Questo articolo è stato inserito nella sezione d'archivio "Matematica e Geometria"

Prima di passare a cose più serie divertiamoci un po' con la scatola di Galton, in qualche modo l'antenato del ben più noto "flipper".

Il Monte Meru, che d'ora in poi chiameremo Triangolo di Tartaglia (un po' di campanilismo si può anche accettare), spunta fuori in modo molto divertente da un gioco inventato da Sir Francis Galton, poliedrico scienziato vissuto tra l' 800 e l'inizio del '900, cugino del ben più famoso Charles Darwin.

Vediamo da vicino come funziona...

Costruiamo una specie di piramide fatta di pioli in numero crescente dall'alto verso il basso come rappresentato in Fig. 1.

Abbiamo a disposizione 16 palline e vogliamo farle cadere a una a una in modo che colpiscano il primo piolo e poi proseguano il loro cammino verso il basso picchiando, di conseguenza, sugli altri pioli. Dopo 4 righe di pioli inseriamo delle vaschette che possano contenere le palline che cadono.

Studiamo, innanzitutto, tutti i possibili tragitti delle palline verdi e vediamo in quali contenitori riescono a cadere.

Le varie possibilità sono illustrate in Fig. 2. La prima riga mostra i tragitti (anzi, l'unico tragitto, necessario per cadere nel primo contenitore; la seconda i percorsi relativi al secondo contenitore; la terza quelli relativi al terzo).

E'  inutile proseguire, dato che andando nel quarto e quinto contenitore si ripete la configurazione del secondo e del primo, in modo simmetrico rispetto all'asse della piramide di pioli. Alla fine, otteniamo la Fig. 3.

Contiamo le palline e abbiamo la sorpresa (?) che esse sono proprio i numeri del Triangolo di Tartaglia,  relativi alla sua quarta riga. Otterremmo lo stesso risultato ingrandendo la piramide e aggiungendo altri contenitori.  Ogni piolo, infatti, si comporta come i numeri del triangolo e ad ognuno di essi è associato il numero di percorsi che possono portare fino a lui. Le palline che cadono seguono proprio la costruzione del celebre triangolo!

Ovviamente se facciamo cadere 16 palline è estremamente difficile ottenere il risultato appena descritto, dato che ad ogni piolo la probabilità di andare a sinistra o a destra è esattamente la stessa. Tuttavia, se facciamo cadere un gran numero di palline, alla fine, comincerà a uscire fuori la disposizione ideale con una distribuzione "normale". Il ragionamento è molto semplice, senza bisogno di passare a formule matematiche.

I contenitori laterali hanno solo una probabilità su 16 di essere raggiunti (un solo tragitto su sedici arriva in ciascuno di loro). La probabilità aumenta andando verso il contenitore centrale, che può essere raggiunto in 6 modi diversi. Quelli che lo fiancheggiano hanno, invece, quattro probabilità su 16, ciascuno, di essere raggiunti.

Il video mostra un caso molto ben significativo.

Partendo da questa distribuzione si sono costruiti vari giochi tra cui, anche se molto più complicato e variegato, il celebre flipper.

Va bene, ci siamo divertiti un po'. La prossima volta cerchiamo di essere più seri e cominciare a scoprire gli innumerevoli segreti del Monte Meru, alias Triangolo di Tartaglia.

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