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LA DISUGUAGLIANZA DI BELL
Finalmente

Nell’articolo precedente abbiamo visto l'espressione della grandezza S che è oggetto della disuguaglianza di Bell.

Nella espressione di S entrano quattro coefficienti di correlazione, E, relativi ai risultati delle misure su coppie di fotoni in un particolare stato 'aggrovigliato'. Ciascuno dei coefficienti di correlazione E dipende dal posizionamento dei due cristalli con i quali sono fatte le misure sui due fotoni.

Abbiamo anche calcolato il valore di S per quattro particolari coppie di posizionamento dei cristalli. Queste quattro coppie sono quelle risultate migliori per effettuare alcuni esperimenti e marcare la differenza tra teoria standard e teorie locali.

Le quattro coppie di posizioni sono le combinazioni del cristallo a destra inclinato di 0° o 45° rispetto ad un piano da noi scelto tra quelli che contengono la traiettoria del fotone incidente e il cristallo a sinistra inclinato di 22,5° o 67,5° rispetto allo stesso piano.

Tabella 6.1

Ricordiamo anche la configurazione della prova che ci permette di misurare i quattro valori di E che compongono la grandezza S.

Figura 6.1

L’obiettivo che abbiamo è quello di confrontare la previsione del valore di S che abbiamo ricavato dalla teoria standard con la previsione che potremmo ottenere da una teoria locale che rinuncia al quell’inquietante azione a distanza che fa parte della interpretazione standard.

Per fare il confronto, dovremmo trovare il valore di S applicando una teoria locale. Il problema è che una teoria locale non è nota. Lo scopo della disuguaglianza di Bell è proprio quello di sondare se una teoria di questo tipo possa esistere.

Come fare un confronto tra una previsione ben definita ed una che non sappiamo come calcolare? Qui interviene John S. Bell.

J.S.Bell ci permette di fare qualcosa di meglio che confrontare la teoria standard con una teoria locale. Ci permette di confrontare la teoria standard con una qualsiasi teoria locale.

Per le teorie locali certamente non possiamo arrivare ad un valore ben definito per S come abbiamo fatto con l’interpretazione standard. Ma qualcosa possiamo dire.

Una teoria locale deve assumere che i risultati delle misure su uno dei due fotoni non dipendano nell’immediato da ciò che accade all’altro fotone remoto.

Una misura su un fotone non può avere effetti immediati sull’altro fotone remoto. In fin dei conti è il nostro modo naturale di pensare. Il contrario di ciò che sembra accadere per l’interpretazione standard.

I risultati delle misure su un fotone non dipendono da ciò che accade all’altro fotone, ma i risultati delle misure sui due fotoni sono comunque tra loro correlati.

Il caso più evidente è quando faccio misure con la stessa inclinazione dei cristalli polarizzatori. Quando μ=ν, come abbiamo chiamato le inclinazioni dei due cristalli polarizzatori negli articoli precedenti. In questo caso se uno dei due fotoni è rivelato dal contatore A, allora anche l’altro fotone è rivelato dal contatore A. Viceversa se un fotone è rivelato dal contatore B, anche l’altro è rivelato dal contatore B.

In una interpretazione locale, questa correlazione deve essere fatta risalire al momento della creazione della coppia di fotoni entangled. In quel momento l’interazione tra i due fotoni è locale. Quindi, possiamo supporre che i fotoni siano stati creati in uno stato particolare.

È questo stato che guida i risultati delle misure e produce localmente la correlazione che vediamo anche quando i due fotoni si sono allontanati, senza bisogno di una azione a distanza.

Noi non conosciamo quali siano le proprietà incluse negli stati che permettono questo comportamento. Ma questo non ci impedisce di supporre che tali proprietà possano esistere. Per sottolineare la nostra impossibilità attuale, o forse assoluta, di conoscerle, queste proprietà vengono spesso indicate come variabili nascoste o, in modo più neutrale, variabili supplementari.

J.S.Bell tiene molto a farci notare che l'esistenza delle variabili supplementari non è una ipotesi aggiuntiva, ma è una conseguenza di voler prevedere una correlazione tra i risultati senza mettere in gioco una azione a distanza. Questa affermazione è importante per valutare le conseguenza della disuguaglianza di Bell.

