Categorie: Matematica Riflessioni
Tags: macchina pietre miliari quiz soluzione velocità
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:13
(Q) Le tre pietre miliari (CON SOLUZIONE MATEMATICA) *
Il vostro contachilometri è rotto, ma le pietre miliari vi possono indicare la velocità.
Ricordiamo che le pietre miliari sono quei cippi, messi ai lati di una strada, che indicano i chilometri percorsi da una certa località di partenza. Voi state viaggiando a velocità costante. A un certo punto incontrate una pietra miliare che riporta un valore indicato da due cifre. Dopo un'ora trovate un'altra pietra miliare in cui compaiono ancora, soltanto, le due cifre precedenti, ma invertite tra loro. Dopo un'altra ora ecco la terza pietra miliare che riporta un numero di tre cifre, dove la prima e l'ultima sono le stesse della prima pietra miliare (nello stesso ordine), ma tra di loro vi è lo zero.
Si chiede:
A che velocità sta andando la vostra automobile ?
P.S.: il quiz può essere velocemente risolto con un un minimo di matematica, ma anche con il solo ragionamento.
SOLUZIONE (matematica)
Il risultato si può ottenere con un minimo di ragionamento e/o per esclusione. Per far contento Alberto riportiamo la soluzione matematica, che è poi praticamente quella presentata da Paolo e Guido.
Chiamiamo a e b le due cifre che compaiono nelle tre pietre miliari. La situazione è questa:
M1 =ab , M2 = ba, M3 = a0b
Come si può esprimere matematicamente il numero ab ?
M1 = a x 10 + b
Idem per ba
M2 = b x 10 + a
e infine per a0b
M3 = a x 100 + b
Dato che la macchina ha velocità costante, deve essere
M2 - M1 = M3 - M2
b x 10 + a - a x 10 - b = a x 100 + b - b x 10 - a
più sinteticamente...
10b + a - 10a - b = 100 a - 10 b + b - a
20b - 2b = 110a - 2a
18b = 108a
b = 6a
Tuttavia, a può essere solo uguale a 1, altrimenti b sarebbe un numero di due cifre (a = 2 porterebbe già a b = 12) . Per cui
a = 1, b = 6
da cui
M1 = 16
M2 = 61
M3 = 106
v = (61 - 16)/1 = 45 km/h
13 commenti
Di seguito la mia soluzione "sbianchettata"
I numeri sulle pietre miliari possono essere espressi così
XY - YX - X0Y
La prima tentazione è stata quella di trovare due equazioni in due incognite per metterle a sistema, ma ne ho trovata una sola e forse neanche giusta... quindi mi sono detto "perché non andare a tentativi sostituendo valori numerici alle incognite?". Sicuramente fattibile, però non è elegante arrivare al risultato dopo avere provato tutte le combinazioni possibili. Se, però, arriva un'intuizione che limita molto il numero di tentativi, non sarà elegantissima ma è pur sempre una soluzione di cui non vergognarsi.
E l'intuizione è arrivata: la X deve per forza valere 1, altrimenti (se valesse almeno 2) la distanza tra X0Y e YX sarebbe per forza maggiore di quella tra YX e XY (e invece devono essere uguali perché sto andando a velocità costante).
La soluzione è: 16 - 61 - 106 velocità 45 km/h
per PapalScherzone:
no, perchè così non stai andando a velocità costante: prima ora 16 km/h, seconda 45 km/h, terza 45 km/h.
Ho l'impressione che non abbia soluzione (ma in sostanza non sono capace di provarlo...)
.. però Enzo dice " A un certo punto", non dopo un'ora.
quindi sembrerebbe giusta la soluzione di Papalscherzone!!
Caro Enzo, provo a fornire una soluzione mettendola in bianco per lasciare spazio ad altr@.
Innanzitutto dato che la velocità è costante, lo spazio percorso nel primo tratto in un’ora deve essere uguale allo spazio percorso nel secondo tratto in un’ora.
Lo spazio percorso nel primo tratto sarà quindi uguale alla differenza tra quanto riportato nel secondo cartello e quanto riportato nel primo cartello, ossia:
S= (nbna) - (nanb)
Come indicato nel testo le due cifre del primo cartello (nanb) sono invertite nel secondo (nbna).
L’identico spazio percorso nel secondo tratto, sarà uguale alla differenza tra quanto riportato nel terzo cartello e quanto riportato nel secondo cartello, ossia:
S= (na0nb) - (nbna)
Come indicato nel testo le tre cifre del terzo cartello (na0nb) sono composte dalla prima del primo cartello (na), da uno zero e dalla seconda cifra del primo cartello (nb).
Ora non resta che eguagliare i due spazi e fare qualche ragionamento:
S= (nbna) - (nanb) = (na0nb) - (nbna)
(na0nb) - (nbna) = (nbna) - (nanb)
Cominciamo a dire che un numero di tre cifre a cui si sottrae un numero di due cifre per essere uguale alla sottrazione tra due numeri positivi di due cifre, non può che avere na =1.
Provo a spiegarlo con un esempio: se a 200 (numero di tre cifre con na >1) sottraggo il massimo di un numero di due cifre, ossia 99, ottengo comunque un numero di tre cifre, ossia 101, per cui questo risultato non può certo essere uguale alla sottrazione di due numeri positivi di due cifre (per esempio 99 - 0 = 99, che è composto da due cifre e non da tre).
Ne segue che na = 1, per cui posso inserire tale risultato nella precedente equazione:
(10nb) - (nb1) = (nb1) - (1nb)
(10nb) + (1nb) = (nb1) + (nb1)
(10nb) + (1nb) = 2(nb1)
2(nb1) = (10nb) + (1nb)
A questo punto il problema è facilmente risolvibile, poiché con nb < 6, non si potrebbe mai ottenere un numero di tre cifre che sicuramente supera il 110, dato che a cento e qualcosa (10nb) aggiungo qualcosa più di una decina (1nb).
