Il diagramma di Minkowski dice molto di più di quanto siamo riusciti a descrivere finora. In qualche modo, ci siamo limitati a vedere graficamente come si possono ottenere le più importanti conseguenze della RR: dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze. Siamo riusciti in tutto ciò introducendo una quantità fondamentale e assoluta: l’invariante spaziotemporale s², che rimane sempre uguale a se stesso pur cambiando sistema di riferimento.

E’ proprio questa specie di “distanza” che ci ha permesso di tracciare facilmente le iperboli di calibrazione. Un ruolo altrettanto fondamentale nella descrizione grafica della RR viene giocata dal concetto di relatività della simultaneità. Essa è legata strettamente al numero di orologi che si devono usare. Se ne usiamo uno solo stiamo utilizzando il tempo proprio che coincide con l’invariante spaziotemporale. Non per niente, avevamo posto questo invariante uguale a 1 o a -1 per ottenere le curve di calibrazione che ci regalavano il luogo dei punti che al variare del sistema di riferimento indicavano l’unità di misura. Ci eravamo accorti che il tempo proprio è sempre visto scorrere più lentamente da un sistema considerato fermo, da cui seguiva, appunto, la dilatazione dei tempi.

Tutti questi concetti vanno compresi e incasellati bene nella propria mente per gustare al meglio la semplicità e le finezze dell’intera teoria e della sua applicazione geometrica nel diagramma di Minkowski. Un diagramma che assomiglia (per i più anziani) alle tasche di Eta Beta, amico alieno di Topolino, dalle cui piccole tasche usciva sempre di tutto e di più.  Invito, perciò, tutti gli interessati a leggere e/o rileggere attentamente tutti i capitoli precedenti, cercando di eliminare ogni dubbio. Cercherò di mettere tutto assieme, includendo anche le parti aggiunte per ulteriore approfondimento e i quiz di preparazione.

La parte che conclude la seconda sezione della RR è, in realtà, la più semplice e intuitiva tra tutte, anche se ha già in sé le ricadute più importanti da un punto di vista fisico. Essa ci porta all’interno dell’Universo degli Eventi, dove ogni evento acquista la sua vera essenza nel contesto dell’intero universo, sia esso passato, presente e futuro. Ci illuderà anche, per un attimo, di poter viaggiare indietro nel tempo, ma sarà solo un attimo, perché ci accorgeremo subito che certe situazioni sono vietate dalla Natura e dalle leggi della RR.

Ancora simultaneità relativa

Come già ribadito, Il diagramma di Minkowski permette di comprendere in modo molto diretto tutti i fenomeni descritti in precedenza. Richiamiamo ancora una volta, ad esempio, come sia immediato il fatto che eventi simultanei in un dato riferimento non lo siano più in un diverso riferimento. Un concetto che deve essere compreso completamente e che si ricollega perfettamente al numero di orologi che si devono usare. Ricordiamo ancora che il tempo proprio è il tempo che si misura con un solo orologio, solidale con il moto del sistema di riferimento. Illustriamo, ancora, questi concetti nella Fig.re 1 e 2.

Nella Fig. 1 vediamo immediatamente che due eventi (A e B) simultanei nel sistema (x,T) non lo sono più nel sistema (x’, T’). D’altra parte, gli eventi C e B sono simultanei nel sistema (x’,T’), ma non lo sono più nel sistema (x,T).

Nella Fig, 2 consideriamo il moto di un oggetto nel sistema (x’,T’). Esso utilizza solo l’orologio rosso per misurare il suo tempo (tempo proprio). Quando capitano gli eventi A’ e B’, il sistema (x,T) è costretto a misurarli con due orologi diversi (azzurro e verde). Analogamente, quando un oggetto si muove nel sistema (x,T), utilizza il solo orologio grigio per misurare il tempo dei vari eventi, come A e B. Il sistema (x’,T’) deve invece utilizzare due orologi (giallo e marrone).

