Data l'equazione polare della spirale logaritmica, non è difficile passare alla corrispondente rappresentazione parametrica. Meno immediato è il cammino inverso: da parametrica a polare. Ma percorrendo questo sentiero si può meglio comprendere il significato geometrico dei parametri che stabiliscono la forma della curva.

Nei testi si trova normalmente l'equazione polare   della  spirale logaritmica,  proprio a causa della sua nascita attraverso la funzione logaritmo.

Infatti, scrivere la sua forma più comune:

r = a e^kθ

significa anche scrivere:

ln(r/a) = ln(e^kθ) = kθ

θ = (1/k) ln(r/a)

in cui si vede bene il rapporto logaritmico che vi è tra l'angolo θ e il raggio, ovviamente variabile).

Da queste equazioni si ricavano immediatamente le equazioni parametriche:

x = r cos θ

y = r sen θ

con r funzione dell'angolo θ .

Praticamente introvabile è invece il percorso inverso, ossia partire da equazioni parametriche qualsiasi  e ottenere l'equazione polare.  Stuzzicato dal povero Pippo alle prese con migliaia di automobiline, trovate di seguito un mio tentativo andato a buon fine...

Trasformazione da coordinate parametriche della spirale logaritmica a coordinate polari

 

Equazione in coordinate cartesiane della Spirale Logaritmica

Considero un punto P  , intersezione della retta r  (raggio OP )   e  della curva della  spirale logaritmica.

In quel punto P traccio la retta t ,  tangente alla spirale.

Indico con   l'angolo tra   r    e l'asse orizzontale e con     l'angolo  fra   r   e la tangente t .

Il coefficiente angolare della retta t    vale     e lo posso esprimere come rapporto tra le derivate parziali della spirale nel  punto P 

     esplicitando le due derivate di x e y  rispetto all'angolo     otteniamo

              =

      =       da cui ricavo:

Ricordando le formule che legano il seno e il coseno della somma di due angoli con i seni e i coseni dei due angoli (e ricordando che la tangente è uguale al seno diviso per il coseno), ci accorgiamo che il termine a sinistra non è altro che lo sviluppo della tangente della differenza tra i due angoli     e   ossia precisamente  .

Il complemento a 90° di    è proprio l'angolo compreso tra t e t', ossia l'angolo   quindi

       e chiamando           riscrivo:         da cui     

(1/r)dr/dθ = k

separando le variabili

(1/r) dr = k dθ

e integrando

ln r = kθ + c

r = e^{kθ + c} = e^c e^kθ  = a e^kθ               (ovviamente per θ = 0, r₀ = a )

che è proprio l'equazione polare della spirale logaritmica       

Abbiamo così individuato nel parametro  k,  che compare all'esponente, il significato di tangente dell'angolo di distacco / accrescimento