che preda siano entrambi sull'asse delle y. La situazione è raffigurata in Fig. 2.

Possiamo iniziare la caccia. Il daino si sente tranquillo e continua a brucare  in continuo movimento rettilineo lungo una parallela all'asse x, tenendo sempre d'occhio la tigre.  Questo movimento continuerebbe senza drastici cambiamenti di direzione solo se il predatore riuscisse a non incutere paura alla preda. Tuttavia, se il predatore iniziasse a seguire la curva di inseguimento che abbiamo visto in Fig. 1, il daino, che è intelligente, si renderebbe conto dell'avvicinamento della tigre e fuggirebbe in una direzione qualsiasi e, avendo la stessa velocità, per la tigre non ci sarebbero speranze.  Lo svolgimento della caccia sarebbe rappresentato in Fig. 3.

A sinistra vi è la classica strategia dell'inseguimento classico che darebbe ragione alla tigre. Tuttavia, dato che il daino è intelligente, si accorgerebbe dell'avvicinamento del predatore e cambierebbe subito direzione lasciando la tigre con un palmo di naso (a destra).

Si chiede, allora, che strategia deve usare la tigre per avvicinarsi alla preda quel tanto da poter fare il balzo finale vincente? Il balzo finale ha, comunque, una lunghezza b che è  solo una piccolissima frazione della distanza iniziale, ossia b << d - r = r. Si accettano soluzioni puramente grafiche o, magari, aiutate da una semplice formula che aiuti nella costruzione del percorso.

Questo è il piccolo quiz iniziale, che ho chiamato "astronomico" per certe analogie che ben conosciamo...

La seconda parte della trattazione ci permetterà di generalizzare la situazione e trasformarla in un gioco a tavolino, in cui la traiettoria della preda può essere qualsiasi, così come le due velocità. Vince chi sa utilizzare meglio la strategia sia di caccia che di fuga. Ma ogni cosa a suo tempo...

Ah... dimenticavo! Guardate bene le immagini dei nostri due giocatori. Anche se sembra feroce, la tigre è una "pacioccona" che mai farebbe del male al daino, il quale, benché sembri così indifeso, sa benissimo come cavarsela dagli impacci... Ma anche a loro piace giocare.

P.S.: La strategia che vi sto chiedendo non è, in realtà, seguita dalla tigre e dal daino, ma lo è invece da alcuni insetti e anche da certi rapaci. Quindi, cari ingegneri, non si tratta solo di un approccio matematico e teorico!

QUI la soluzione