Sono cose che abbiamo già visto e rivisto, ma vale la pena richiamarle ancora una volta, per essere pronti al nuovo salto concettuale.

L’Universo degli Eventi

Iniziamo attraverso un approccio “formale” che si riferisce soltanto all’invariante spaziotemporale. Riscriviamo ancora la formula che lo definisce:

s² = T’² = T² – x²

Essa ci dice che l’invariante non è altro che il tempo proprio di un sistema che usa un solo orologio. Rappresentiamo quando detto nella Fig. 3.

Consideriamo la situazione in cui s² > 0. Cosa vuol dire questa condizione? Introduciamo i valori assoluti delle due quantità T e x (abbiamo considerato l’inizio degli intervalli invarianti coincidente con l’origine degli assi; altrimenti avremmo dovuto considerare delle differenze di x e di T).

Affinché l’invariante sia positivo è necessario che:

|T| > |x|

E’ stato necessario introdurre il valore assoluto perché altrimenti avremmo potuto avere T positivo e x negativo  e sarebbe stato, comunque, T > x, ma, eseguendo il quadrato avremmo potuto ottenere s² = T² – x² < 0. Infatti, poniamo T = 3 e x = - 5. Avremmo:

3² – 5² = 9 – 25 = -16.

L’uso dei valori assoluti ci garantisce che se |T| > |x| deve anche essere T² – x² > 0. Tuttavia, se:

|T| > |x|

Segue che:

|x|/|T| < 1

Ossia:

v < 1 = c

Siamo nelle condizione dell’evento A₁ con T = T_A1 e x = x_A = x_A1

Attenzione a quello che dico: “La distanza spaziale (x_A1) tra i due eventi O e A₁ è sufficientemente piccola perché l’informazione mandata da O possa sempre raggiungere A prima che A₁ avvenga”.

Non spaventatevi, mi spiego meglio (anche se non sembra, ho detto una vera banalità…). E’ sempre possibile inviare un’informazione luminosa tale che tocchi la verticale, passante per A e A₁, in A_C, con A_C che precede temporalmente l’evento A₁.

Cosa succede, in pratica, per gli eventi di tipo A₁ (ossia quelli per cui s² > 0)? Possiamo inviare un segnale luminoso (ossia un’informazione) seguendo la retta che indica la velocità della luce fino a incontrare il punto A che si sta muovendo soltanto lungo il tempo (ossia è immobile spazialmente nella sua linea di universo). Lo incontra in A_C. C’è ancora tutto il tempo che si vuole prima che avvenga l’evento A₁. Siamo arrivati in anticipo e siamo sicuri che la nostra informazione luminosa raggiunga A prima che per A si verifichi l’evento A₁.

Ho raccontato questa piccola “avventura”  in un modo che difficilmente si incontra nei testi, sperando di rendere il concetto della zona in cui s² è maggiore di zero  ancora più chiara di quello che è.  La situazione può essere espressa in modo molto più sintetico e formalmente corretto: per ogni evento di tipo A₁ esiste sempre un sistema di riferimento tale che O e A1 siano eventi legati causalmente. In altra parole, per una certa velocità AMMISSIBILE (inferiore a c), O e A1 rappresentano due eventi “subiti” dallo stesso punto. O, se preferite , è sempre possibile legare i due eventi attraverso un solo “oggetto” che misuri il tempo con un solo orologio.

Possiamo facilmente limitare questa zona molto “reale”. Essa è ovviamente confinata dalla condizione:

|T| = |x|

Ossia

s² = 0

e ancora:

|x|/|T| = c = 1

Questa è proprio la linea che descrive la traiettoria spaziotemporale della luce.

La parte di spaziotempo di Minkowski compreso tra le rette T = x e T = - x rappresenta il luogo di tutti gli eventi che possono essere connessi al punto O. In  poche parole rappresentano il suo FUTURO assoluto. Tutte le linee che vanno da O verso eventi interni a questa zona rappresentano il possibile futuro di O. Queste linee sono le ben note LINEE DI UNIVERSO. Prolungando le rette della luce verso la parte inferiore otteniamo una zona simmetrica rispetto all’asse x. Questa zona rappresenta il PASSATO assoluto di O. In altre parole, ogni possibile evento del passato che può essere collegato ad O (all’istante T = x = 0).

