Questo articolo è inserito in Meccanica Quantistica

 

QUI la prima parte

Descriviamo in modo semplice (si fa per dire) la determinazione dell'equazione d'onda di Schroedinger.

Prima di iniziare la nostra avventura "matematica", fatemi ricordare che un moto ondulatorio o armonico è la soluzione di una certa equazione differenziale. Questa soluzione può fare uso di grandezze trigonometriche, ma può essere tradotta in esponenziale attraverso le equazioni di Eulero, entrando nel piano complesso. Diamo questa parte per scontata... svelando, però, l'arcano di una scelta di questo tipo. E' molto semplice: la derivate dell'esponenziale e^x rimane sempre e^x. Un gran bel vantaggio, credetemi!

Qualsiasi numero complesso può essere scritto come

z = a + ib =r(cosθ + i senθ) = r e^iθ

La funzione d'onda, ossia la descrizione del moto ondulatorio, ha una forma del tipo:

ψ (x,t) = e ^{2π i (x/λ - f t)}

Essa è, ovviamente, una funzione sia del tempo che dello spazio (come abbiamo già visto descrivendo le onde), con λ e f che indicano la lunghezza d'onda e la frequenza, rispettivamente. L'esponente del numero "e" viene chiamata fase dell'onda.

Ciò che dobbiamo fare è costruirci un'equazione differenziale nelle variabili x e t, la cui soluzione sia proprio la funzione d'onda nel caso delle particelle con natura duale, come fotoni ed elettroni.

Ripetiamo alcuni concetti e formule giù utilizzate nella trattazione della lunghezza d'onda di De Broglie, dato che "repetita iuvant".

Grazie  alla catastrofe ultravioletta, Planck aveva stabilito che l'energia associata alla radiazione di un corpo nero viene rilasciata "a pacchetti"  e che questo pacchetto non è altro che quella strana particella-non particella che verrà chiamato fotone (sto velocizzando il tutto, ma per saperne di più basta andare QUI). Ne è derivata una formula semplicissima:

E = h f

dove E è l'energia, f la frequenza della radiazione emessa e h la celebre costante di Planck.

De Broglie generalizza il concetto e dice che tutta la materia può essere considerata come onda di frequenza

f = E/h

in perfetta analogia con il fotone

Tuttavia sappiamo anche che frequenza e lunghezza d'onda del fotone sono legate dalla relazione

f = c/λ           con c velocità della luce, da cui:

E/h = f = c/λ

λ/h = c/E

λ = h c/E

ma E/c è proprio la quantità di moto del fotone che per la materia vale q = mv

per cui ne segue che per la lunghezza d'onda della materia vale la relazione

λ = h/q

Ovviamente, questa lunghezza d'onda è del tutto trascurabile per oggetti "normali", ma non lo è per le particelle molto piccole come, ad esempio, l'elettrone.

Torniamo alla nostra funzione d'onda...

e ^{2π i (x/λ - f t)}

Per quanto abbiamo detto finora, al posto di f possiamo scrivere E/h, seguendo Planck e al posto di λ possiamo inserire h/q seguendo De Broglie. Otteniamo:

e ^{2π i (xq/h - f t)} = e ^{2π i (xq/h - Et/h)}

Al posto di h/2π possiamo ancora scrivere la "h tagliata". Per problemi di carattere, noi continuiamo a scrivere h, ma sappiamo che intendiamo scrivere h/2π.

ψ (x,t) = e ^{(i/h)(xq - E t)}

Dobbiamo allora cercare di scrivere un'equazione differenziale che abbia come soluzione proprio la nostra funzione.

Come già detto la funzione d'onda è funzione sia di x che di t, per cui cominciamo a derivarla rispetto al tempo. Ovviamente, useremo derivate parziali e non spaventatevi per il simbolo che vuole solo dire considero t come variabile, mentre considero x come una costante (e viceversa quando si deriverà rispetto a x).

∂/∂t (ψ(x,t)) = ∂/∂t(e ^{(i/h)(xq - E t)} ) = - (E) (i/h)(e ^{(i/h)(xq - E t)} ) = - (E i/h) ψ(x,t) 

Ci rendiamo subito conto del vantaggio della scrittura in forma esponenziale: la funzione resta sempre la stessa e i cambiamenti riguardano solo le costanti moltiplicative (d/dx(e^ax) = a e ^ax).

A questo punto eseguiamo la derivata della funzione rispetto a x

∂/∂x (ψ (x,t)) = ∂/∂x(e ^{(i/h)(xq - E t)} ) = (q i/h) e ^{i/h(xq - E t)} = (q i/h) ψ(x,t)

Ci stiamo già accorgendo che le due derivate sono molto simili tra loro... ma si può fare di meglio.

Beh... q è la quantità di moto, che per qualsiasi particella dotata di massa vale:

q = m v

v = q/m

L'energia E non è altri che l'energia cinetica della particella, ossia:

E = 1/2 mv²

E = 1/2 m (q²/m²)

E = q²/2m

Possiamo andare a sostituire questo valore all'interno della derivata fatta rispetto a t

∂/∂t (ψ (x,t)) = - (E i/h) ψ(x,t) = - (q² i/2mh) ψ(x,t)

Ci accorgiamo che la derivata rispetto a t presenta la q al quadrato, mentre quella rispetto a x solo la q

∂/∂x (ψ (x,t)) = (q i/h) ψ(x,t)

Grazie all'esponenziale, questo non è un problema... basta eseguire la derivata rispetto a x della derivata fatta rispetto a x, ossia fare la derivata seconda della funzione, tanto la funzione rimane sempre la stessa e cambiano solo le costanti moltiplicative...

∂²/∂x²(e ^{i/h(xq - E t)} ) = ∂/∂x((q i/h) e ^{i/h(xq - E t)}) = (qi/h) (qi/h )e ^{i/h(xq - Et)}

ricordando che i² = -1

otteniamo:

∂²/∂x² ψ(x,t)= - (q²/h² ) ψ(x,t)

Riassumiamo quanto trovato attraverso le derivate:

∂²/∂x² (ψ(x,t)) = - (q²/h²) ψ(x,t)

∂/∂t (ψ(x,t)) =  - (q² i/2mh) ψ(x,t)

La somiglianza è sempre più marcata ed ormai la differenza sta solo nelle costanti moltiplicative. In altre parole, posso benissimo moltiplicare la prima per un qualcosa e la seconda per un qualcos'altro ed ottenere infine una perfetta uguaglianza.

Moltiplico, perciò, la prima per (-h²/2m) e la seconda per (i h):

- (q²/h²) (- h²/2m) ψ(x,t) = (- h²/2m) ∂²/∂x² (ψ(x,t)) = q²/2m ψ(x,t)

- (q² i/2mh) ( i h) ψ(x,t) = ( i h) ∂/∂t (ψ(x,t)) = q²/2m ψ(x,t)

e ottengo una perfetta uguaglianza. Non ci resta che scrivere questa uguaglianza:

- (h²/2m) ∂²/∂x² (ψ(x,t)) = (i h) ∂/∂t (ψ(x,t)) 

e ricavare la celeberrima equazione differenziale che ha per soluzione la funzione d'onda ψ(x,t) di Schroedinger.

Ricordiamo che Schroedinger ha ricavato questa equazione fondamentale senza sapere, però, che cosa fosse in realtà l'onda rappresentata.  In altre parole, permette di calcolarla, ma non dice cos'è... Solo Born nel 1926 dirà esplicitamente che deve essere interpretata in termini probabilistici.

In particolare il quadrato della funzione indica proprio la probabilità di individuare una certa particella in una certa posizione.

 

Continua...