Il risultato della misura effettuata su ciascun fotone dipende solo da elementi locali quali il suo stato, incluse le variabili nascoste, e dal posizionamento del cristallo che attraversa. Non dipende dalla posizione del cristallo remoto ne, tanto meno, dall’esito di misure effettuate sul fotone remoto. Questo è quello che ci serve per proseguire.

Il risultato è stabilito localmente, ma questo non significa che debba essere necessariamente stabilito in modo deterministico. In questo articolo seguo l’assunzione che il risultato sia stabilito anche in modo deterministico. È l’assunzione seguita dallo stesso J.S.Bell nella sua prima versione della disuguaglianza e semplifica alcuni passaggi del ragionamento. Sono succedute anche altre versioni della disuguaglianza elaborate dello stesso Bell e da altri che hanno esteso la disuguaglianza anche a casi non deterministici.

Vediamo come si potrebbe rappresentare questo modo locale e deterministico di stabilire il risultato della misura.

Le probabilità che abbiamo ottenuto con l’interpretazione standard devono essere sostituite da relazioni deterministiche che ci dovrebbero permettere di prevedere i risultati delle misure. Per trattare più agevolmente questi risultati gli do un valore numerico. Quello che finora ho chiamato A lo identifico con +1 e quello che finora ho chiamato B lo identifico con -1. Possiamo esprimere queste relazione con delle funzioni.

Tabella 6.2

Per visualizzare queste funzioni per i posizionamenti degli apparati di misura che ci interessano possiamo utilizzare una tabella.

Tabella 6.3

Cerchiamo di capire il significato della tabella. Concentriamoci sulle colonne. Ciascuna colonna corrisponde ad uno stato della coppia di fotoni. È la natura che assegna lo stato alla coppia. Quindi le proprietà di una coppia di fotoni che esce dalla sorgente sono rappresentate da una intera colonna. Invece siamo noi che scegliamo le due righe sulle quali ci sono i possibili risultati del nostro esperimento, una per il fotone di destra ed una per il fotone di sinistra. Le scegliamo fissando la posizione del cristallo per ciascun fotone. Quindi la natura sceglie la colonna e noi scegliamo le righe.

Ovviamente i valori in tabella sono del tutto inventati. Servono solo per capire come potrebbe essere fatta. Nella tabella sono indicati i valori dei risultati previsti per le misure sul fotone di destra e per quello di sinistra per ciascuna delle posizione dei cristalli che dobbiamo considerare e per ciascun stato.

Possiamo scrivere la tabella in questo modo, con le quattro funzioni ben separate, perché stiamo trattando una teoria locale. Ciascun risultato dipende solo dallo stato della coppia λ e dalla posizione dell’apparato di misura locale. Non dipende dalla posizione dell’apparato di misura remoto o dall’esito della misura remota, coerentemente con l’ipotesi che non ci sia azione a distanza. È proprio questo che fa la differenza con la teoria standard.

Va anche notato che le variabili supplementari da sole non consentirebbero di separare la funzione che dà i risultati delle misure sul fotone di destra da quella che dà i risultati delle misure sul fotone di sinistra. La possibilità di una azione a distanza permetterebbe una relazione tra le due che non potremmo esprimere con due funzioni separate.

In questi riquadri gialli riporto le espressioni matematiche corrispondenti a quanto detto in precedenza con le tabelle. Nella tabella sopra i vari valori di λ, e quindi le colonne relative, si presentano con la stessa probabilità. Dovendo scrivere veramente la tabella potrebbe essere utile poter dare una diversa probabilità ai valori di λ. In termini di tabella equiprobabile può essere ottenuto replicando gli stati con maggiore probabilità. Certamente questo potrebbe portare ad una esplosione del numero di colonne. Poiché non sappiamo riempire la tabella ne in un modo ne nell'altro, conviene lasciare la tabella nel modo più semplice da trattare e riservare la possibilità di avere diverse probabilità per ciascun λ alle rappresentazioni matematiche che riporto in questi riquadri gialli. Il risultato che si ottiene è comunque lo stesso. Tabella 6.4 Inoltre la tabella assume che i valori di λ siano discreti. La trattazione equivalente nel caso fossero continui la riporto in appendice. I passi sono assolutamente paralleli a quelli del caso discreto e portano allo stesso risultato. Il caso di λ continuo è quello riportato da Alain Aspect nei suoi articoli. Tabella 6.5