Conviene riassumere quanto trovato finora. Dato un evento O e un evento A₁ che appartenga alle zone appena definite, è sempre possibile trovare un sistema di riferimento inerziale in cui gli eventi O e A₁ avvengono nello stesso luogo e sono distanziati solo nel tempo. Nella zona superiore l’evento A₁ segue SEMPRE l’evento O, qualsiasi sia la sua posizione. La regione così individuata rappresenta il futuro di O. Nella zona inferiore l’evento A₁ precede SEMPRE l’evento O e siamo nel passato di O.

Fermiamoci un attimo a riflettere. Non abbiamo fatto altro che introdurre il cono di luce di O. Tuttavia, ci siamo già accorti che il diagramma di Minkowski ha permesso di rappresentare  in una sola figura TUTTO ciò che può aver causato O e che potrà essere causato da O.

Ritornando all’invariate spaziotemporale, possiamo chiamare ogni intervallo tra O e un qualsiasi altro evento contenuto nelle due zone appena descritte come intervalli di tipo tempo. Il nome deriva dal fatto che ogni intervallo di questo tipo può essere descritto da un solo punto con un solo orologio (esiste sempre un sistema di riferimento che abbia OA₁ come asse T’).

Le due linee che corrispondono al valore zero dell’invariante sono le linee relative alla luce e gli intervalli che si misurano su di loro si chiamano intervalli di tipo luce.

La Fig. 3 ha, però, molto altro da dirci.

Consideriamo la situazione:

s² < 0

Essa si ottiene quando:

|T| < |x|

Ossia quando:

|x|/|T| = v > 1 = c

Siamo nel caso dell’evento A₂. La distanza spaziale tra A₂ e O è talmente grande che nessuna informazione può raggiungere A₂ prima che l’evento sia avvenuto. Per poterlo fare dovrebbe viaggiare più veloce della luce. Ne segue che l’informazione luminosa incrocia la verticale passante per A, DOPO che l’evento A₂ è già avvenuto. Sembra di essere in un film di Antonioni: incomunicabilità, pura incomunicabilità!

Parlando in modo formale: per ogni evento di tipo A₂ NON esiste mai un sistema di riferimento tale che O e A₂ siano eventi legati causalmente. In altra parole, per una certa velocità AMMISSIBILE, O e A₂ rappresentano due eventi del tutto scorrelati.

Tuttavia, è sempre possibile trovare un sistema di riferimento in cui i due eventi siano simultanei (ossia abbiano la stessa x’). Le parti a destra e a sinistra del cono di luce indicano eventi A₂ che niente hanno a che fare con O da un punto di vista temporale, dato che l’informazione non riesce a raggiungerne uno partendo dall’altro. Tuttavia, esiste sempre un sistema di riferimento nel quale i due eventi avvengono nello stesso istante.

in parole ancora più povere, esse rappresentano il PRESENTE per un certo sistema di riferimento. Le due zone comprese tra le linee di linee (a destra e a sinistra esternamente al cono di luce) possono essere considerate il PRESENTE di O.

Riassumendo:

Per un qualunque punto A₂ possiamo tracciare un asse x’ che passi dall’origine O, cioè possiamo trovare un sistema di riferimento inerziale in cui O e A₂ avvengono nello stesso tempo e sono distanziati solo nello spazio. Possiamo, cioè,  sempre trovare un riferimento inerziale in cui gli eventi O e A₂ appaiono simultanei.

Gli intervalli invarianti di queste zone sono chiamate, ovviamente, intervalli di tipo spazio.

