Categorie: Matematica Riflessioni
Tags: concorso ippico ostacoli percorso quiz
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:12
Concorso equestre **/***
A qualcuna/o piacciono i concorsi ippici ? Bene, questo è il quiz che fa per lei/lui !
Il signor X è stato incaricato di preparare tutti i possibili percorsi per una gara equestre di salto ad ostacoli. Ha, però, a disposizione solo sette blocchi con i quali si possono fare ostacoli più o meno complessi. Lo svolgimento della gara è del tutto libero. Ad esempio, può basarsi su una lunga distanza da percorrere, ma con ostacoli facili (al limite, un percorso con 7 ostacoli da un blocco ciascuno). Può, però, favorire la potenza del salto e allora può inserire i 7 blocchi tutti assieme (un percorso corto con un solo ostacolo molto difficile). Ovviamente, si possono dividere i blocchi come si vuole e fare percorsi più o meno lunghi con un certo numero di ostacoli più o meno difficoltosi. I percorsi possono anche ripetere gli stressi ostacoli, se inseriti in ordine diverso; ad esempio, tre ostacoli, uno da 1 blocco, uno da 2 e uno da 4, ma anche uno da 4, uno da 2 e l'ultimo da 1. I due percorsi sono considerati diversi.
N.B.1: I blocchi vanno posti soltanto uno sopra l'altro e non possono essere affiancati
N.B.2: E' obbligatorio usare sempre tutti i blocchi in ogni gara!
Ecco, nella figura che segue, i nostri 7 blocchi, due percorsi di gara possibili e un caso di ostacolo non ammesso
Quanti percorsi riesce a preparare il signor X? **
Quale ragionamento bisogna fare, fin dall'inizio, per calcolare il numero di gare possibili ?***
N.B.: la seconda domanda implica un calcolo a priori, senza nessuna possibilità di avvicinarsi al risultato per tentativi successivi.
QUI la soluzione
12 commenti
Caro Enzo,
secondo il mio modestissimo ragionamento,
la logica di base dovrebbe essere quella di numerare il numero di ostacoli effettivamente disposti, anche in maniera combinata, e contare la ripetitività dei gruppi disposti.
Un esempio rende il discorso più chiaro:
se dispongo i 7 blocchi in tre gruppi da 1 e due gruppi da 2,
avrò una sequenza di 5 ostacoli che posso disporre come segue:
11122 22111 | 12112 21121
11212 21211 | 21112 21112
11221 12211 | 21121 12112
12112 21121 | 21211 11212
12121 12121 | 22111 11122
le disposizioni le ho costruite tenendo le prime due cifre fisse e facendo “ruotare” le successive tre.
Per ogni disposizione, ho scritto la stessa riflessa allo “specchio” e per ogni disposizione che si ripete ho tagliato il/i clone/i. Alla fine sono rimaste 10 disposizioni (ad ogni disposizione corrisponde un percorso). Il numero di disposizioni si potrebbe ottenere come:
il fattoriali degli ostacoli effettivamente costruiti diviso il prodotto dei fattoriali del numero di gruppi ripetuti, nell’esempio: numero di ostacoli 5, 3 gruppi da uno e 2 gruppi da due
5! / (3! × 2!) = 10
Con tempo e pazienza, si possono calcolare tutte le disposizioni ripetute (con il limite della somma dei singoli blocchi pari a 7) e ricavare il numero di disposizioni / percorsi.
Caro Enzo, vedo che hai mantenuto la promessa di non fare quiz facili.
Io ci provo lo stesso, però sconsiglio gli altr@ di leggere tale tentativo, sia perché non vi è certezza che la soluzione sia corretta e anche se fosse non è detto che risponda correttamente alla seconda domanda, per cui rischiate solo di confondervi le idee.
Dunque, innanzitutto avendo a disposizione 7 segmenti, con questi posso sicuramente costruire una serie di percorsi diversi, semplicemente “scomponendo” il numero 7:
Sarebbe troppo facile limitarsi a questi 15 percorsi, poiché un percorso è diverso dall’altro anche se gli ostacoli sono disposti in maniera differente sul percorso.
Prima di rivedere il numero di percorsi possibili, a mio avviso conviene definire tre regole da applicare a quei 15 percorsi:
Applicando queste regole ottengo:
7 = 1 percorso (regola A)
6+1 = 2 percorsi (regola B)
5+2 = 2 percorsi (regola B)
5+1+1 = 3 percorsi (regola B)
4+3 = 2 percorsi (regola B)
4+2+1 = 6 percorsi (regola C)
4+1+1+1 = 4 percorsi (regola B)
3+3+1 = 3 percorsi (regola B)
3+2+2 = 3 percorsi (regola B)
3+2+1+1 = 8 percorsi (regola C)
3+1+1+1+1= 5 percorsi (regola B)
2+2+2+1 = 4 percorsi (regola B)
2+2+1+1+1 = 10 percorsi (regola C)
2+1+1+1+1+1 = 6 percorsi (regola B)
1+1+1+1+1+1+1 = 1 percorso (regola A).
Quindi se il ragionamento è corretto i percorsi possibili sono 60.