Dalla tabella 6.3 possiamo ricavare i valori della correlazione delle misure effettuate sui due fotoni quando sono nello stato λ e i cristalli negli apparati di misura sono nelle posizioni μ e ν. Chiamiamo questa grandezza e(λ,μ,ν). Il suo valore sarà +1 in caso di coincidenza del risultato delle due misure e -1 in caso contrario. La sostituzione delle etichette A e B con i numeri +1 e -1 ci permette di esprimere e(λ,μ,ν) come prodotto dei risultati delle due misure. Infatti e(λ,μ,ν)=+1 quando i due risultati sono +1 e +1 o -1 e -1

Tabella 6.6

Utilizzando i valori della tabella 6.3, posso ricavare i valori di e(λ,μ,ν) nel caso di una delle coppie di posizioni degli apparati Ad esempio μ=45° e ν=22.5°.

Tabella 6.7

La media dei valori di e(λ,45°,22.5°) per tutti i valori di λ ci dà i coefficiente di correlazione E(45°,22.5°). Abbiamo calcolato il valore previsto dalla interpretazione standard per questo coefficiente di correlazione. Non possiamo arrivare al suo valore per un teoria locale poiché non conosciamo il contenuto corretto della tabella 6.7.

Qui sotto ci sono le espressioni matematiche di quello che si trova in Tabella 6.6 e 6.7. Tabella 6.8

Nello stesso modo si possono calcolare gli altri valori di e( λ,μ,ν) e le loro medie E( μ,ν). Nella tabella seguente riporto i risultati. Per non appesantirla non riporto nuovamente le righe relative alle grandezze l(λ,ν) e d(λ,μ).

Tabella 6.9

I valori previsti dalla interpretazione standard per E(μ,ν) li abbiamo potuti calcolare (tabella 6.1). Ma per la teoria locale sono un grosso punto interrogativo. Non abbiamo idea di quale sia il loro valore perché non sappiamo costruire la tabella con valori corretti. Quella sopra ricordo che è completamente inventata.

Una sola cosa possiamo dire sul contenuto della tabella: i valori di d( λ,μ) e l(λ,ν) possono essere +1 o -1.

Non è un gran che, ma proviamo a procedere con quello che abbiamo.

Dobbiamo arrivare alla espressione della grandezza S che ci serve per metterla a confronto con il valore 2.8284... calcolato con l’interpretazione standard.

Vediamo anche questo passaggio in forma di tabella. Inserisco nella tabella 6.9 anche il percorso per il calcolo della grandezza S a partire dai valori di E(μ,ν) ed aggiungo una nuova grandezza s(λ) che è analoga alla grandezza S, ma calcolata separatamente per ogni stato λ.

Tabella 6.10

Ed ora vediamo come appare la tabella 6.9 così integrata.

Tabella 6.11

Qui sotto ci sono le espressioni matematiche equivalenti alla Tabella 6.11 Tabella 6.12

I numeri in rosso nella Tabella 6.11 li ho ottenuti fingendo che quello che vediamo in tabella siano tutti gli stati necessari, oltre che i valori siano quelli corretti. Ovviamente non è così, ma ci serve per capire due caratteristiche di questa tabella che valgono sempre. Quindi devono valere anche per l’ipotetica tabella corretta, anche se non la conosciamo.

Queste due caratteristiche sono quelle riassunte nelle due domande.

La prima riguarda il calcolo di S. Abbiamo conosciuto S come ottenuto dai valori medi di E con le operazioni di somma e differenza indicate sulla destra della tabella. Per come appare in questa tabella, sembrerebbe essere calcolabile anche come valore medio di s(λ). Questo è dovuto solo ai particolari valori (falsi) utilizzati in questa tabella o è vero per ogni tabella di questi tipo?

La risposta è che è vero in generale. Entrambi i metodi portano allo stesso risultato.

Tabella 6.13

Qui sotto le espressioni matematiche che riproducono il ragionamento nella Tabella 6.12. Tabella 6.14

Ora che abbiamo capito che anche la media delle s(λ) ci può dare il valore della grandezza S che cerchiamo, approfondiamo la questione riguardante i possibili valori di s(λ).

