Quest'articolo tenta una dimostrazione geometrica unitaria della complanarità e non complanarità delle facce di solidi semplice come il tetraedro e la piramide. Lo fa attraverso le proiezioni e devo dire che la visione delle varie figure non è proprio banale, da cui i tre asterischi.

Devo dirvi che, in verità, il ragazzino che ha messo in crisi il test  di ammissione e, soprattutto, parecchi professori è stato davvero in gamba. Sembra banale visualizzare un solido in tre dimensioni, ma quando esso perde ovvie simmetrie la sua rappresentazione non è assolutamente facile.

In questo articolo voglio cercare di visualizzare i vari problemi posti nelle domande attraverso le proiezioni dei solidi che si ottengono e, come conseguenza, dimostrare la complanarità o la mancanza di complanarità di certe loro facce.

Innanzitutto rispondiamo in modo quasi banale alla domanda principale, ossia a quella che ha portato al piccolo-grande "scandalo".

Effettivamente le facce complanari dell'unione di una piramide a base quadrata avente tutti gli spigoli uguali all'unità e di un tetraedro avente anch'esso tutti gli spigoli uguali all'unità sono soltanto 5 e non 7. Aver data per buona, come conclusione finale della commissione esaminatrice sia 5 che 7, è da considerare un grave errore e una vero e proprio tentativo di salvare la faccia arrampicandosi su un muro. La soluzione, che probabilmente ha utilizzato il ragazzino, è mostrata nella figura tridimensionale che segue (Fig. 1).

Disegniamo due piramidi, come la nostra, affiancando due lati del quadrato di base e ponendo i quadrati su uno stesso piano. Per costruzione, i piani delle facce colorata in azzurro devono coincidere. Uniamo, adesso i due vertici delle piramidi. Il segmento che le congiunge è proprio uguale all'unità. Il solido che si sistema perfettamente tra le due piramidi è esattamente il tetraedro di partenza. Ma la sua faccia colorata in rosa deve essere complanare con le due facce azzurre delle piramidi, dato che essa individua un piano che ha ha in comune con quella delle due piramidi due rette passanti per uno stesso punto. Di conseguenza, il piano della faccia rosa è lo stesso del piano delle due facce azzurre. Eliminando una delle due piramidi, ciò che resta è proprio il nostro solido che mostra chiaramente solo 5 facce. Questo è anche il metodo che ha utilizzato Andy.

Tanti complimenti al ragazzino (e anche ad Andy e a Fabrizio).

Tuttavia, noi vogliamo cercare di dimostrare la complanarità tra facce di solidi in modo più generale.

Prima di iniziare calcoliamo i volumi del tetraedro e della piramide, dato che, oltretutto, certe lunghezze ci verranno utili per lo scopo prefissato.

Cominciamo con il più facile, quello della piramide. La sua altezza, si trova facilmente applicando il teorema di Pitagora al triangolo che ha come ipotenusa lo spigolo unitario della piramide e come un cateto la metà della diagonale della base quadrata (Fig. 2).

Quest'ultima vale √2 e, quindi, la metà vale √2/2.

h_pir = √(1 - 2/4) = √1/2 = 1/√2 = √2/2

Risultato, questo, che dovevamo aspettarci dato che il triangolo rettangolo considerato è, per costruzione, isoscele.

Il volume della piramide (1/3 dell'area di base per l'altezza) vale, allora:

V_pir = (1/3) · 1 · √2/2 = √2/6

Passiamo adesso al volume del tetraedro. La faccenda è leggermente più difficile, ma non di molto, ricordando che il piede dell'altezza cade a 2/3 dell'altezza del triangolo equilatero di base, rispetto al vertice (Fig. 3).

