Categorie: Matematica
Tags: geometria integrale lunghezza di una curva
Scritto da: Vincenzo Zappalà
Commenti:4
Lunghezza di una curva **
Come già accennato dal nostro Andy, non è difficile determinare la formula che ci permette di calcolare la lunghezza di una certa curva relativa a una funzione y = f(x) nell'intervallo di ascissa (a,b).
Disegniamo la nostra curva (funzione derivabile in tutto l'intervallo) scegliendo alcuni punti su di lei. Uniamo questi punti, uno a uno, con dei segmenti rettilinei. La somma delle lunghezze di questi segmenti approssima rozzamente la lunghezza della curva.
Cominciamo a scrivere la lunghezza Δs di uno qualsiasi di tali segmenti, applicando il teorema di Pitagora::
Δs = √(Δx2 + Δy2)
Moltiplichiamo e dividiamo per Δx2
Δs = √((Δx2 + Δy2)Δx2/Δx2) = √((Δx2 + Δy2)/Δx2)Δx = √(1 + Δy2/Δx2)Δx
Immaginiamo, adesso, di dividere il tratto di curva compresa tra a e b in n parti di uguale Δxi e di farne la somma. Essa approssima abbastanza bene la curva e possiamo prendere questa sommatoria come valore approssimato della lunghezza della curva:
S ∼ ∑i = 1 n √(1 + Δyi2/Δxi2)Δxi
Ovviamente, più grande è n e più piccolo è Δxi. Il che vuol dire che facendo tendere n a infinito, il nostro Δxi = dxi tende a zero. Possiamo, perciò passare al limite della somma per n che tende a infinito o, meglio ancora, per x che tende a zero. In tal modo la sommatoria diventa l'integrale tra a e b, ossia:
S = ∫a b√(1 + dy2/dx2)dx
Il che ci porta alla formula finale:
S = ∫a b√(1 + f'(x)2)dx
Elementare Watson, elementare!
La soluzione dell'integrale, però, dipende molto da che tipo di funzione abbiamo come y = f(x). Comunque, non è mai banalissimo dato che compare una radice quadrata...
4 commenti
Caro Enzo,
come sempre articolo interessante e didatticamente perfetto.
Ricordo che parecchio tempo fa, per esercizio, volevo trovare la lunghezza di un'ellisse, noti i semiassi maggiore e minore, con maggior precisione di quello che si otteneva con la formula del geniale Ramanujan (che comunque è precisa sino alla 6a decimale con eccentricità che tendono verso 1) ed ero partito proprio dalla lunghezza di una curva calcolata come hai chiaramente illustrato tu.
Ma dato che la calcolatrice non riusciva a calcolare l'integrale indefinito ottenuto attraverso la formula (però se mettevo gli estremi inferiore e superiore dell'intervallo di integrazione restituiva il valore approssimata ma corretto, maledetta lei!) dopo una serie di "manipolazioni", riuscì a ricavare la funzione integranda, con estremi di integrazione 0, π/2, in funzione dei quadrati sia dei semiassi che di seno e coseno "dell'angolo" di integrazione (ma la calcolatrice continuava a non digerire lo stesso l'integrale indefinito "manipolato").
Se dovessi ritrovare il tutto tra i meandri del computer e di vari hard disk esterni, e soprattutto ed ovviamente se me lo consenti, lo posterei volentieri...
Sicuramente Andy! E lo stesso vale per qualsiasi altro argomento tu voglia pubblicare... Siamo o non siamo un Circolo?!
Caro Enzo,
ho finalmente ritrovato quella sorta di esercizio che avevo fatto qualche anno fa per ricercare, con una certa esattezza la lunghezza di un ellisse. Chiedo venia anticipatamente per eventuali "rozzezze" e/o inesattezze matematiche.
L'ultimo integrale ellittico (quello in funzione dell'eccentricità al quadrato per il seno al quadrato) l'ho trasformato causa "pigrizia", perché volevo ricavare un integrale direttamente, noti i semiassi maggiore e minore.
Ho immesso alcuni valori numerici, mantenendo costante la lunghezza del semiasse maggiore e variando solo il semiasse minore, per confrontare i risultati ottenuti con la formula di Ramanujan:
b = 9 , a = 10, b / a = 9 : 10 , e ≈ 0,43589
integrale ellittico ≈ 59,731604 formula di Ramanujan ≈ 59,731604
b = 1 , a = 10 , b / a = 1 : 10 , e ≈ 0,994987
integrale ellittico ≈ 40,63974 formula di Ramanujan ≈ 40,605525
b = 1 / 5 , a = 10 , b / a = 1 : 50 e ≈ 0,9998
integrale ellittico ≈ 40,038392 formula di Ramanujan ≈ 39,923681
cioè per ellissi a bassa eccentricità, l'integrale ellittico conferma la bontà della formula di Ramanujan, mentre man mano che l'ellisse si allunga, i valori cominciano a discostarsi percettibilmente.
Ipotizzo che, per esempio, per quei corpi minori del sistema solare che mantengono orbite ellittiche molto allungate (e quindi periodi orbitali molto ampi), se si vuole conoscere con una certa precisione la lunghezza dell'orbita, dovrebbe essere più opportuno l'utilizzo dell'integrale ellittico, ma ripeto, mia ipotesi perché entrerei in un campo dove tu sei Maestro di fama internazionale e io un semplicissimo curioso.
Ultima considerazione: se fermo restando il semiasse maggiore e quello minore tende a zero, la lunghezza dell'ellisse "rettificata" tende a 4 volte il semiasse maggiore, e l'ellisse rettificata mi ricorda un interessante quiz nel quale si ipotizzava l'istantanea cessazione del moto orbitale della Terra intorno al Sole e conseguente calcolo del tempo di caduta verso la nostra Stella.
Insomma, se su questo blog ve ne sono per tutti i gusti (scientifici), sempre affrontati con trasparenza e serietà scientifica, è grazie a te, caro Enzo.
Ottimo lavoro, caro Andy!!!