Anche la parte del diagramma che sembrava del tutto estranea alla realtà, assume una sua consistenza fisica e reale, dato che rappresenta tutto ciò che esiste nell’Universo e che mai potrà o può avere avuto contatti causali con O.

In Fig. 4 rappresentiamo, ancora una volta, i vari tipi di intervalli spaziotemporali e i relativi sistemi di riferimento.

In Fig. 5 riassumiamo l’Universo degli Eventi.

Giochiamo con Minkowski

Tutto l’Universo degli eventi è stato rappresentato nel fantastico diagramma di Minkowski, perfettamente in linea con le leggi della RR.  I “giochi” e gli esercizi che si possono compiere con queste semplicissime nozioni, legate strettamente alla definizione dell’invariante spaziotemporale sono innumerevoli e vanno ben al di là della visione statica che appare. Nello stesso digramma si può rappresentare la cinematica, la dinamica e la fisica più generale della RR. Non sarà cosa così ovvia e intuitiva, ma un giorno ci potremo anche provare (per favore, però, se anche volete tentare non pubblicatelo nei commenti e non chiedete pareri nemmeno personali: certe cose si possono ottenere solo con parecchia pazienza, molto ordine e tanta logica. Altrimenti si cade nella solita, tragica, confusione che ben conosciamo).

Vorrei, a questo punto, fare una constatazione molto importante concettualmente. La RR è riuscita a demolire i due principali invarianti della fisica classica: la distanza tra due punti e la distanza tra due eventi nel tempo. Due concetti, che erano considerati assoluti nella meccanica classica, diventano nella RR relativi al sistema di riferimento. Tuttavia, non tutto è relativo (come si usa spesso dire a casaccio…). Innanzitutto non lo è la velocità della luce che è addirittura uno dei punti base di tutta la teoria. E poi ecco comparire l’invariante spaziotemporale, una distanza tutta speciale che risulta costante per tutti i sistemi di riferimento.

Proprio questo invariante ha consentito di interpretare, dal punto di vista matematico, la realtà fisica collocandola in uno spazio a 4 dimensioni entro il quale la distanza tra due eventi viene definita attraverso tale intervallo. Noi ne abbiamo usato solo due, trascurando y e z, ma sarebbe del tutto immediato inserire queste due coordinate. Non lo si fa sia per non creare figure visivamente insostenibili, sia per la “scarsa” importanza che esse assumono, quando il movimento avviene solo lungo  x.

Tutto sembrerebbe perfetto. Vi è solo una piccola mancanza di simmetria: il segno diverso che hanno, nell’invariante, la x e la T. Si potrebbe anche eliminare l’asimmetria passando ai numeri complessi e inserire la radice quadrata di -1. Si otterrebbe una formula perfettamente simile a quella del teorema di Pitagora. Tuttavia, per avere un risultato esteticamente migliore (è poi vero?) si complicherebbero tragicamente le cose, dato che introdurre la radice quadrata di -1 può essere fatto con la giusta comprensibilità solo dopo aver introdotto tutta la teoria dei numeri complessi. Preferisco decisamente, come ormai quasi tutta la Scienza ufficiale, lasciare quel segno meno, poco aggraziato, se volete, ma decisamente più comprensibile per una divulgazione efficiente.

Uno strano teorema di Pitagora

Prima di chiudere questa seconda parte della RR, lasciatemi proprio parlare ancora un po’ dell’invariante e della sua “quasi” analogia con il teorema di Pitagora. Così facendo troveremo un risultato a prima vista assurdo, ma che nella geometria non euclidea di Minkowski ci porta immediatamente alla soluzione del paradosso dei gemelli (e ci regala la soluzione del quiz che era stato proposto un po’ di tempo fa).

Richiamiamo ancora una volta il teorema di Pitagora e confrontiamolo con l’invariante spaziotemporale nella Fig. 6. A sinistra abbiamo il nostro spazio (x,y) euclideo e a destra lo spaziotempo (x,T) non euclideo.