Basta, allora, applicare il teorema di Piragora al triangolo che ha per ipotenusa uno spigolo unitario e per cateto proprio i 2/3 dell'altezza del triangolo di base. Ma  questa altezza vale √3/2, per cui il cateto ha come lunghezza i 2/3 di √3/2, ossia √3/3. Il teorema di Pitagora ci dice allora che:

h_tet = √(1 - 3/9) = √(1 - 1/3) = √(2/3) = √6/3

Da cui

V tet = (1/3) 1/2 (√3/2) (√6/3) = √18/36 = 3√2/36 = √2/12

Da cui segue che il volume del tetraedro è esattamente la metà di quello della piramide.

 

Sfruttiamo, adesso, la definizione di piani perpendicolari tra loro e costruiam0 un ovvio "lemma".

Due piani nello spazio sono  perpendicolari se esiste una retta, in uno dei due piani, perpendicolare all'altro piano. Riferiamoci alla Fig. 4, parte sinistra.

La retta r sia perpendicolare al piano a. Qualsiasi piano b che contenga la retta r è allora perpendicolare al piano a. Il piano b taglia il piano a lungo la retta s. Ne segue che tutti i segmenti del piano b, proiettati sul piano a, devono stare lungo la retta s. Nella parte destra della Fig. 4, poniamo il piano a come piano del foglio. Ne segue che tutto ciò che è contenuto nel piano b deve far parte della retta s, compresi, quindi, i segmenti m e n, che si proiettano in m' e n'.

Ovviamente, noi conosciamo molto bene un sistema che risponde alle nostre esigenze: una terna di assi ortogonali. L'asse  x, ad esempio, è perpendicolare al piano yz, che prende il posto del precedente piano a. Ne segue che qualsiasi piano b che contenga l'asse x deve essere perpendicolare al piano yz. Questo piano deve tagliare il piano yz secondo una certa linea s e tutti i segmenti che appartengono a questo piano devono proiettarsi sulla retta s. Se un suo segmento non si proietta sulla retta s, non appartiene al piano b. Se, invece, esistono almeno due rette che si proiettano sulla retta s, il piano che le contiene deve essere proprio il piano b.

 

Iniziamo con la piramide e il tetraedro. Il lato della piramide è scelto come asse x e, quindi, il piano yz come piano perpendicolare. Per quanto detto nel lemma precedente, se almeno due segmenti del piano contenente la faccia del tetraedro si proiettano su un segmento della faccia della piramide, tutto il piano della faccia del tetraedro deve coincidere con il piano della faccia triangolare della piramide (per due rette passa uno e un solo piano). Se, invece, troviamo anche solo un segmento che non si proietta sulla traccia della faccia della piramide nel piano yz, la faccia del tetraedro non è complanare con quella della piramide.

Per ricavare le lunghezze di tutti i segmenti utili allo scopo disegniamo, innanzitutto, le tre proiezioni del nostro solido nei tre piani cartesiani, come mostrato in Fig. 5, dove, per il momento, poggiamo sia la piramide che il tetraedro sul piano xy, con uno spigolo di base coincidente. La proiezione a sinistra in alto è relativa al piano xy, quella a sinistra in basso, al piano xz e quella a destra in alto al piano yz.

La non complanarità delle due facce (azzurra e rosa) risulta chiara nella proiezione sul piano yz. L'asse x è perpendicolare al piano yz e quindi qualsiasi piano che lo contenga deve essere perpendicolare al piano yz. Tra questi, anche quello che contiene la faccia azzurra (AOB) della piramide.  Infatti, nella proiezione sul piano yz i due spigoli della faccia azzurra si proiettano sullo stessa retta (OA = OB). Se, invece, proiettiamo il piano della faccia rosa del tetraedro (BCD), troviamo che almeno un suo segmento (ad esempio AC) NON si proietta sulla retta OA. Il nostro lemma ci assicura che le due facce non sono complanari.

Passiamo, adesso, al solido che ci interessa, ossia il tetraedro che abbia un faccia triangolare in comune con la piramide. Per far ciò basta ruotare il tetraedro come mostra la Fig. 6.