Paolo
cari amici, posso dirvi che la faccenda è nettamente più semplice. Forse conviene cercare la formula da applicare in modo "empirico" e poi affrontare il "perché" della sua validità. Spero comunque che mi sia spiegato bene riguardo agli ostacoli e al loro numero. Ad esempio, se avessi 3 blocchi, potrei costruire solo 4 percorsi:
1 1 1
2 1
1 2
3
e via dicendo....
Mi viene il sospetto che il numero di percorsi potrebbe essere
2^(n-1) con n=numero di blocchi...
prova ... ma poi devi dimostrare anche il perché
Caro Enzo, intanto ho trovato un errore nel mio calcolo, per cui comincio con il correggere l’errore, poi vedrò di ragionare su una formula generale e sul perché si applica tale formula.
Dunque, lascio da parte le regole e provo a vedere quanti percorsi sono possibili:
7 = 1 percorso:
7
6+1 = 2 percorsi:
6-1
1-6
5+2 = 2 percorsi:
5-2
2-5
5+1+1 = 3 percorsi:
1-5-5
5-1-5
5-5-1
4+3 = 2 percorsi:
4-3
3-4
4+2+1 = 6 percorsi:
4-2-1
4-1-2
1-4-2
2-4-1
1-2-4
2-1-4
4+1+1+1 = 4 percorsi:
4-1-1-1
1-4-1-1
1-1-4-1
1-1-1-4
3+3+1 = 3 percorsi:
1-3-3
3-1-3
3-3-1
3+2+2 = 3 percorsi:
3-2-2
2-3-2
2-2-3
3+2+1+1 = 12 percorsi (prima erano erroneamente riportati 8 percorsi):
3-2-1-1
3-1-2-1
3-1-1-2
2-3-1-1
1-3-2-1
1-3-1-2
2-1-3-1
1-2-3-1
1-1-3-2
2-1-1-3
1-2-1-3
1-1-2-3
3+1+1+1+1= 5 percorsi:
3-1-1-1-1
1-3-1-1-1
1-1-3-1-1
1-1-1-3-1
1-1-1-1-3
2+2+2+1 = 4 percorsi:
1-2-2-2
2-1-2-2
2-2-1-2
2-2-2-1
2+2+1+1+1 = 10 percorsi:
2-2-1-1-1
2-1-2-1-1
2-1-1-2-1
2-1-1-1-2
1-2-2-1-1
1-2-1-2-1
1-2-1-1-2
1-1-2-2-1
1-1-2-1-2
1-1-1-2-2
2+1+1+1+1+1 = 6 percorsi:
2-1-1-1-1-1
1-2-1-1-1-1
1-1-2-1-1-1
1-1-1-2-1-1
1-1-1-1-2-1
1-1-1-1-1-2
1+1+1+1+1+1+1 = 1 percorso:
1-1-1-1-1-1-1
Quindi se il ragionamento è corretto i percorsi possibili sono 64.
Paolo
cari Andy e Paolino,
il primo passo è fatto, avanti con una possibile spiegazione...
Caro Enzo, Andy ci ha messo la formula (che a mio avviso è corretta, dato che empiricamente funziona, anche cambiando il numero di blocchi) io il totale, ora ci tocca trovare una spiegazione...
Paolo
Ho provato disponendo le possibili configurazioni in funzione dei blocchi:
il numero rosso indica il numero di blocchi,
le configurazioni a "scalare" di blocchi alla destra delle freccette, il numero di disposizioni con ripetizione relativa alla singola configurazione,
il numero in verde la somma delle possibili disposizioni con ripetizione relativa ad ogni singola configurazione (e quindi i possibili percorsi per n blocchi):
Onestamente non so se c'entri con la risoluzione del problema, ma una cosa interessante che ho notato è che la somma del numero di disposizioni possibili relative ai singoli n blocchi, è pari alla somma dei coefficienti numerici di un binomio elevato alla n – 1:
per n = 1 → (a + b)^0 = 1
per n = 2 → (a + b)^1 = 1+1 = 2
per n = 3 → (a + b)^2 = 1+2+1 = 4
per n = 4 → (a + b)^3 = 1+3+3+1 = 8
per n = 5 → (a + b)^4 = 1+4+6+4+1 = 16
per n = 6 → (a + b)^5 = 1+5+10+10+5+1 = 32
per n = 7 → (a + b)^6 = 1+6+15+20+15+6+1 = 64
Un immagine visualizza meglio:
bene, bene... non manca molto, ma possiamo evitare i "binomi", bastano i "sospetti" di Andy
Fino a lì c'ero arrivato, ho anche pensato che la formulata derivi da:
(2^n)/(2^1)= 2 ^(n-1).
2^n dovrebbe essere il numero di possibilità con un numero n di blocchi, che poi deve essere diviso a metà per determinare il numero di percorsi possibili, ma questa è più una constatazione che una spiegazione
Paolo
Piccolo aiuto...
chissà come mai compare un n-1. Beh... n è il numero di blocchi, ma cosa può essere mai n-1 ? E poi c'è di mezzo un 2...