Ricaviamo d dalla prima:

d = (y² + x²)^1/2 = y (1 + (x/y)²)^1/2

qualunque sia il rapporto x/y, la somma sotto radice quadrata deve essere maggiore di 1, così come la radice quadrata. Risulta immediatamente che d > y. Beh… lo sapevamo già dalla stessa definizione di Teorema di Pitagora: l’ipotenusa è maggiore dei cateti!

Passiamo allo spaziotempo di destra. Ricaviamo s:

s = (T² - x²)^1/2 = T (1 - (x/T)²)^1/2 = T (1 - v²)^1/2

Il rapporto tra x e T non è altro, infatti, che la velocità di un oggetto che si muove lungo OA’. Ricordiamo anche che s non è altro che il tempo proprio di questo oggetto (misurato con il suo orologio).

v deve sempre essere minore di 1, da cui segue che la radice quadrata è un numero minore di 1. Si può facilmente concludere che:

s < T       …. (1)

In poche parole, l’ipotenusa s dello “strano” triangolo spaziotemporale OAA’ è minore del cateto T, malgrado l’apparenza, dovuta al nostro mondo euclideo, inganni.

Passiamo immediatamente alla Fig. 7 dove abbiamo inserito un triangolo AA’O’ sopra quello precedente.

Dalla parte euclidea a sinistra si ottiene immediatamente che:

OA’ + A’O' = 2d = 2y (1 + (x/y)²)^1/2

E quindi:

OA’ + A’O' > OO’

Ancora una volta, non possiamo certo stupirci del risultato…

Non dobbiamo, però, nemmeno stupirci di ciò che succede nello spaziotempo, a destra (la velocità cambia di segno, ma non certo il suo quadrato):

OA’ + A’O' = 2s = 2T (1 -  v²)^1/2

OA’ + A’O' < OO’

Questa apparente assurdità può essere espresso con una proprietà ben più generale: la lunghezza spaziotemporale tra due eventi O e O’ è sempre maggiore di quella di una qualunque altra curva che congiunga i punti O e O’.

In realtà, noi abbiamo dimostrato la proprietà solo per una spezzata formata da due segmenti uguali tra loro. Non è difficile, però, generalizzare quanto abbiamo trovato considerando una qualsiasi linea curva come composta da un numero molto grande di piccoli segmenti. Per ognuno di essi varrebbe la (1). Anche se la velocità cambiano da punto a punto la disuguaglianza è confermata. In pratica, non dovremmo fare altro che sommare la lunghezza di tutti questi trattini rettilinei.  Qualcosa del genere:

s = Σ T_i (1 - v_i²)^1/2

E poi fare tendere a infinito il numero dei trattini. Il simbolo di sommatoria si trasformerebbe in quello di integrale e la curva sarebbe approssimata perfettamente. Quando continueremo con la matematica (prima o poi DEVO farlo) ci potremo anche arrivare in modo ben più accurato.

Per adesso, ci basti aver dimostrato la proprietà attraverso due soli segmenti uguali tra loro: se vale per loro DEVE valere per qualsiasi curva spezzata o continua.

La soluzione del quiz sulla linea più corta e il paradosso dei gemelli

Siamo, quindi, arrivati alla soluzione del QUIZ (QUI). La curva verde è decisamente più corta del segmento rosso. Infatti, il segmento verde AB rappresenta l’invariante relativistico e può essere considerato in un qualsiasi sistema di riferimento, anche in quello in cui il segmento rosso coincide con T verticale. Avremmo la situazione (già ben conosciuta) della Fig. 8.

Non ci stupiamo se la linea verde rappresenta perfettamente quella di un astronave che si muove con velocità v fino a una certa distanza spaziale dalla Terra rossa (che si muove verticalmente). Quanto abbiamo appena dimostrato ci dice senza ombra di dubbio che la somma dei due tratti verdi (andata e ritorno) dell’astronave è minore del tratto rettilineo rosso. Ma, su quest’ultimo scorre il tempo proprio della Terra, mentre sulla linea verde scorre quello dell’astronave. Se ne conclude che il tempo dell’astronave scorre più lentamente e l’astronauta è veramente più giovane al suo ritorno a casa. Abbiamo risolto immediatamente il paradosso dei gemelli!

