Questo è il sedicesimo articolo della serie "La Relatività Generale al microscopio"

Siamo giunti alla fine e ci permettiamo di scherzare un pochino sulla costruzione della formula finale. Quando le cose sembrano non tornare basta "manipolare" un po' le formule. No, no, non confondiamo il concetto di fondo (l'uguaglianza tra le due parti dell'equazione) con un metodo semplificato che ci permette di ricavare il risultato finale in modo rapido. Dietro c'è tutta la matematica più adatta allo scopo.

Passiamo ora alla parte sinistra , quella per la quale si è lavorato così a lungo. Esso non dovrebbe essere altro che il tensore di Ricci, costruito con tanta pazienza e precisione. In pratica, dovremmo avere:

R_μν = 8π G T_μν 

Tutto a posto? Purtroppo no! La parte destra rappresenta l'energia e sappiamo molto bene che essa si deve conservare. Il che vuole anche dire che non può subire variazioni e quindi la sua derivata deve essere ZERO.

∂T_μν  = 0

Ciò, però, imporrebbe che anche

∂R_μν = 0

Basta calcolarlo... e, purtroppo, il risultato non segue quanto ci si poteva aspettare.

Cerchiamo di essere più precisi e usiamo le derivate covarianti (abbiamo fatto tanta fatica per costruirle...):

∇T_μν  = 0

∇R_μν  ≠ 0

Facendo i calcoli (!) la derivata covariante del tensore di Ricci risulta uguale a:

∇R_μν  = 1/2 ∇g_μν  R

dove R è uno scalare, che rappresenta la curvatura in ogni punto dello spaziotempo. Si può costruire  eseguendo, in pratica, un prodotto scalare tra i vettori.

Bene... è molto facile risolvere la faccenda: invece di scrivere solo il tensore di Ricci basta togliergli la parte che non faceva diventare zero la sua derivata. In tal modo siamo sicuri che:

∇(R_μν  - 1/2 g_μν  R) = 0

Perfetto, adesso la massa può conservarsi tranquillamente, dato che anche il termine geometrico di sinistra non subisce variazioni. Possiamo perciò (finalmente) scrivere:

R_μν  - 1/2 g_μν  R = 8π G T_μν 

L'ho presa un po' ironicamente, ma l'aggiunta di quel termine deriva da implicazioni matematiche ben precise e non è certo solo una "pezza" messa per far tornare i conti!

Ancora una piccola correzione per far tornare le dimensioni...

                                        R_μν - 1/2 g_μν  R = 8π G T_μν /c⁴

Mamma mia ... che fatica!

Ancora una puntata, però, per concludere con il celebre "errore" di Albertino.