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Lunghezza d'onda e frequenza: due grandezze inseparabili!

Riassumiamo brevemente quanto detto nell'articolo precedente. Abbiamo creato un'onda in uno stadio e ci siamo resi conto che la "forma" ad onda è visibile sia nel piano (y,t) quello in cui avviene l'oscillazione di ogni singola particella-tifoso sia nel piano "spaziale" (x,y) dove la diversa posizione assunta dalle particelle in un certo istante crea nuovamente la forma ad onda. La prima, però, è un'onda che oscilla in funzione del tempo e, praticamente, è quello che si vedrebbe bloccando il tutto per un certo valore di x. Questa oscillazione ci permette di calcolare il periodo dell'onda, dato che questo è il tempo in cui  l'onda "spaziale" si muove completamente.  Fissando, invece, un valore del tempo, vediamo l'onda che si genera nel piano (x,y), ossia il vero cammino fatto dal pacchetto di energia. In questo caso, però, non misuriamo certo un periodo di tempo, ma una vera e propria lunghezza. Come già detto il periodo dell'onda è esattamente il tempo necessario affinché l'onda spaziale inizi a ripetersi. In tal modo, è determinata facilmente la velocità dell'onda, ossia della perturbazione che si trasferisce spazialmente.:

v = λ/P

Tuttavia al posto del periodo si preferisce introdurre il suo inverso. Che cosa rappresenta 1/P ? Assumendo come riferimento del tempo il secondo, esso ci dice quante oscillazioni lungo y si sono compiute in un secondo. Chiamiamo questa grandezza frequenza. Ovviamente, se la frequenza f (spesso si usa la lettera greca ν, ma noi preferiamo usare la f per comodità di scrittura) è molto alta è facile che in un secondo si completino molte oscillazioni, mentre se essa si abbassa può anche succedere che in un secondo non si compi nemmeno un ciclo completo. Torniamo, allora, alla formula precedente e inseriamo f al posto di 1/P. Otteniamo una formula banale, ma fondamentale:

v = λ f

La costanza della velocità ci dice anche che all'aumentare della lunghezza d'onda deve diminuire la frequenza e viceversa. Esse, sono quindi due grandezze profondamente legate tra di loro. In altre parole, se scegliamo una delle due, per ottenere la costanza della velocità anche l'altra deve essere automaticamente fissata.

Chi tira i fili ?

Ma chi comanda, allora, la velocità di propagazione dell'onda? Bene, prima di rispondere diamo una forma più "normale" alla nostra onda, ricordando ciò che capita quando facciamo cadere un sasso nell'acqua o agitiamo su e giù l'estremità di una corda. In tale situazione l'onda diventa esteriormente più complicata, dato che la propagazione avviene sia al di sopra che al di sotto della posizione iniziale dell'acqua o della corda mantenuta tesa. A cosa assomigli questa configurazione ci torneremo più tardi: adesso cerchiamo di vedere come si può esprime la velocità solo e soltanto in base alle caratteristiche del mezzo che trasporta il pacchetto di energia. Consideriamo anche il caso di un'onda periodica, ossia di un'onda che non si limiti a trasportare la perturbazione dipendente da un singolo impulso, ma che continui  ad agire a causa di una ripetizione continua e cadenzata della perturbazione. Nel caso dell'ola da stadio, è ciò che otterremmo se il primo spettatore continuasse ad alzarsi e a sedersi senza alcuna interruzione.

Consideriamo una corda ben tesa (e fissata a un muro). Cerchiamo di fare una trattazione di fisica elementare sulle forze che entrano in gioco e sulle grandezze che ne conseguono. Usiamo la Fig. 6.

Introduciamo anche una nuova grandezza per una corda che abbia, in pratica, una sola dimensione, ossia la sua lunghezza lungo l'asse x. Le sue dimensione lungo y e z possono, perciò, essere considerate trascurabili. Cosa succede allora alla ben nota grandezza che chiamiamo densità? La formula che la lega alla massa e al volume è:

ρ = m/V

Il volume è dato, ovviamente, da una formula in cui compaiano  lunghezza, altezza e larghezza. Due di loro, però, nel nostro caso, sono trascurabili, per cui al posto del volume può essere inserita solo la lunghezza L . La massa, invece rimane quella che è. Otteniamo una nuova grandezza analoga alla densità, ossia:

μ = m/L

che chiamiamo densità lineare. Essa, in qualche modo, è una proprietà "inerziale" della corda. Inoltre, la tensione che si applica alla corda, da parte della mano, la indichiamo con T. Essa ne indica una proprietà elastica. Cominciamo a muovere la corda verso l'alto e lo facciamo con una certa velocità v che possiamo chiamare v_m (v indotta dalla mano). Assumiamo uno spostamento verso l'alto molto piccolo, tale che la distanza O'B si possa assumere uguale a OB. Per essere sollevata sulla corda dobbiamo esercitare una forza F diretta nella direzione di y e la chiamiamo Fy.