Vale, però, anche l’inverso. Sapendo che l’astronauta rimane più giovane, si può concludere subito che la linea verde è più “corta” di quella rossa!

Si può viaggiare nel tempo con Minkowski?

Il diagramma di Minkowski può anche portarci a viaggi nel tempo? A prima vista sembrerebbe di sì. Consideriamo due eventi A e B simultanei e spazialmente separati nel sistema (x,T). Vediamo come la stessa situazione si presenta in due sistemi (x’,T’) e (x”, T”) caratterizzati da una velocità v uguale e di verso opposto rispetto a (x,T). I sistemi di riferimento risultano, quindi, ruotati in modo simmetrico. Vediamo come si presentano su di loro le coordinate temporali di A e di B. Per trovarle bisogna ovviamente utilizzare gli assi x’ e x”, come ormai sappiamo molto bene. Ci aiuta la Fig. 9.

Nel sistema (x’,T’) l’evento A segue l’evento B (gli eventi sono quelli che sono in qualsiasi sistema di riferimento; sono le loro coordinate che cambiano). L’evento A precede, invece, l’evento B nel sistema (x”,T”). Accidenti! Ma allora basterebbe cambiare sistema di riferimento (legati alla velocità) per potere tornare indietro nel tempo e modificare un evento prima che questo accada in un alto sistema di riferimento. No, non illudiamoci, sarebbe troppo bello (?) e facile. Guardiamo meglio l’intervallo spaziotemporale invariante AB. Esso è un intervallo per cui s² < 0 e, perciò, non può esistere una connessione causale  tra A e B. In nessun sistema di riferimento un segnale di luce è in grado di andare da A a B prima che B accada.

Va bene, direi che possiamo fermarci qui. Di materiale per pensare ce n’è molto. Ribadisco ancora una volta la solita preghiera: invece di cercare di complicare ciò che abbiamo imparato, cerchiamo di capire perfettamente ciò che abbiamo imparato. E’ già una conquista non trascurabile… credetemi!

Un periodo di sospensione … relativistica e poi cercheremo di affrontare la dinamica e la fisica della RR, magari usando ancora il diagramma di Minkowski (non ve lo assicuro, però…).

Appendice (piccola e buttata lì…)

Quanto detto finora si riferisce soltanto all’evento O e al suo Universo. Immaginiamo un altro evento O' in Fig. 10.

Per quanto detto precedentemente, essi non possono essere legati causalmente. Tuttavia, nel loro passato e nel loro futuro possono avere avuto “contatti”. Basta rappresentare i loro due coni di luce. Essi hanno una parte comune sia nel passato che nel futuro. Ciò vuol dire che nel passato un certo evento P può avere influenzato in qualche modo sia O che O', attualmente del tutto sconnessi. Lo stesso capiterà nel futuro. Eventi come O e O' potranno influenzare  un unico evento F. Un certo evento P del passato può benissimo aver dato luogo sia a O che O', mentre un evento F del futuro può essere stato originato sia da O che da O'. L’evento P e l’evento F sono, inoltre, collegati secondo una linea di tipo tempo, ossia la linea di universo PF. Tra le linee di universo che si incontrano partendo da eventi del tutto sconnessi tra loro QUI e ORA vi sono anche le linee di tipo luce, ossia l’informazione… Pensateci un attimo sopra… questa apparente banalità rimanda immediatamente al fenomeno dell’entanglement… F può contenere l’informazione sia di O che di O'. D’altra parte O e O' possono avere, anche se irraggiungibili tra loro, l’informazione di P. Non entriamo, comunque in un argomento che è ben più complesso di quanto possa sembrare. L’accenno serve solo a comprendere quanto sia illuminante un diagramma come quello di Minkowski