Fabrizio ha praticamente risolto la prima parte del quiz ed è sicuramente a buon punto con la seconda. Ho deciso, comunque, di dare la soluzione, dato che il quiz è in visione da parecchio tempo. Leggete l'articolo perché vi propone un esercizio molto ... pratico!

Cominciamo col dimostrare graficamente che il centro della bottiglia più in alto è sempre a metà della base della scatola. Come già detto da Fabrizio è una questione di ... rombi.

Consideriamo la Fig. 1 che è un caso particolare, ma il risultato non dipende assolutamente dalla disposizione iniziale della fila di bottiglie che formano la base della piramide, tranne che possano starcene solo 4 e due siano a contatto con i bordi della scatola.

Le bottiglie siano colorate in azzurro chiaro. Basta che si dimostri che AB = BC e automaticamente risulta che B è a metà strada tra A e C. Infatti, dimostrando  che AB = BC si dimostra che il triangolo ABC è isoscele e, dato che in un triangolo isoscele la mediana tracciata da B è anche la bisettrice, risulta che B è a meta strada tra A e B.

Ribaltiamo la piramide rispetto alla base mantenendo fisse le bottiglie della base: si ottengono le bottiglie bianche della parte bassa. Determiniamo tutti centri delle varie bottiglie e ci accorgiamo di avere una bellissima rete di rombi, che hanno i lati sono tutti tra loro. Infatti, ogni lato (comunque si deformi il rombo) è sempre dato dal doppio del raggio delle bottiglie. Consideriamo i tre rombi più a sinistra nella figura, ossia BRQN, NQPM e  MPM'A. Tutti loro lati sono uguali e avendo tutti un lato in comune questi lati devono anche essere paralleli tra loro (in un rombo i lati opposti sono uguali e paralleli). Ne segue che BR è uguale e parallelo ad AM'. Congiungendo direttamente B con A e R con M', otteniamo un parallelogramma e, come tale, devono anche essere uguali e paralleli i lati AB e RM'. Spostandosi verso destra, consideriamo la nuova fila di rombi e poi le altre due. Non c'è bisogno di tante parole per dire che risulta anche M'R = N'S = B'C. In particolare:

AB = B'C

Ma B'C, per costruzione della piramide capovolta, deve essere uguale a BC. Ne segue che:

AB = BC

Come volevasi dimostrare!

E questo vale ovviamente per ogni disposizione delle bottiglie della prima fila.

Questo risultato non è certo banale e ha importanti ripercussioni non solo sull'inscatolamento, ma anche su altri campi, ancora tutti da investigare. Lo scopritore è  un esperto di informatica, Charles Payan, del Laboratorio di Strutture Discrete e Didattiche francese. Ma la faccenda prende risvolti ancora meno prevedibili e che sembrano ovvi, mentre non lo sono affatto. Tra parentesi Payan ha scoperto la configurazione mentre lavorava sul software informatico CABRA, uno strumento utilissimo sia in geometria che in molti altri campi applicativi (non chiedete a me perché sono un perfetto ignorante in questo tipo di approccio...).

Consideriamo la nostra piramide primitiva, duplichiamola e facciola ruotare attorno alla bottiglia più alta, di centro B) di 180 ° (Fig. 2).

Per come è stata costruita, la linea che contiene i centri delle bottiglie più in alto è parallela a quella che contiene i centri della linea più bassa. Negli spazi vuoti, sia a destra che a sinistra, è facile vedere che si inseriscono perfettamente sei nuove bottiglie, tre da una parte e tre dall'altra. Quello che vediamo, alla fine, è che vi è un perfetto inserimento delle 25 bottiglie. Date le condizioni di partenza (larghezza della base della scatola e numero di bottiglie che ne formano la base), dopo un certo numero di file ( qualsiasi sia il numero di bottiglie che si inseriscono nella base) si ottiene SEMPRE il perfetto allineamento con la base. Un risultato che sembra ovvio, adesso, ma che era sconosciuto fino a pochi anni fa e che apre scenari interessantissimi in molti campi sia teorici che pratici. Ed ecco cos'è il numero sette: le righe orizzontali di bottiglie che ci regalano la parte superiore nuovamente rettilinea. In generale esso sarà dato da 2n- 1, dove n è il numero di bottiglie della base. Provare per credere!

La scoperta apre anche scenari molto divertenti e INVITO i più pratici tra voi (vero Frank o Arturo o ...?) a costruire il modellino che vi propongo adesso:

Invece di considerare le bottiglie consideriamo i segmenti che ne uniscono i centri (ossia i lati dei rombi). Ciò che appare è rappresentato in Fig. 3.

E' facile, a questo punto, costruire un modello in ferro e legno (ad esempio) come mostrato in Fig. 4, a partire dalla struttura che ha le cerniere (palline blu) di base equidistanti tra loro, creando una configurazione perfettamente simmetrica.

Le due cerniere rosse sono fissate a una tavola, mentre le tre verticali, ai due bordi della tavola, possono scorrere solo lungo la rispettiva verticale, così come A e B possono scorrere solo lungo la linea orizzontale di base. Tutte le altre cerniere sono ovviamente legate al movimento di A e B. Tuttavia, è bene imporre un limite sia allo scorrimento verticale che orizzontale, come mostrato dai blocchi segnati con un punto interrogativo. In modo analogo è anche corretto porre un distanziatore tra A e B (anch'esso segnato con un punto interrogativo). Chi lo costruirà capirà subito il perché... Lascio al costruttore, perciò, il compito di spiegare questa necessità (ricordando che il tutto nasce da bottiglie che hanno un certo raggio di base). Quando arriveranno le immagini della prima costruzione fatta da un nostro lettore spiegheremo l'arcano e come si possa rompere l'interessante risultato di Payan.

Ecco un esempio...

Qui il quiz