Data la velocità v_m, possiamo scrivere lo spostamento OO', ottenuto nel tempo dt, come

OO' = v_m dt (il prodotto tra una velocità e il tempo ci dà proprio una lunghezza)

Eseguendo questa operazione sappiamo che l'onda deve spostarsi di un tratto OB lungo l'asse x, ossia:

OB = v0 dt                           .... (1)

dove v₀ è proprio la velocità dell'onda.

Consideriamo i due triangoli

M'MO' e O'OB

Dalla loro similitudine similitudine  abbiamo:

OB/OO' = T/Fy

Ma, per la (1), possiamo scrivere:

OB/OO' = T/Fy = v₀ dt/(v_m dt) = vo/v_m

da cui segue che:

Fy = T v_m/v₀                          .... (2)

Tuttavia, sappiamo molto bene che  una forza è uguale alla variazione della quantità di moto dq/dt.

Fy = T v_m/v₀ = dq/dt

e per la (2)

dq = Fy dt = T (v_m/v₀) dt                  .... (3)

Notiamo che questa è la quantità di moto trasmessa alla corda nel tempo dt al tratto O'B.

Riprendiamo in mano la densità lineare, definita precedentemente. Essa vale:

μ = m/L = m/O'B

abbiamo assunto che O'B = OB per cui si può scrivere:

μ = m/O'B = m/OB

da cui:

m =  μ OB

ma

OB = v_o dt

Per cui:

m = μ v_o dt                         .... (4)

Quanto vale la variazione della quantità di moto dq/dt ?

dq/dt = m dv_m/dt

ossia, per la (4):

dq = m dv_m =  dv_m μ v_o dt

dv_m è, però, la velocità raggiunta all'istante  dt  meno la velocità all'istante t = 0, che valeva zero, per cui dv = v_m

dq = v_m μ v_o dt

Ma abbiamo già ricavato dq  (3) e possiamo scrivere

dq = T (vm/v0) dt = vm μ vo dt

semplificando, si ha:

T = v0² μ

e, infine:

v₀ = √(T/μ)                     .... (5)

In poche parole, la velocità dell’onda v_o dipende solo dal mezzo in cui si propaga; in particolare dalla densità lineare e dalla tensione
della corda.

Ne segue un fatto importantissimo:

Se utilizzo un certo mezzo determino la velocità con cui si muove l'onda. Il che vuol dire che possiamo scegliere la lunghezza d'onda (o la frequenza), ma la frequenza (o la lunghezza d'onda) è una grandezza obbligatoria.

Sembra di aver detto una banalità, ma non è proprio così. Pensiamoci bene...

Fatemi fare un veloce salto verso le onde del microcosmo. Per loro non esiste un "mezzo", tuttavia la velocità con cui si muovono (onda elettromagnetica, onda gravitazionale) è ben definita ed è proprio c, la velocità della luce. La formuletta:

v = λ f

diventa

c = λ f

La relazione tra lunghezza d'onda e frequenza, attraverso la velocità dell'onda, può essere visualizzata facilmente nello spaziotempo "classico", ossia in quello descritto da una sola coordinata spaziale e il tempo.

In realtà l'oscillazione avviene lungo l'asse y, ma noi possiamo visualizzare questo continuo movimento disegnando in blu la parte di oscillazione che sale sopra il piano della figura e in rosso quella che scende al di sotto (Fig. 7). La stessa cosa possiamo fare per l'onda che si propaga lungo l'asse x: la parte blu sale e quella rossa scende.

Bene... cosa vuol dire fissare la velocità dell'onda? Tracciare una retta nel piano (x,t) che passi per l'origine e faccia un certo angolo con l'asse x dello spazio. Più questo angolo è grande e più la velocità è minore. Tuttavia, questa retta non può inclinarsi meno di 45°, ossia la velocità non può superare quella della luce. La semplice figura ci mostra, quindi, TUTTE le possibili velocità di qualsiasi tipo di onda, mostrando molto bene che a parità di velocità, lunghezza d'onda e frequenza sono indissolubilmente legate tra loro.

Ripeto la mia "farneticazione" che ormai conoscete bene. Cosa vuol dire "vuoto" ?. Beh... una certa "materia" , un mezzo, che impone una sua ben precisa velocità di propagazione. Ovviamente, più questo mezzo è poco "resistente" e più alta è la velocità. Sembrerebbe tutto così semplice... e, invece, dobbiamo accontentarci dei "campi" (elettrico e gravitazionale), avendo abbandonato per sempre l'etere... Sto scherzando, ovviamente, ma... chissà mai...

continua ...