Per esempio con nb = 5:
2 (51) = 102 che è inferiore a 105 (10nb) + 15 (1nb) = 120
Per il motivo opposto (10nb) + (1nb) non può superare 128 (109 + 19), per cui nb non può essere nemmeno maggiore di 6.
Per esempio con nb = 7:
2 (71) = 142 che è maggiore di 107 (10nb) + 17 (1nb) = 124
Ne segue che nb = 6
2(nb1) = (10nb) + (1nb)
2 (61) = 106 + 16 = 122
So che l’ho fatta volutamente lunga, ma solo per mostrare anche le ovvietà.
La velocità dell’automobile è quindi pari a:
V= S/t
S= (nbna) - (nanb) = 61 – 16 = 45
S= (na0nb) - (nbna) = 106 – 61 = 45
Il tempo t di percorrenza di tale spazio è di 1 ora, per cui:
V= S/t = 45 km/h
Paolo
Buongiorno, di seguito la mia soluzione (in bianco).
Poichè la distanza tra la prima e la seconda pietra è la medesima che tra la seconda e la terza pietra (1 h a v cost), la semidistanza tra la terza pietra e la prima dovrebbe dare direttamente il valore di v.
Quindi, se indico con a e con b rispettivamente il numero di decine e quello delle unità riportate sulla prima pietra, sulla terza pietra a passerà ad indicare le centinaia mentre b indicherà sempre le unità.
La differenza tra il numero indicato sulla terza pietra e quello sulla prima si può indicare con:
(a centinaia + b unità) - (a decine + b unità) = a x 100 - a x 10 = a x 90 (b si annulla).
La semidistanza equivale alla velocità ricercata, quindi v=45 x a.
Occorre ora trovare a, che deve avere un valore compreso tra 1 e 9, lo zero è escluso poiché in contraddizione con la condizione della cifra riportata sulla terza pietra.
La distanza tra prima e seconda pietra è pari a b x 10 + a – (a x 10 + b) = 9b-9a
Ma le due distanze coincidono, quindi sarà 45a = 9b – 9a cioè b = 6a.
Quindi b/a = 6 ma esistono solo due cifre comprese tra 1 e 9 che rendono vera quest’ultima posizione, e sono b = 6 e a = 1.
Non serve sostituire queste soluzioni ai numeri incogniti segnati sulle pietre miliari, poiché già sappiamo che v = 45a, quindi v = 45 km/h
Esiste un metodo certo meno macchinoso ma questo è il primo che mi è venuto in mente.
45 km/h
Il mio ragionamento? Un po' confuso e non so impostare una seria equazione. Comunque la prima cifra al primo cippo deve essere 1 perché se già fosse 2, invertendola andremmo oltre il 200 con un salto troppo alto per mantenere la velocità costante. Quindi si tratta di un numero tra 12 e 19. Laonde per cui nel terzo cippo troverò un numero tra 102 e 109. Comunque la loro differenza sarà sempre 90. Se 90 in 2 ore, 45 in un'ora.
16, 61 e 106 mi funzionano. Vi prego, insegnatemi a impostare una equazione corretta.
sarà fatto...
Alberto in attesa che Enzo dia la risposta io farei così (lo scrivo in bianco).
Uso centinaia (ossia una cifra moltiplicata x 100) decine (moltiplicata ×10) e unità.
La prima cifra del primo cartello la definisco a e la seconda b.
Ne segue che il primo cartello riporta (10a + b) ed il secondo (10b + a).
Ovviamente sia a che b non possono superare il numero 9, altrimenti il cartello riporterebbe tre cifre e non 2.
Nella prima ora lo spazio percorso è:
S= (10b +a) - (10a + b) = 10b +a - 10a - b
S= 9b - 9a
Nella seconda ora viene percorso il medesimo spazio che è uguale a:
S= (100a +0 + b) - (10b + a)= 100a+ b -10b -a
S= 99a - 9b
Lo spazio S percorso in 1 ora è lo stesso (velocità costante), per cui:
9b - 9a = 99a - 9b
9b + 9b = 99a + 9a
18b = 108 a
b = 108/18 a = 6a
Dato che come detto all'inizio sia a che b non possono superare il numero 9, a è per forza uguale a 1 (se fosse 2 b sarebbe 12, il che è impossibile).
Qindi:
S= 9b -9a= (9 x 6a) -9a= 54a- 9a
S= 45a
ma a = 1
S= 45km
Percorsi in un tempo t di 1 ora, quindi:
V=S/t = 45 km/h
Probabilmente Enzo ha una soluzione più veloce della mia, per cui per ora ti tocca accontentarti.
Paolo
Avevo impostato correttamente la soluzione matematica solo fino alla prima riga, ma alle decine e alle centinaia poi non ci avevo proprio pensato. O siete troppo bravi voi o sono troppo mona io. Vedo che è una tecnica che può tornare utile. Grazie!
Alberto io aspetterei la soluzione di Enzo, probabilmente è molto più semplice ed elegante...
Enzone ne sa una più del
Comunque come si dice nessuno nasce imparato e come diceva Cimabue "ma che cagnara sbagliando s'impara"
https://m.youtube.com/watch?v=iHQ6No2i8u4
Io poi di errori ne faccio a bizzeffe, l'importante è accorgersene ed ammetterlo, solo così si può migliorare.
Paolo
A proposito di errori, mi sa che quando ti ho risposto Enzo aveva già pubblicato la soluzione