Categorie: Matematica
Tags: matematica soggettiva quadrato di un binomio quiz uno uguale a due
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:23
La matematica è un'opinione (CON SOLUZIONE)**
Il titolo può essere smentito facilmente. Se vi dicessi che uno è uguale a due, mi direste che è un clamoroso errore. Se, però, vi dimostrassi che è vero, il titolo diverrebbe moto più plausibile. Proviamo ?
Per ottenere il risultato dobbiamo solo ricordare che:
(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab .... (1)
Tutti d'accordo? Direi proprio di sì, ma dando per buona questa relazione posso facilmente dimostrare che 1 = 2.
Prendiamo il numero - 6 e scriviamolo in un altro modo:
- 6 = 4 - 10
Tutti d'accordo? Molto bene... tuttavia, posso scriverlo ancora in un altro modo:
- 6 = 9 - 15
Penso che si continui ad essere d'accordo e, allora, dovete permettere di scrivere:
4 - 10 = 9 - 15
Continuiamo a scrivere ovvietà: interrompetemi solo quando non siete d'accordo...
4 - 2 x 5 = 9 - 3 x 5
4 - 2 x 2 x 5/2 = 9 - 3 x 2 x 5/2
ho soltanto moltiplicato e diviso (2 x 5) per 2. L'ho posso fare dato che 2 è diverso da zero.
Posso anche aggiungere da entrambe le parti uno stesso numero e l'uguaglianza deve continuare a essere valida. Come numero prendiamo (5/2)2 e otteniamo:
4 - 2 x 2 x 5/2 + (5/2)2 = 9 - 3 x 2 x5/2 + (5/2)2
sempre tutti d'accordo direi...
22 - 2x (2 x 5/2) + (5/2)2 = 32 - 2 x (3 x 5/2) + (5/2)2
Molto bene, entrambi i membri sono un quadrato e poss0 applicare la (1)
(2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2
Estraiamo la radice quadrata da entrambi i membri
2 - 5/2 = 3 - 5/2
semplifichiam0, eliminando lo stesso termine sia a sinistra che a destra
2 = 3
Togliamo 1 sia a sinistra che a destra
2 - 1 = 3 - 1
1 = 2
In poche parole, sia dire che 1 = 1 sia dire che 1 = 2 sono affermazioni corrette. La matematica è proprio un opinione!
Oppure no... e ho sbagliato da qualche parte?
N.B.: i più esperti aspettino un paio di giorni a dare la risposta...
SOLUZIONE
Sono state date risposte in qualche modo accettabili, ma soggette a una convenzione utilizzata normalmente e cioè quella di considerare come il risultato della radice quadrata di un quadrato SOLO il valore positivo. In realtà ciò non è matematicamente vero dato che sappiamo benissimo che il quadrato di un numero, sia positivo che negativo, risulta essere sempre positivo. Se estraggo nuovamente la radice quadrata di questo quadrato positivo perché mai non dovrei considerare anche la possibilità che derivi da un numero negativo?
Detto in poche parole di banale matematica:
Faccio il quadrato di 3 e -3 e ottengo sempre 9
32 = 9
(-3)2 = 9
Estraggo la radice quadrata di 9 e ottengo solo 3... Vi sembra giusto? Direi di no, dovrei ottenere sia 3 che - 3.
Ossia il risultato dell'estrazione di radice deve ammettere sia il segno + che il segno -:
+/- √9 = +/- 3
Tuttavia, l'uguaglianza vale solo per una certa scelta dei segni. Non vale se il primo segno è + e il secondo è meno, dato che avremmo:
+ 3 = - 3
Mentre vale per segni concordi:
+ 3 = + 3
Ma non sempre è così.
Nel caso del nostro quiz noi troviamo una certa uguaglianza tra quadrati di cui poi estraiamo la radice quadrata. Ossia abbiamo:
(2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2
che poi deve diventare, estraendo la radice quadrata di entrambi i membri:
+/- √(2 - 5/2)2 = +/-√(3 - 5/2)2 .... (1)
A questo punto potremmo benissimo considerare i due segni positivi, ma ci accorgiamo di aver scelto i segni sbagliati, in quanto:
2 - 5/2 = 3 - 5/2
1 = 0
è un risultato assurdo. Essere assurdo non costringe però ad accettarlo comunque, dato che abbiamo una seconda possibilità offertaci dall'uguaglianza (1) precedente: considerare il segno positivo nel primo membro e quello negativo nel secondo. Otteniamo:
2 - 5/2 = - 3 + 5/2
5 - 10/2 = 0
5 - 5 = 0
Questo è il risultato corretto e non assurdo.