Nella tabella i valori di s(λ) erano +2 o -2. Apparentemente sembra essere un caso.

Tabella 6.15

s(λ) è la somma 3 elementi ai quali si sottrae un 4° elemento. Il valore di ciascuno di questi elementi può essere -1 o +1. Quindi, ad esempio, se tutti gli elementi che si sommano sono +1 e l'elemento che viene sottratto è -1, otterrei il valore +4. Viceversa se tutti gli elementi che si sommano sono -1 e l'elemento che viene sottratto è +1, otterrei il valore -4. Quindi S sembrerebbe poter avere valori che vanno da -4 a +4.

Ma quelle combinazioni di valori +1 e -1 che danno i valori estremi -4 e +4 sono veramente possibili? Vediamo che non sono possibili.

Occorre ricordare come è stato possibile definire e(λ,μ,ν) per la nostra ipotetica teoria locale.

Tabella 6.16

Tabella 6.17

Ora abbiamo tutti gli elementi per delimitare il valore di S ottenibile adottando una interpretazione locale della MQ, qualsiasi esse sia.

Tabella 6.18

Qui sotto le espressioni matematiche che riproducono il ragionamento nella Tabella 6.16. Tabella 6.19

Abbiamo già calcolato la grandezza S utilizzando l'interpretazione standard. Non ci resta che metterlo a confronto con la disuguaglianza di Bell per una teoria locale.

Tabella 6.20

Questo è il risultato della disuguaglianza di Bell.

Ho evidenziato la parola locale perché è questa la condizione che cause la divergenza dei risultati tra le due teorie. Infatti, i fisici hanno ottenuto disuguaglianze simile a quella che abbiamo trovato anche nell'ipotesi di teorie locali, ma non deterministiche.

Non significa che tutte le previsioni ottenibili dalle due teorie debbano essere diverse. Significa però che in alcuni particolari casi una qualsiasi teoria locale non può dare le stesse previsioni della interpretazione standard.

Ad esempio, abbiamo utilizzato una particolare combinazione di angoli per calcolare S, ottenendo un risultato, 2.8284.., che non è compatibile con la disuguaglianza di Bell. Ci sono però valori di angoli che portano a risultati compatibili.

Se due teorie producono previsioni diverse significa che almeno una delle due teorie non è corretta. Il solo confronto delle previsioni non ci può dire quale delle due non è corretta. La parola spetta alle sperimentazioni. Notate che non c’è nulla che possa garantire che una delle due teorie sia corretta.

I fisici, superando una notevole sfida tecnologica, sono riusciti a realizzare la configurazione di prova che abbiamo visto all'inizio o altre che comunque mettono alla prova le teorie rispetto alla disuguaglianza di Bell. Ovviamente le prestazioni della strumentazione reale si allontanano, spesso anche notevolmente, dalle caratteristiche ideali che abbiamo ipotizzato.

Diversi esperimenti sono stati fatti a partire dagli anni ‘70. Nella maggior parte dei casi irisultati delle misure hanno violato la disuguaglianza di Bell, spesso anche nettamente.

Nonostante questo sono rimaste aperte per molto tempo delle scappatoie per i sostenitori della teoria locale dovuti ai limiti tecnologici della strumentazione e della configurazione di misura. I miglioramenti tecnologici stanno completamente chiudendo queste scappatoie.

Riporto i valori ottenuti in uno di questi esperimenti che realizza la configurazione ideale che abbiamo analizzato sopra. È un esperimento condotto dal gruppo di Alain Aspect i cui risultati sono stati comunicati nel 1982.

Per tenere conto delle differenze tra la configurazione ideale e la configurazione reale la previsione dalla interpretazione standard deve essere ritoccato e diventa 2.70+/-0.05. Il risultato ottenuto dell'esperimento è stato 2.697+/-0.015. Risultato che sicuramente viola la disuguaglianza di Bell ed è in buon accordo con l'interpretazione standard.

La conseguenza di questi risultati è che si consolida il fatto che teorie locali, cioè prive di una azione a distanza, non possano dare previsioni corrette di come la natura si comporta in alcuni casi. Quindi non possono essere considerate corrette.

