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Un problema geometrico che ci riporta ad Apollonio e a Cartesio...

Il problema che intendo analizzare in questo articolo è il seguente.

Data una circonferenza di raggio unitario e con centro nell'origine degli assi cartesiani , si considerino altre due circonferenze aventi il proprio centro sull'asse x e tangenti esternamente tra loro e internamente con la prima circonferenza. La seguente figura illustra meglio la situazione:

La prima circonferenza , di raggio unitario, è quella verde. I punti A e B hanno, dunque, coordinate (-1,0) e (1,0) rispettivamente. Le altre due circonferenze sono quella bianca, di centro CSX e quella gialla, di centro CDX.

Naturalmente, dovendo essere tra loro esternamente tangenti ed entrambe internamente tangenti alla prima, cambiando il raggio di quella bianca, per esempio, cambierà di conseguenza il raggio di quella gialla. Nel caso in cui il raggio della bianca fosse pari a 1/2, avremmo, evidentemente, una situazione perfettamente simmetrica rispetto all'asse y. Cioè, anche la circonferenza gialla avrebbe raggio pari a 1/2. Le due circoferenze bianca e gialla, in pratica, sarebbero identiche e poste specularmente rispetto all'asse y.

Aumentando ora il raggio della circonferenza bianca, quello della circonferenza gialla non potrà che diminuire. Infatti, la somma dei diametri delle due suddette circonferenze deve restare sempre uguale al diametro della prima circonferenza, quella verde in cui sono contenute.

Individuo , allora, una variabile che mi caratterizzi la situazione. Potrei stabilire come variabile il raggio di una delle due circonferenze minori. Ma, per comodità con la successiva trattazione, individuo come variabile la lunghezza del segmento OD, che chiamo "t".

Evidentemente, t può variare tra i valori -1 e 1. Per t=0 abbiamo la situazione con due circonferenze minori simmetriche rispetto all'asse y, tra loro tangenti nell'origine degli assi. Quando, invece, t=1, una delle suddette due circonferenze si sovrappone esattamente alla circonferenza maggiore di colore verde, mentre la seconda degenera nel punto B. Infine, quando t=-1 la circonferenza che degenera in un punto, il punto A, è quella bianca, mentre quella gialla arriva a sovrapporsi a quella verde.

Bene. Ora mi pongo il seguente obiettivo. In corrispondenza del generico valore del parametro t sopra individuato, determinare una quarta circonferenza, tangente internamente a quella verde ed esternamente a quella bianca e a quella gialla. Voglio, inoltre, determinare l'equazione della curva percorsa dal suo centro al variare del parametro t. Per chiarire, faccio riferimento alla figura seguente, in cui ho rappresentato la circonferenza cercata, di colore ciano. Ho chiamato con CC il suo centro, e con E, F e G i punti di tangenza con le tre circonferenze date.

Questo è un caso particolare del problema di Apollonio (matematico e astronomo greco antico, Perga 262 a.C.  – Alessandria d'Egitto, 190 a.C.). Esso è formulato in questi termini: "Date tre circonferenze, eventualmente degeneri, determinare le eventuali circonferenze tangenti a quelle date". Nel caso preso in esame, le tre circonferenze di partenza sono tra loro tangenti. Per tale caso particolare, Cartesio, nel 1643, dimostrò il teorema che poi prese il suo nome. Cioè, date quattro circonferenze tra loro mutuamente tangenti (non più di due tangenti internamente) di raggio   (j=1,2,3,4), vale la seguente relazione:

                                            (1)

dove   è la curvatura della j-esima circonferenza. Se la tangenza è esterna allora bisogna assegnare il segno + mentre se è interna bisogna assegnare il segno -. Per cui, date tre circonferenze tangenti, il raggio della quarta circonferenza può essere trovato, dalla (1).

In questo articolo, tuttavia, intendo determinare la quarta circonferenza, e la curva lungo la quale si sposta il suo centro, al variare del parametro t, senza fare uso della formula derivata dal teorema di Cartesio.

Intanto, conosciamo meglio, analiticamente, le tre circonferenze date. Quella più grande, di colore verde, ha centro nell'origine degli assi e raggio pari a 1. Ricordiamo che:

• la circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto detto centro della circonferenza;
• la distanza tra due punti nel piano, di coordinate rispettivamente (x1, y1) e (x2, y2) , in geometria analitica, è data dalla relazione:         (2)

Considerando, quindi, il generico punto P della circonferenza, di coordinate (x, y) e il centro nell'origine degli assi , di coordinate (0, 0), avremo , dalla (2) :

cioè, elevando al quadro entrambi i membri :

Questa è, dunque, l'equazione della circonferenza di colore verde.

Passo, ora alle altre due. In questo caso entra in gioco il parametro t.  Comincio con la circonferenza bianca, di centro CSX. Osservando la figura , si nota che il diametro di tale circonferenza è pari alla somma dei segmenti AO e OD. Ma AO è pari a 1 per costruzione e OD è pari a t. Per cui il raggio della circonferenza bianca è pari a (1+t)/2. Il cuo centro giace sull'asse x, quindi l'ordinata del centro CSX è 0. La sua ascissa si ricava facilmente sempre osservando la figura. La lunghezza del segmento (CSX)O, infatti, è pari al raggio della circonferenza bianca meno la lunghezza del segmento OD, cioè pari a t. Quindi, l'ascissa di CSX sarà data da:

fatti i conti:

Della circonferenza bianca, quindi, conosco il raggio e le coordinate del centro. Pertanto, posso ricavarmene l'equazione. Ricordiamo che l'equazione generica di una circonferenza nel piano cartesiano è :

che le coordinate del centro sono

e che il suo raggio è dato da:

Le incognite sono i tre coefficienti a, b e c. Sostituendo i valori delle grandezze note nelle suddette relazioni, alla fine trovo:

La circonferenza bianca, quindi, ha equazione:

                            (3)

Passo, infine, alla circonferenza gialla. Il suo diametro è pari alla differenza tra il diametro della circonferenza bianca e quello della circonferenza bianca, cioè 2-(1+t)=1-t. Il raggio, quindi, è pari a (1-t)/2. Il centro CDX giace sull'asse x, quindi anche la sua ordinata è zero. La sua ascissa , osservando la figura, è data, in modulo, dalla somma del segmento OD e del segmento D(CDX). Quindi:

cioè, fatti i conti:

Anche della circonferenza gialla, dunque, conosco raggio e coordinate del centro. Posso, pertanto, ricavarmene l'equazione, esattamente come ho fatto prima per la circonferenza bianca, trovando alla fine:

                           (4)

Giochiamo un po' con queste due circonferenze tra loro tangenti esternamente ed entrambe tangenti internamente a quella verde. Facciamo  riferimento alle tre figure riportate sopra. Se il parametro t assume valore zero, cioè il punto D coincide con l'origine degli assi, le due circonferenze diventano evidentemente simmetriche rispetto all'asse y.

L'equazione di quella  sinistra sarà:

mentre, l'equazione di quella destra sarà:

Se, invece, il parametro t assume valore pari a 1, la circonferenza bianca va a sovrapporsi su quella verde, mentre quella gialla degenera in un punto.

L'equazione della circonferenza a sinistra va a coincidere con quella della circonferenza verde:

mentre l'equazione della circonferenza a destra diventa:

Dai valori dei coefficienti a , b, c della suddetta equazione si deduce, come deve essere, che il centro coincide con il punto B (1,0) e che il raggio è pari a zero. Infatti la circonferenza, come si è detto, degenera nel punto B.

Se, infine, il parametro t assume valore pari a -1, valgono le stesse considerazioni fatte prima, ma in forma simmetrica rispetto all'asse y. Cioè, in tal caso sarà la circonferenza a sinistra a degenerare in un punto, il punto A, mentre la circonferenza a destra andrà a sovrapporsi a quella verde.

Bene, ora passo a ricavarmi l'equazione della quarta circonferenza, tangente esternamente a quella bianca e a quella gialla e tangente internamente a quella verde. Le incognite sono tre, le due coordinate del centro e il raggio. Ho bisogno, quindi, di tre equazioni linearmente indipendenti nelle suddette tre incognite.

Geometricamente, due circonferenze sono tra loro tangenti esternamente se la distanza tra i loro centri è pari alla somma dei raggi. Due circonferenze sono, invece, tra loro tangenti internamente se la distanza tra i loro centri è pari alla differenza dei raggi. Le due seguenti figura illustrano la situazione.

Basta, allora, applicare le suddette proprietà alle quattro circonferenze , prese a due a due. Per facilitare il compito, riepilogo di seguito i dati relativi alle quattro circonferenze:

Circonferenza verde

                    (raggio)

Circonferenza bianca

         (raggio)

Circonferenza gialla

       (raggio)

Circonferenza ciano (da determinare)

Ricordando la formula della distanza tra due punti nel piano, impongo la condizione di tangenza esterna tra la circonferenza bianca a quella ciano:

Sostituendo le espressioni e i valori noti ottengo:

                              (5)

Ora impongo la condizione di tangenza esterna tra la circonferenza gialla e quella ciano:

cioè:

                             (6)

Infine, impongo la condizione di tangenza interna tra la circonferenza verde e quella ciano:

cioè:

                                                           (7)

Mettendo a sistema le (5), (6) e (7) alla fine ricavo (evito i passaggi matematici, comunque agevoli. Per eliminare la radice quadrata, che è presente solo al primo membro, basta elevare al quadrato primo e secondo membro):

In corrispondenza del generico valore del parametro t, quindi, conosco ora le coordinate del centro e il raggio, quindi tutto, della circonferenza cercata. Il segno presente al secondo membro dell'equazione che mi restituisce l'ordinata del centro sta ad indicare che il centro si può trovare sia sopra sia sotto l'asse x, come in effetti era prevedibile semplicemente guardando la figura iniziale. Il problema, cioè, ha una simmetria rispetto all'asse x. Per ciascun valore del parametro t, avremo due circonferenze con le caratteristiche richieste, una sopra e una sotto l'asse x.

Mi resta da determinare l'arco della curva percorsa dal centro delle circonferenza cercata al variare di t. A questo proposito, posso considerare il centro come il generico punto di tale curva. Poiché conosco le coordinate del punto al variare del parametro t, è come se conoscessi già le equazioni parametriche della curva. Posso , cioè, individuare la curva attraverso le sue equazioni parametriche:

con t variabile tra -1 e 1. Nelle seguente figura, il tratto di curva è disegnato di colore rosso. Per semplicità, viene considerato solo l'arco posto al disopra dell'asse x.

La seguente animazione, invece, riprende il percorso del centro CC al variare del parametro t nell'intervallo -1, 1.

Volendo, posso determinare l'equazione in forma esplicita della curva, cioè nella forma , andando , come si suol dire, ad eliminare il parametro dalle suddette due equazioni parametriche. Così facendo, trovo:

Infine, posso ricavare l'equazione della curva in forma implicita, cioè nella forma . In questo caso ottengo:

Il segno sta ad indicare che in realtà le curve sono due, una sopra e una sotto l'asse x.

Sicuramente, il modo in cui ho trovato la soluzione del problema non è l'unico possibile. Avete da suggerirne uno alternativo ? Sarò ben lieto di leggerlo nei commenti.