Qual è, allora, il vero errore nella trattazione svolta nel quiz? Nell'aver trascurato il doppio segno nei membri dell'uguaglianza (1). In altre parole, aver costretto a considerare solo il segno + sia a sinistra che a destra.
23 commenti
la radice quadrata di un numero negativo e' negativo
Ciao e complimenti per tutto quanto fai
Caro Enzo, provo a dare una risposta sperando che la mia matematica non si sia arrugginita, mettendola in bianco, così chi vuole può provare.
Dunque, il passaggio che non mi convince è questo:
(2 - 5/2)²= (3 - 5/2)²
Estraiamo la radice quadrata da entrambi i membri
√(2 - 5/2)²= √(3 - 5/2)²
ma il primo membro è negativo, ossia (2- 5/2) = -0,5
quindi non si può estrarre la radice quadrata di un numero negativo (occorrerebbero i numeri immaginari).
Al limite di può estrarre la radice quadrata del secondo membro:
(2 - 5/2) = √(3 - 5/2)²
Ma la radice quadrata può avere due risultati, uno positivo ed uno negativo, ossia:
(2 - 5/2) = ±(3 - 5/2)
Come per un’equazione di secondo grado solo uno dei due risultati è corretto:
(2 - 5/2) = + (3 - 5/2)
2 - 5/2 = 3 - 5/2
2 = 3 impossibile
(2 - 5/2) = - (3 - 5/2)
2 - 5/2 = -3 + 5/2
2 = -3 + 5/2 + 5/2
2 = -3 + 10/2
2 = -3 + 5
2 = 2
Paolo
Vabbè la mia matematica è proprio arrugginita, nella seconda parte ho detto una enorme sciocchezza
Visto che notoriamente non faccio parte degli esperti, ci provo subito...
Mi associo a PapalScherzone
non mi avete convinto...
perché prendere il valore assoluto, quando bastava semplificare l'espressione finale eliminando da ambo le parti -5/2 ?
per Silvano (che ringrazio per le belle parole!),
non si estrare la radice quadrata di un numero negativo. Il quadrato di un numero è sempre positivo, per cui si estrae la radice quadrata di un numero POSITIVO.
Abbi pazienza, Enzone, è la tua obiezione a non convincermi: il quiz consiste nel trovare l'errore nella sequenza di uguaglianze e l'errore è palesemente l'eliminazione di quei quadrati da ambo i lati. Dopodiché, tutto ciò che viene (tra cui il 2=3) è ovviamente sbagliato, quindi non posso usarlo per dimostrare che è sbagliato ciò che viene prima. Altrimenti avrei potuto rispondere "so per certo che 1 è diverso da 2, quindi di sicuro c'è un errore da qualche parte". O mi sfugge qualcosa perché non ho ancora fatto colazione e il mio "pancino" sta brontolando?
Stai parlando dell'eliminazione di -5/2 da ambo i lati? Perché mai dovrebbe essere un errore?
a + 3 = b + 3 --> a = b
non c'è insegnante che non lo accetti!
Certo che è corretto eliminare -5/2 da ambo i lati: non è questo il punto e ciò non cambia il mio commento precedente. L'errore sta nell'eliminazione dei quadrati. O no?
+1 per PapalScherzone. √(x²)=|x|, e non √(x²)=x. In particolare, in base alla definizione di modulo, √(x²)=x se x≥0, mentre √(x²)=-x se x<0. Quindi
√[(2 - 5/2)²]= √(3 - 5/2)²]
diventa
|2 - 5/2|=|3 - 5/2|,
e non
2 - 5/2=3 - 5/2
Infatti 2-5/2=-1/2<0, mentre √[(2 - 5/2)²]=√(1/4)=+1/2>0. La radice quadrata di x è il numero positivo o nullo il cui quadrato è x. Non può essere negativa.
La radice quadrata di un numero POSITIVO non è uguale al modulo... ma a qualcos'altro...
Ormai stiamo girando attorno al significato di radice quadrata. Posso o non posso fare il quadrato di un numero negativo? Sicuramente sì.
(-3)2 = 9
e chi mi vieta adesso di fare la radice quadrata di 9 ?
Nessuno ti vieta di fare la radice quadrata di 9, ma ciò non significa che -3 sia uguale a 3.
Siamo vicini al dunque.. .Ma nessuno mi vieta di dire che sia 3 che - 3 siano altrettante soluzioni valide! Ormai ci siamo... Insomma, quanto vale
√9 = ?
la radice quadra di 9 è solo +3
Giusto così per spiegarmi cosa intendevo con ho detto una sciocchezza....
Al limite si può estrarre la radice quadrata del secondo membro, ma in questo caso davanti alla radice quadrata il segno può essere positivo o negativo, ossia:
(2 - 5/2) = ± √(3 - 5/2)²
L'erroraccio era che non avendo specificato questo passaggio, poteva risultare √±(3 - 5/2)² ... ma come dicevo prima non esiste la radice quadrata di un numero negativo.