Notate che la causa del problema è da attribuire alla località della teoria, non alle variabili nascoste. Possono esistere teorie non locali che prevedono variabili nascoste. Queste teorie non sono soggette alla disuguaglianza di Bell e quindi non sono contraddette dai risultati citati sopra.

Con questo sono arrivato alla conclusione di questa serie di articoli. Ringrazio tutti coloro che hanno avuto la pazienza di seguirmi in questo percorso.

L'andamento delle consultazioni degli articoli farebbe pensare che ci sia stato anche chi ha abbandonato. Qualora si trovassero a leggere comunque queste conclusioni, mi scuso con loro. Se avessero trovato nella trattazione ostacoli eccessivi sono a disposizione per le loro eventuali richieste di chiarire i punti che li hanno fermati. Se avessero trovato l'argomento poco interessante mi devo scusare anche con J.S.Bell per non avere reso adeguatamente la sua scoperta.

Concludo con due appendici. La prima prova a svelare dove era la trappola nelle quattro domande di J.S.Bell. La seconda integra la trattazione matematica con gli sviluppi che portano alla disuguaglianza di Bell nel caso di variabili supplementari continue.

APPENDICE A

Dove era la trappola?

Ho paragonato J.S.Bell ad un investigatore che vuole capire chi di due testimoni dice la verità. Da buon investigatore fa diverse domande ai testimoni. Tutte domande apparentemente innocue, ma che possono far cadere in contraddizione il testimone inaffidabile. Vediamo dove era la 'trappola' nella quale è caduta la Teoria Locale.

Un modo diverso, forse più semplice, per capire la ragione della disuguaglianza di Bell, può essere questo. Non si arriva alla disuguaglianza, ma si vede meglio dove è nascosta la “trappola”.

Rimaniamo nel caso descritto sopra. Seguendo l’interpretazione standard abbiamo trovato le probabilità di coincidenza o non coincidenza dei risultati.

Metto in questa tabella le probabilità di non coincidenza per l’interpretazione standard.

 

Tabella 6A.1

Vediamo l'effetto di questi valori derivati dalla teoria standard sulla tabella che abbiamo utilizzato per assegnare i valori di l(λ,ν) e d(λ,μ) per la teoria locale. Cambio l'ordine delle righe per evidenziare dove l(λ,ν)d(λ,μ)=-1, cioè dove l(λ,ν) e d(λ,μ) hanno segno diverso.

Tabella 6A.2

Tra la prima e l'ultima riga ci devo essere poco più di 85 caselle su 100 che cambiano segno.

Per trovare un cambio di segno tra prima ed ultima riga ci devono essere stati 1 o 3 cambi di segno tra le righe intermedie. Ad esempio nella prima colonna c'è un cambio di segno intermedio, nella 4a colonna ci sono 3 cambi di segno. Se non ci sono cambi di segno evidentemente le due caselle non possono avere un segno cambiato.

Supponiamo di riuscire a ottenere i cambi di segno tra 1a e 4a riga tutti con un solo cambio di segno intermedio. Mediamente su 100 colonne ce ne possono essere poco meno di15 tra 1a e 2a riga, poco meno di 15 tra 2a e 3a e altrettanti tra 3a e 4a riga. Arriviamo a meno di 45 cambi di segno su 100.

Il nostro obiettivo di 85 cambi di segno su 100 tra 1a e 4a riga non è compatibile con i cambi di segno che abbiamo a disposizione tra le altre righe.

APPENDICE B

In questa appendice riporto gli sviluppi visti sopra fatti nel caso si consideri la variabile λ continua. Il risultato finale è lo stesso di quello trovato sopra.

I passaggi sono totalmente paralleli a quelli delle tabelle 6.4, 6.14 e 6.19. Questo dovrebbe permettere di seguirli anche a chi non ha confidenza con gli integrali necessari in questi passaggi.

Tabella 6B.1

Tabella 6B.2

Ci sono queste corrispondenze tra le espressioni per λ discreto e λ continuo .

Tabella 6B.3

Tabella 6B.4

A questo punto si usa il risultato ottenuto nella Tabella 6.9 che è valido anche per λ continuo.

Tabella 6B.5

Fabrizio Panaioli 2020