Non è difficile disegnare le proiezioni delle due facce precedenti sul piano yz. In questo caso tutti i segmenti cadono sulla stessa retta e quindi i piani coincidono. In tal modo è dimostrata la complanarità delle due facce triangolari.

 

Affrontiamo ora il caso delle due piramidi. Iniziamo nuovamente, con mire essenzialmente didattiche, da due piramidi aventi solo uno spigolo della base quadrata in comune (Fig. 7)

La proiezione sul piano yz ci mostra nuovamente che le tracce delle facce azzurra e rosa coincidono e quindi i due piani sono complanari (risultato più che ovvio già  dall'inizio).

Ruotiamo adesso la piramide rossa in modo che combacino due facce triangolari, come mostrato in Fig. 8.

Nella proiezione sul piano yz la faccia azzurra si proietta sul segmento OA = OB, mentre la faccia rosa presenta come traccia almeno un segmento (ad esempio, AD) che non giace sulla retta AO. Non vi è complanarità.

 

Affrontiamo, ora, il caso dei due tetraedri. Iniziamo, come al solito, poggiando dapprima i due tetraedri nel piano xy in modo da avere un solo spigolo in comune, come mostra la Fig. 9

Nella proiezione sul piano yz la faccia azzurra ha come traccia il solo segmento OB = OA, mentre la faccia rosa ha tutte e tre le tracce (O'B, O'D e OD) non coincidenti con OB. Le due facce non sono assolutamente complanari.

Occupiamoci, infine, dei due tetraedri aventi una faccia in comune. Per facilitare la costruzione delle proiezioni  conviene prima disegnare il solido proiettato sul piano x'y' e poi ruotare gli assi in modo che x coincida con la retta AB, come mostra la Fig. 10

In tal modo è immediato trovare le proiezioni dei punti O', D' ed E' sui nuovi assi x e y

A questo punto disegniamo le proiezioni del solido sui tre piani cartesiani xy, xz e yz, come mostra la Fig. 11.

La faccia azzurra coincide con il segmento OA = OB nel piani yz, mentre la faccia rosa ha come una  sua proiezione OD e quindi non è complanare.

Tralasciamo il caso, ultra ovvio, in cui le piramidi abbiano in comune la base quadrata, che immediatamente porta alla non complementarità delle facce adiacenti, e commentiamo brevemente ciò che abbiamo fatto. Pur avendo a che fare con solidi estremamente semplici, la visione delle loro proiezioni non è  cosa immediata e facilmente visibile. Bisogna ragionare con calma e cercare di seguire la costruzione punto per punto, considerando le rispettive coordinate. Perché ho messo in piedi un procedimento che sembra estremamente complicato viste le domande proposte? Per due motivi: innanzitutto per divertirci un po' con le proiezioni e pensare all'abilità che avevano gli antichi greci. Divertimento quasi obbligatorio se non si vuole passare a disegni tridimensionali, che, spesso, possono facilmente ingannare. In fondo, siamo abituati a vedere in due dimensioni... Poi, per la volontà di trovare un procedimento che sia sempre lo stesso per qualsiasi solido. Sicuramente, le soluzioni potevano essere trovate utilizzando ragionamenti diversi caso per caso, ma attraverso il lemma che abbiamo stabilito all'inizio tutto è stato dimostrato in modo univoco.

Può probabilmente darsi che vi siano metodi altrettanto generali e più semplici di quello usato da me e vi invito caldamente a propormelo. Niente geometria analitica, però...

Riassumendo, le risposte alle domande del "quiz" sono le seguenti:

1) Il volume della piramide è doppio di quello del tetraedro.

2) Un tetraedro e una piramide di spigolo unitario, che abbiano una faccia triangolare in comune, hanno solo 5 facce.

3) Due piramidi a base quadrata e di spigolo unitario, che abbiano due facce triangolari in comune, hanno 5 + 5 - 2 = 7 facce.

4) Due tetraedri di spigolo unitario che abbiano una faccia in comune hanno 4 + 4 - 2 = 6 facce