Ma il quadrato di (2 - 5/2) può essere un numero negativo o positivo, ma solo uno dei due risultati è corretto, infatti:
(2 - 5/2) = + (3 - 5/2)
2 - 5/2 = 3 - 5/2
2 = 3 impossibile (ed è qui che il risultato diviene assurdo)
(2 - 5/2) = - (3 - 5/2)
2 - 5/2 = -3 + 5/2
2 = -3 + 5/2 + 5/2
2 = -3 + 10/2
2 = -3 + 5
2 = 2
Forse così va meglio
La radice quadrata di un numero reale positivo viene definita come quel numero (uno ed uno solo) positivo che elevato al quadrato da il valore del radicando.
la radice quadrata di 4 è +2 perché (+ 2)2 = 4
però anche (-2)2 = 4
avremo cioè due numeri (uguali in modulo ma opposti) che elevati al quadrato danno per risultato 4,
ma per definizione il numero che da la radice quadrata deve essere uno ed uno solo quindi è solo +4
Con Paolo siamo d'accordo!
A parte le convenzioni, noi stiamo considerando la funzione y = x2 e vogliamo risolverla per un certo y. NON stiamo studiando la funzione y = √x, che ammette solo la parte positiva nel campo reale.
La prima funzione ammette SEMPRE due soluzioni nel campo reale.
NON è vero che la radice quadrata di un numero positivo DEVE essere positivo. Si può anche scegliere di accettare una sola soluzione, ma è una convenzione o come volete chiamarla...
Caro Michele... come dici tu, si DEFINISCE, ma è una scelta. La funzione parabola ti dimostra che stai usando una convenzione, non un risultato matematico. Ricorda come risolvi le equazioni di secondo grado...
Una strada potrebbe avere un bivio e si dovrebbe essere liberi di andare sia a destra che a sinistra, anche sapendo che una strada porta a un dirupo. Per vietare quella strada, però, l'unica soluzione è IMPORRE di non transitarci mettendo un cartello stradale o uno sbarramento. Ma la strada continua ad avere un bivio... la matematica non impone una scelta... non ti avvisa dell'eventuale pericolo. Al limite, lo scoprirai a te spese (come dice Paolo).
Anzi, metto in chiaro la soluzione di Paolo (sempre che lui dia d'accordo).
Paolo scrive
2 = 3 impossibile (ed è qui che il risultato diviene assurdo)
e su questo non ci piove (come non piove su tutto ciò che Paolo aggiunge dopo), infatti, una volta arrivata, lì ho pensato "il quiz poteva anche intitolarsi 2=3? e fermarsi a questo punto"
Ma non capisco come mai non avalli la soluzione del mio alter ego Scherzy che arriva alla stessa conclusione con un formalismo che può apparire diverso, ma sottende lo stesso concetto.
Il succo è o non è che, come ha scritto Scherzy, (2-5/2)^2 = (3-5/2)^2 non equivale a 2-5/2 = 3-5/2 ?
Cara Daniela,
il punto chiave non sta nel voler prendere il modulo (che è una convenzione), ma nel porre + e - davanti alla radice quadrata. Questo è quello che si fa normalmente (vedi equazioni di secondo grado). A questo punto abbiamo 4 alternative... o prendere i due segni + o i due segni - o un + e un -. Se prendiamo segni concordi il risultato diventa assurdo, mentre è accettabile solo se prendiamo segni discordi. Se ci pensi bene, NON è la stessa cosa...
L'errore, perciò, sta nell'aver trascurato il segno +/- davanti alle radici, ossia non avere posto come possibili entrambe le scelte, ma solo una di loro... Solo la possibilità di scelta ti fornisce un risultato NON assurdo.
Avere imposto il modulo è, perciò, il risultato di una convenzione, ossia aver cambiato uno dei segni se era negativo, cosa che teoricamente era ammissibile dato che il quadrato di un numero negativo è sempre un numero positivo.
Spero di essermi spiegato...
Ok, quello che dici non fa una piega, resta il fatto che Scherzy non aveva intenzione di "imporre" alcun modulo ma semplicemente spiegare come mai (2-5/2)^2 = (3-5/2)^2 non equivale a 2-5/2 = 3-5/2 e non mi sembra che abbia dato una spiegazione formalmente errata.
So benissimo che Scherzy non "impone" niente... Lui segue la normale convenzione che "impone". Comunque, lontano da me le polemiche... non vorrei che si arrivasse ai no-moduli e ai si-moduli. Ne abbiamo già abbastanza, direi...