Questo quiz, puramente geometrico, mi sembra particolarmente interessante, non solo per il problema che pone, ma anche per i dubbi che sembrerebbe sollevare fin dalla sua presentazione: l'esagono è proprio una figura speciale!
Ho recuperato il quiz per puro caso, nella rete, e ciò che ha sollevato un interesse particolare è stata proprio la sua descrizione. In poche parole, ho visto che attorno ai suoi dati iniziali e alla loro veridicità è stato sollevato un vero e proprio vespaio di dubbi e di spiegazioni spesso poco convincenti. Ne consegue che, prima di proporvelo, voglio proprio mostrare come quelli che vengono presentati come valori dei termini noti siano più che plausibili. Una dimostrazione molto semplice, basata sulla visione diretta delle possibili configurazioni.
Il quiz può essere riassunto nella Fig. 1.
Figura 1
Esso chiede di calcolare l'area dell'esagono, conoscendo le tre distanze tra i lati opposti. Proprio qui sono sorti molti dubbi, che possono essere riassunti nella semplice domanda: "Come fa un esagono con tutti lati uguali e paralleli (quelli opposti) ad avere tre distanze tra i lati opposti diverse? Sembrerebbe che per questioni di simmetria ne dovrebbe sempre avere almeno due uguali". La spiegazione che vi espongo, in modo del tutto visivo e pratico, mi sembra più che esaustiva...
Dato che, però, la spiegazione potrebbe, in qualche modo, aiutare nella soluzione del quiz, preferisco nasconderla. Chi è come San Tommaso può sempre leggerla e, convintosi, andare avanti. Chi invece vuole dimostrare da solo la veridicità della configurazione di partenza o credermi sulla parola, per non essere influenzato, può saltarla e affrontare tranquillamente il problema.
Consideriamo un esagono regolare. La sua caratteristica è di avere tutti e sei lati uguali e, contemporaneamente, anche i suoi angoli (12o°). Lo disegniamo a sinistra della Fig. 2.
Figura 2
Tra le varie caratteristiche, l'esagono regolare ha tutte e tre le diagonali (che uniscono i vertici diametralmente opposti) uguali e altrettanto uguali sono le tre distanze tra i lati opposti paralleli. Ogni diagonale divide l'esagono in due parti esattamente uguali e perfettamente simmetriche. La stessa cosa capita considerando le distanze tra i lati opposti. Consideriamo come asse di riferimento proprio una di queste distanze e la disegniamo nel senso orizzontale.
A questo punto, possiamo divertirci a schiacciarlo (in senso orizzontale), mantenendo comunque l'uguaglianza dei lati e il parallelismo dei lati opposti. Otteniamo, così, l'esagono rosso centrale. Prendendo come riferimento la distanza orizzontale, risulta subito chiaro che le altre due distanze diventano più corte, pur rimanendo uguali. La simmetria rispetto alla distanza orizzontale rimane valida.
Il terzo esagono (blu), a destra, sembrerebbe non differire molto da quello centrale e, invece, mantiene le stesse caratteristiche di uguaglianza tra lati e di parallelismo tra quelli opposti. ma presenta le tre distanze diverse tra di loro, come si vede bene considerando sempre come riferimento quella orizzontale. Quest'ultimo esagono non solo è stato "schiacciato", ma ha anche subito una rotazione che si vede bene confrontando la linea verticale verde v e la diagonale più lunga. La distanza di riferimento resta orizzontale, così come risultano verticali i due lati corrispondenti, ma la simmetria non è più mantenuta. In realtà, le due parti in cui viene diviso l'esagono sono ancora uguali, ma per sovrapporsi devono prima ribaltarsi secondo la distanza orizzontale e poi anche rispetto alla verticale; oppure -se preferite- la parte superiore (o inferiore) deve ruotare attorno al centro dell'esagono (punto d'incontro delle diagonali) di 180° per sovrapporsi all'altra.
La Fig. 1 è in perfetto accordo con i valori delle distanze. Questi numeri sono stati scelti per permettere al risultato finale di essere "tondo".
complimenti vivissimi ! Io ho usato un approccio leggermente differente (in alcune parti), ma il risultato è corretto! Bravo, veramente bravo... non era un problema facile...
Chi vuole cercare di risolverlo NON VADA A LEGGERE LA SOLUZIONE di Andy.
4 commenti
Provo a dare la mia soluzione (spero), anche se devo ammettere che è stata piuttosto laboriosa.
#1 https://i.imgur.com/doCM52R.png
#2 https://i.imgur.com/fLzsVL4.png
#3 https://i.imgur.com/IChQ6Pk.png
#4 https://i.imgur.com/ag3H2Os.png
caro Andy,
complimenti vivissimi
! Io ho usato un approccio leggermente differente (in alcune parti), ma il risultato è corretto! Bravo, veramente bravo... non era un problema facile...
Chi vuole cercare di risolverlo NON VADA A LEGGERE LA SOLUZIONE di Andy.
Caro Andy, tu sei proprio una sicurezza!!!
Caro Enzo ti ringrazio,
ma confesso di aver sbirciato nella parte di testo nascosto del problema
e questo mi ha dato qualche indizio, unito alla frase finale "Questi numeri sono stati scelti per permettere al risultato finale di essere "tondo"."
Comunque, che sia un esalatero equiangolo o un esalatero bi-equiangolo alternato, sempre esagono rimane
Eh sì, caro Andy, l'esagono è proprio una figura speciale e sto scrivendo un articolo dedicato a lui!